3.2.1 向量组的线性相关性（一）在线视频

同学们好

欢迎来到我的课堂

今天开始我们学习

3.2节 向量组的线性相关性

前面我们讨论了一个向量

用一组向量线性表示的问题

那么 如果这样的线性表示存在

其中的系数k1 k2,…,ks

是否唯一呢

特别地 考虑零向量的线性表示问题

显然 当系数k全都取为零时

这个式子肯定成立

但k1 k2,…,ks可以不全为0吗

这就是我们要讨论的向量组的线性相关性

定义

对向量组α1 α2,…,αs

若存在不全为零的数k1 k2,…,ks

使得α以k为系数的线性组合等于0

则称该向量组线性相关

否则称其线性无关

注意向量组线性无关

那么意味着 如果这组向量的

某个线性组合等于零向量

其系数必定全部为0

下面我们来看几个简单的例子

(1)

单个零向量线性相关

单个非零向量

线性无关

证明

一

任取数k

不等于0

显然有k乘上零向量等于零向量本身

所以零向量线性相关

二

考察任意的非零向量α

由于

如果k倍的α等于零向量 显然k必须等于0

所以α线性无关

(2)

两个向量α1 α2线性相关

当其仅当其分量对应成比例

证明

设有不全为零的数k1 k2

使得k1α1+k2α2=0

不妨设k1不等于0

则α1等于-k2/k1*α2

即α1的分量是α2分量的-k2/k1倍

命题得证

(3)

任意包含零向量的向量组

α1 α2,…,αs

都线性相关

证明

任取系数k不等于0

将向量组当中的零向量配以系数k

其余向量配以系数零

这样的线性组合显然等于零向量

而这一线性组合的系数不全为零

因此这个向量组线性相关

(4)

n维单位向量组ε1 ε2,…,εn

线性无关

证明

考虑ε1,…,εn的任意线性组合

显然

它等于k1 k2,…,kn为分量的向量

如果这一结果等于零向量

必然k1 k2,…,ks全都为零

因此

单位向量组线性无关

以上都是线性相关

线性无关的简单例子 情况极为特殊

那么一般地 怎样判断一个向量组线性相关呢

根据定义 列向量α1 α2,…,αn是否线性相关

取决于是否存在不全为零的数k1,…,kn

使得α以k为系数的线性组合等于零向量

如果以α作列构造矩阵A

这个式子也可以写成A乘上k1,…,kn的列向量等于零

显然这两个式子分别是齐次线性方程组的向量表示和矩阵表示

这就说明定向量组的线性相关判定

即对应齐次线性方程组有无非零解的问题

定理

列向量组α1,…,αn线性相关

当且仅当这样的齐次线性方程组有非零解

用矩阵形式表示

即Ax=0

有非零解

如果这个向量组线性无关

那么当且仅当这个齐次线性方程组仅有零解

注意

对于行向量组的线性相关无关的判定

可以化为列向量来处理

例1

判断下列向量组是否线性相关

题目当中给的是行向量

我们取转置 考察列向量的线性相关问题

即判定下列齐次线性方程组是否有非零解

我们写出该方程组的系数矩阵

首先用第一行第一列的1消去下方的非零元

接着用第二行第二列的2消去下方的非零元

得到一个行阶梯形矩阵

根据这一矩阵

我们得到原方程组的同解方程组

从而写出方程组的解为x1=2x3

x2=5/2*x3

x3

取值任意

这就说明原方程组有非零解

所以题中给出的向量组线性相关

从例1的计算 我们可以看出

当系数矩阵的秩小于向量个数时

方程组中独立方程的个数小于未知量的个数

这时齐次方程组有非零解

向量组线性相关

这里所谓的独立方程

指的是该方程不可以由方程组中的其他方程

表示和替代

例2

判断下列向量组是否线性相关

同样我们做转置考察列向量的问题

即判定下列齐次线性方程组是否有非零解

写出其系数矩阵

首先处理第一列

接着处理第二列

再将第二行和第三行做交换

最后进行一个行的倍加运算

这就得到了与原方程组同解的一个方程组

这个方程组当中 有三个方程

三个未知量

由克莱姆法则 可以判定这个方程组仅有零解

这就说明

题目当中给出的向量组线性无关

通过例2的计算

我们也可以看出 当系数矩阵的秩等于向量个数时

方程组中

独立方程的个数等于未知量的个数

这时齐次方程组仅有零解

向量组线性无关

例1 例2的计算

反映了线性相关 无关判定的一般流程

设α1,…,αn为一组

m维列向量

以它们为列构造矩阵A

线性相关 线性无关的判定

即看是否存在不全为零的系数

x1,…,xn

使得α以x为系数的线性组合等于零向量

本质上是齐次线性方程组

有无非零解的问题

具体的计算是从系数矩阵A出发

经过初等行变换得到行阶梯形矩阵

当A的秩小于n时 向量组线性相关

当A的秩等于n时 向量组线性无关

那么特别地

如果向量的维数恰好等于向量的个数

我们就得到了下面的推论

设α1,…,αn是一组n维列向量

以它们为列构造矩阵A

此时A是一个方阵

则这组向量线性相关

当且仅当A的行列式等于零

这组向量线性无关

当其仅当A的行列式不等于零

好

今天 我们学习了以下内容

(1)

我们给出了线性相关线性无关的定义和简单例子

(2)

我们在齐次线性方程组的背景下

讨论了向量组线性相关性的判定

并且从系数矩阵出发

给出了向量组线性相关性的判定算法

特别地

我们看到了维数与个数相同时

向量组线性相关判定的结论

请大家思考 2维向量与平面上的点A

与平面上原点出发

到A结束的有向线段OA是否一一对应

2维向量线性无关的几何意义是什么

以此类推

3维向量呢

今天的课就到这儿

同学们再见