1.1.2 行列式的概念（二）在线视频

同学们好

欢迎大家参加线性代数这门课程的学习

本节我们要介绍的内容

是排列及逆序数

前面我们介绍的二阶 三阶的行列式

我们可以用对角线的法则

来帮助我们记忆

但是

如果是

更高阶的四阶 五阶怎么办

为了引出来

n阶行列式的概念

我们先来观察一下

二阶 三阶行列式有什么样的特征

从这个二阶行列式的表达式

大家可以看出来

a11a22-a12a21对吧

它们的下标

都是由12组成的

2级排列

总共有多少个呢

2的阶乘两个

分别是12 21

而3阶行列式

它整个右侧的这个表达式有6项所构成的

这六项有什么规律

它们那下标都是由

1 2 3组成的

3级排列

总共有多少个3的阶乘是6个

对吧

分别是什么呢

123 231 312 132 213 321

那好了

二阶三阶行列式对吧

分别是由12

这两个数所组成的一个2级排列

以及3阶行列式

是123所确定的这样一个3级排列

对应到了

每一项下标的元素

那我们为了把这样一个概念

推广到一般的n阶行列式的

我们先要引出一个新的定义

所以说我们定义1

由12 n

组成的一个有序数组

i1 i2 it is in

我们就称作是一个

n级的排列

比如说

由1 2 3对吧

组成了一个3级排列总共有多少个呢

是有6个

这公式有这样6个

那一般的了

由1 2 ... n组成的n级排列总共有多少个

按照我们排列组合的计算公式

它有n的阶乘个

好

接下来我们做第二个定义

在一个n级的排列

i1 i2 it is in中

如果

我这个数it是大于了is

也就是说呢在这样一个排列里头

it这个数字

比is这个数字要来的大

我们就称it与is

构成了一个逆序

那好

我们这样一个排列

i1 i2 in中

所有的逆序

把它加起来

也就是逆序的总数

我们就称这是这个排列的

逆序数

用一个记号来表示

对吧

一个记号的表示

也就是说呢这样一个 τ i1 i2 in

当然这里头只是一个记号

代表的话是我所有的这样一个

逆序数

所有的逆序把它加起来

把它加起来

那好了

接下来我们

引出第三个定义

就是如果这个排列

所有的逆序加起来

就是说这个逆序数是奇数

我们就把这个排列

称作是奇排列

而这个逆序数

也就是所有的逆序加起来是偶数

我们就把这个排列

称作是偶排列

那么

逆序数怎么计算

其实我们有一个方法

就是假设你这样一个n阶排列i1 i2 in对吧

我们可以从最左边的元素开始

依次来考虑每一个元素

它和后面的元素去做比较

我们来看看比这个ik

对吧

要来小的

而且排在你这个元素ik的这个后面的有多少个

我从最左边的i1开始

i1和i2做比较

i1和i3作比较

i1和in做比较对吧

排了后面比它来的小的个数有多少个

我就用这个记号来描述它

一般的我考虑这个元素ik

然后它这个时候的话呢

考虑它后面的这些元素

对吧

比它来的小的

如果有mk个

那实际上

我这个ik它实际上和后面的元素就构成了mk对逆序

对吧

mk的逆序相当于呢我这个元素ik

它的这个实际上后面构成的这个逆序有这么多个

那整个这个排列的逆序数是等于多少

就是把所有的逆序加起来

所以我们可以从i1开始

后面比它来的小有m1个

i2开始后面比它来的小的有m2个

一直到的最后一个in比它后面来的小的是mn

其实大家很快会发现啊

我最后一个元素in比它还来的小的在它后面

也就在它的右侧没有了

所以最后这个mn实际是等于零的

那我把所有的全都加起来

那不就是它的逆序数了吧？

我们可以看一个例题

比如说我们要来计算一下

这样一个排列34152

就12345这5个元素

对吧

它的这样一个

5级排列的逆序数

那好了

我们按照刚才这样一个计算方法

从最左边的元素开始

那就是3了

3后面

比3小的有多少个了

有2个 一个是1 一个是2

所以它构成了2个逆序

再考虑第二个 4

4后面比4小的

有1 2两个元素也构成了2个逆序

在考虑第三个 1

与后面的数字

后面的数字都比它来的大

所以不构成逆序 有0个逆序

再考虑5 5后面比5小的

有2

对吧

构成了一个逆序

那2的话呢

排在最后一个了

刚才我说了比它再来的小的没有了

有零个逆序

所以整个这个排列的逆序数

就相当于了刚才我们说的全部给它加起来

最后呢我们会计算出来

这样一个排列它的逆序数

实际上呢是等于5

对吧

它的逆序数等于5

同学们可以再看一个例题

比如说我们现在要来求

这样一个n（n-1) (n-2)

一直到2一直到1这样一个排列的逆序数

平常的话呢

我们都是按照自然顺序排12345到n

那好

现在的话呢我完全把它颠倒过来

大家来看看这个排列的逆序数等于多少了

其实的话呢

n后面比n来的小的有多少个

对吧

n-1个吧

n-1后面比它来的小的有多少个

n-2个

一直到2后面比它来的小的有一个

最后一个1后面比它来的小的没有了

0

所以整个这个排列对吧

我们把这一串数字给它加起来

这是一个呢

等差数列

对吧

我们有求和公式

可以很方便的

把它计算出来

好

接下来呢

我们再介绍一个定义

在一个n级的排列中

如果了交换其中某两个数的位置

而其余元素的位置

保持不变

对吧

我们就可以得到

另一个n级的排列

我们把这两个原数据做了交换以后

得到了一个新的一个n级的排列

做了这样一次

位置上的交换

我们就称

这样一种变换

视为对这个排列

做了一次对换

做了一次对换

那好

我们可以证明

有下面这样两个结果

什么结果呢

被一个排列中的任意2个元素

我们去进行一次对换

一定会改变排列的奇偶性

也就是说呢

你原来是个奇排列

对换的2个元素以后

就变成是偶排列

原来你是个偶排列

对吧

你去交换了这个位置

两个元素的位置

它就变成了是个了一个奇排列

那么我在一个n级的排列中

到底奇排练 偶排列

会有多少个呢

其实按照刚才我们讲的这种思想

大家可以看到对吧

你一个n级排列里头

你交换两个位置

奇偶性就改变了

奇偶性就改变了

所以呢我们其实是可以证明

在一个n级的排列里头

奇排列的个数 偶排列的个数

当我们n的话了大于等于2的时候

各占一半

各占一半

都是什么呢

2分之n的阶乘

对吧

整的排列时候是什么

n的阶乘个

其中的一半是奇排列

一半是偶排列

一半是偶排列

这就是说呢

我们为了引出来

n级行列式的概念

n级行列式的概念

对吧

从二阶三阶开始

我们找到二阶三阶它们这种排列的规律

通过这种规律

我们引出来了n级排列的概念

讨论了n级排列

它的逆序

它的逆序数的计算方法

同时我们又引出来了一个所谓的对换的概念

我们会发现

对一个n级的排列

如果去做两个元素的一次交换位置

也就是说做一次对换

这个排列的奇偶性

刚好是改变的

奇排列变成偶排列

原来是偶排列就变成是奇排列了

那好

在所有的这样一个

n级的排列里头对吧

当n大于等于2的时候

奇偶排列各占一半

这就是的

这一部分我们要给同学们介绍的内容

好 这一节我们就先介绍到这里

谢谢大家