2.2.1 矩阵的运算（一）在线视频

同志们好欢迎大家来到我的课堂

今天我们一起来学习矩阵的运算中的

今天我们一起来学习矩阵的运算中的

矩阵的加法

数与矩阵相乘

我们首先来看到矩阵的加法

假设有一个矩阵A

它是一个m×n规模的

它的元素是aij

有另外一个矩阵B

它的规模也是m×n

它里头的元素记为bij

所谓矩阵的加法指的是A与B相加

我们依然可以得到一个m×n的矩阵

那么它里面的元素是aij加上bij

也就是我们下面这样一个具体的形式

从这样一个定义我们可以发现

只有同型矩阵才能够做加法

而且它的运算法则是对应位置元素相加

我们来看下面这个例子

假设我有两个矩阵A和B

它们的规模多是二乘以三的是同型矩阵

那么

在A矩阵中

aij可以用来代表一分厂

第i季度第j种产品的产量

bij可以用来代表二分厂

第i季度第j种产品的产量

这个时候如果我们要求

两分厂第二季度第j种产品的总产量

我们怎么计算呢

那么

从刚才矩阵加法的定义我们知道

矩阵A与矩阵B相加

它依然得到一个同型的矩阵

也就是说依然可以得到一个二乘三的矩阵

那么它的运算法则就是A与B对应位置元素相加

也就是说

在C矩阵中

c11它等于a11加上b11

12+7=19

c12它等于a12加上b12

也就是10+9=19

c13呢

等于a13加上b13 13+8=21

那么

根据同样的运算法则

我们可以计算C矩阵中第二行的元素值

从这样一个例子我们不难看出

矩阵的加法的定义也是来自于实际生活

根据矩阵加法的定义

我们可以得到以下运算性质

我们假设 A B C O为同型矩阵

那么这样一个O矩阵呢

是零矩阵

那么我们有第一条

A加B等于B加A

也就是矩阵加法满足交换律

第二条A加B加C

我们可以先把A与B相加

我们也可以先把B与C相加

我们也可以先把B与C相加

矩阵加法满足结合律

第三条

A矩阵加上同行的零矩阵依然等于A矩阵

也就是说

零矩阵相当于数字零的作用

第四条

A加上-A等于零矩阵

在这个地方

我们定义A的负矩阵

-A它等于A的每一个元素上的值取负号

那么有了负矩阵的定义之后

我们可以以此来定义矩阵的减法

也就是A减B等于A加上-B

接下来

我们再来看到数与矩阵相乘

我们假设A矩阵是一个m×n规模的矩阵

λ是一个数

那么所谓的数乘矩阵λ×A

它依然得到的是一个m×n的矩阵

它的运算规则是λ要乘到A的每一个元素上去

这是它的具体的形式

这个时候

我们来回想一下刚才定义的负矩阵-A

就可以看作是-1×A

-1乘到A的每一个元素上去

在这个地方

大家一定要把数与矩阵相乘

跟我们第一章学到的数与行列式相乘相区别

数与矩阵相乘

是这个数乘到矩阵的每一个元素上去

而数与行列式相乘

是这个数乘到行列式的某一行或者某一列

同学们一定要加以区别

好我们来看一个例子

我们给出一个三乘二的矩阵A

我们给一个数λ=2

现在我们要求λ×A这个数乘矩阵

根据我们刚才的定义λ×A

它乘出来依然是一个三乘二的矩阵

那么它是用λ乘到A的每一个元素上去

也就是说

第一行第一列是等于12×2=24

第一行第二列上的元素值是15×2=30

那么同样的

用λ乘到A的第二行第三行对应位置上去

我们就得到这样一个数乘矩阵

我们再看一个例子

我们给出一个A矩阵

它是一个三乘四规模的矩阵

我们在给出一个B矩阵

那么它是一个同型矩阵

并且A加上两倍的X等于B

我们要求矩阵X

那么

我们根据A加两倍的X等于B

我们可以移项

那么两倍的X呢等于B-A

然后在等号的两边同时乘以二分之一

最后我们可以得到X的表达式

也就是X等于二分之一(B-A)

在这样一个表达式中

我们先把B-A计算出来

也就是两个矩阵对应位置元素相减

然后再作数乘运算

我们把二分之一

乘到这样一个矩阵的每一个位置上去

我们就能够算出最终的X矩阵

那么

根据数与矩阵乘积的定义

我们可以得到它具有以下运算性质

我们假设A B为同型矩阵

λ μ为数

那么我们有第一条

λ× μ×A可以写为μ先跟A相乘

再用λ去乘以这样一个矩阵

第二条λ+ μ再乘以A

那么它等于λA+μA

也就是说数乘满足对数的分配律

第三条

λ（A+B）等于λA+λB

数乘满足对矩阵的分配律

第四条1×A还是的原矩阵A

那么

我们把矩阵的加法运算

与整数乘法运算统称为矩阵的线性运算

好同学们

我们这次课就上到这儿

我们下次课再见