当前课程知识点：微积分I >  第五章 不定积分 >  5.2 换元积分法 >  5.2.2 第一换元积分法（二）

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下一节:5.2.3 第二换元积分法（一）

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5.2.2 第一换元积分法（二）课程教案、知识点、字幕

第五讲

第一换元积分法

例1 计算不定积分

∫sin²x dx

被积函数用倍角公式可以将原函数变形为

1/2 ∫(1-cos2x) dx

再由不定积分的可加性

化为x/2-1/4 ∫cos2xd(2x)

积分得x/2-sin2x/4+C

例2

计算不定积分

∫sin²xcos⁵xdx

被积函数是sinx的整数次幂

与cosx的整数次幂的乘积

其中有一个因子的幂是奇数次幂

将其

分一个一次幂出来

与dx凑成互余的三角函数的微分

而余下的偶数次幂

化为互余的三角函数

原积分化为

∫sin²x(1-sin²x)²dsinx

在与另一个因子的乘积

可展开成互余的三角函数

作为变量的多项式

将原积分化为

∫(sin²x-2sin⁴x+sin⁶x)dsinx

用凑微分法积分得

sin³x/3-2sin⁵x/5+sin⁷x/7+C

例3

计算不定积分

∫tan³xdx

用三角函数的公式

将原积分变形为

∫(sec²x-1)tanxdx

再拆开变形为∫tanxdtanx-∫tanxdx

积分得tan²x/2-ln|secx|+C

例4计算不定积分

∫1/(1+cosx) dx

将被积函数的分子分母同乘以1-cosx

原积分变形为∫(1-cosx)/(1-cos²x) dx

也即是∫(1-cosx)/sin²x dx

在拆开为∫(csc²x-cotxcscx)dx

积分得-cotx+cscx+C

此题的另一解法为

被积函数用倍角公式

将原积分变形为

∫1/2cos²(x/2) dx

也即是1/2∫sec²(x/2)dx

凑微分得∫sec²(x/2) d(x/2)

积分得tan(x/2)+C

例5计算不定积分

∫cos3x cos2x dx

利用三角函数的积化和差化公式

原积分变形为

1/2 ∫(cosx+cos5x) dx

利用凑微分法积分可得

所求的不定积分为

sinx/2+sin5x/10+C

例6 计算不定积分

∫(sinx-cosx)/(sinx+cosx) dx

分子可以凑成分母的微分的相反数

进而原积分变形为

-∫1/(sinx+cosx) d(sinx+cosx)

积分得-ln|sinx+cosx|+C

例7计算不定积分

∫sinx/(sinx+cosx) dx

将被积函数的分子等值变形

把原积分变形为

1/2∫(sinx+cosx+sinx-cosx)/ (sinx+cosx) dx

也即是1/2 ∫(1+(sinx-cosx)/(sinx+cosx)) dx

拆开后用本讲

例6的凑微分方法积分可得

1/2 (x-ln|sinx+cosx|)+C

这里给出了三角函数的和差化积公式

倒过来就是积差和化公式

大家要牢记

学会熟练应用

例8 计算不定积分

∫1/(1+eˣ) dx

解法一将被积函数的分子

加一个eˣ再减一个eˣ

原积分变形为∫(1+eˣ-eˣ)/(1+eˣ) dx

也即是∫[1- eˣ/(1+eˣ)] dx

在拆开后积分

第二个积分中的分子

eˣdx可以凑成

d(1+eˣ)

积分可得x-ln(1+eˣ)+C

解法二

将被积函数的分子分母同乘于eˣ

原积分变形为

∫eˣ/[(eˣ+1)eˣ] dx

分子的eˣ

乘dx可以凑成deˣ

余下的分子

1+eˣ-eˣ

拆开后进而变形为

∫[1/eˣ -1/(eˣ+1)] deˣ

再拆开积分

并把第二个积分中的deˣ化为d(eˣ+1)

用凑微分法积分可得

lneˣ/(1+eˣ )+C

解法3

将被积函数的分子分母同乘以e⁻ˣ

原积分变形为∫e⁻ˣ/(e⁻ˣ+1) dx

进而变形为-∫1/(e⁻ˣ+1) d(e⁻ˣ +1)

积分得-ln(1+e⁻ˣ)+C

例9计算不定积分

∫1/(9cos²x+4sin²x) dx

被积函数分母中提出公因子cos²x

原积分变形为

∫1/ cos²x(9+4tan²x) dx

进而化为∫1/(9+4tan²x) dtanx

再变形为1/2∫1/[9+(2tanx)²] d(2tanx)

利用前面新增加的基本积分公式

可得所求的不定积分为1/6 arctanx(2tanx/3)+C

例10 计算不定积分

∫x/(3+2x+x²)

解 将不定积分化为

1/2 ∫(2x+2-2)/(3+2x+x²) dx

在转化为如下两个积分的差

1/2 ∫(2x+2)/(3+2x+x²) dx

-1/2 ∫2/(3+2x+x²) dx

进而化为1/2 ∫1/(3+2x+x²) d(3+2x+x²)

-∫1/[(√2)²+(x+1)²] d(x+1)

积分可得1/2 ln(3+2x+x²)

-1/√2 arctan(x+1)/√2+C

例11 求不定积分

∫1/(x²-2x-3) dx

解 将被积函数的分母

分解因式得

∫1/[(x-3)(x+1)] dx

将不定积分化为

1/4∫[1/(x-3) - 1/(x+1)] dx

在凑微分得1/4 [∫1/(x-3) d(x-3)-∫1/(x+1) d(x+1)]

积分得1/4(ln|x-3|-ln|x+1|)+C

化简得1/4 ln|x-3|/|x+1| +C

另解 原式=∫1/[(x-1)²-2²] d(x-1)

代公式即得

1/(2×2) ln|(x-1-2)/(x-1+2)|+C

化简即得所求

本讲继续介绍了用不定积分的第一换元积分法

也就是凑微分法计算不定积分的更多例题

便于大家更好的巩固

这种方法

今天就讲到这里

谢谢

微积分I课程列表：

导言 课程介绍

-微积分简要介绍

第一章 函数

-1.1 预备知识

--1.1.1 实数简介

--1.1.2本节作业

-1.2 函数的概念

--1.2.1 函数的概念

--1.2.2 本节作业

-1.3 函数的基本特性

--1.3.1 函数的几个特性

--1.3.2 本节作业

-1.4 反函数与复合函数

--1.4.1 反函数与复合函数

--1.4.2 本节作业

-1.5 基本初等函数与初等函数

--1.5.1 基本初等函数与初等函数

--1.5.2 本节作业

-1.6 经济学中几个常见的函数

--1.6.1 经济学中常见的几个函数

--1.6.2 本节作业

-第一章单元练习

--习题训练

--数学实验一 函数图形

第二章 极限与连续

-2.1 数列的极限

--2.1.1 数列极限的描述性定义

--2.1.2 数列极限的分析定义

--2.1.3 本节作业

-2.2 函数的极限

--2.2.1 函数在无穷远处的极限定义

--2.2.2 函数在一点处的极限定义

--课堂思考

--2.2.3 函数在一点处的单侧极限定义

--2.2.4 本节作业

-2.3 无穷小量与无穷大量

--2.3.1 无穷小量的定义及其性质

--2.3.2 无穷小量阶的比较

--课堂思考

--2.3.3 无穷大量的定义

--2.3.4 本节作业

-2.4 极限的性质

--2.4.1 极限的几个性质

--2.4.2 极限的四则运算法则

--课堂思考

--2.4.3 极限的四则运算法则的应用

--2.4.4 本节作业

-2.5 两个重要极限

--2.5.1 极限存在的两个准则（单调有界及两边夹）

--2.5.2 第一重要极限

--2.5.3 第一重要极限应用

--课堂思考（一）

--2.5.4 第二重要极限

--2.5.5 第二重要极限应用

--2.5.6 连续复利模型介绍

--课堂思考（二）

--2.5.7 常见等价无穷小量

--2.5.8 等价无穷小量的代换求极限

--2.5.9 本节作业

-2.6 函数的连续性

--2.6.1 函数连续的定义

--2.6.2 第一类间断点

--2.6.3 第二类间断点

--课堂思考

--2.6.4 连续函数的四则运算与复合运算性质及应用

--2.6.5 最值定理及介值定理

--2.6.6 本节作业

-第二章单元练习

--习题训练

--数学实验二 求极限

第三章 导数与微分

-3.1 导数的概念

--3.1.1 导数定义的引例

--3.1.2 导数的定义

--3.1.3 导数的几何意义

--课堂思考（一）

--3.1.4 可导与连续的关系

--3.1.5 利用定义求函数的导数

--3.1.6 分段函数的导数

--课堂思考（二）

--3.1.7 本节作业

-3.2 求导法则

--3.2.1 导数的四则运算（1）

--3.2.2 导数的四则运算（2）

--课堂思考（一）

--3.2.3 反函数的导数

--3.2.4 复合函数的求导法则

--3.2.5 复合函数的求导示例

--课堂思考（二）

--3.2.6 隐函数的导数

--3.2.7 对数求导法

--课堂思考（三）

--3.2.8 本节作业

-3.3 高阶导数

--3.3.1 高阶导数

--3.3.2 几个常见函数高阶导数

--3.3.3 本节作业

-3.4 函数的微分

--3.4.1 微分的定义

--3.4.2 微分与导数的关系

--3.4.3 微分的几何意义

--课堂思考（一）

--3.4.4 微分的四则运算

--3.4.5 微分的复合运算规则

--3.4.6 微分的复合运算规则的应用

--课堂思考（二）

--3.4.7 微分的应用近似计算

--3.4.8本节作业

-3.5 导数与微分的简单应用

--3.5.1 边际分析

--3.5.2 弹性分析

--3.5.3 经济学中常见的几个弹性

--3.5.4本节作业

-第三章单元练习

--习题训练

--数学实验三 求导数

第四章 中值定理与导数的应用

-4.1 中值定理

--4.1.1 费马引理

--4.1.2 罗尔中值定理

--4.1.3 罗尔中值定理的应用

--课堂思考（一）

--4.1.4 拉格朗日中值定理

--4.1.5 拉格朗日中值定理的应用

--4.1.6 柯西中值定理

--课堂思考（二）

--4.1.7 本节作业

-4.2 洛必达法则

--4.2.1 洛必达法则--0/0型

--4.2.2 洛必达法则--∞/∞型

--课堂思考

--4.2.3 洛必达法则--其他型

--4.2.4 本节作业

-4.3 函数的单调性与极值

--4.3.1 函数的单调性判定

--4.3.2 函数的单调性应用

--课堂思考（一）

--4.3.3 函数的极值--第一判定法

--4.3.4 函数的极值--第二判定法

--课堂思考（二）

--4.3.5 本节作业

-4.4 函数的最值及应用

--4.4.1 连续函数最值求法

--4.4.2 最值的应用

--4.4.3 本节作业

-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点

--4.5.1 函数的曲线的凹凸性的定义

--4.5.2 函数的曲线的凹凸性的判定

--课堂思考

--4.5.3 拐点的定义及其求法

--4.5.4 本节作业

-4.6 函数的微分法作图

--4.6.1 函数曲线的水平渐近线

--4.6.2 函数曲线的竖直渐近线

--4.6.3 函数曲线的斜渐近线

--课堂思考

--4.6.4 微分法作图

--4.6.5 本节作业

-第四章单元练习

--习题训练

--数学实验四 求函数最值

第五章 不定积分

-5.1 不定积分的概念与性质

--5.1.1 原函数的概念

--5.1.2 不定积分的概念及性质

--5.1.3 基本初等函数的积分公式

--5.1.4 本节作业

-5.2 换元积分法

--5.2.1 第一换元积分法（一）

--5.2.2 第一换元积分法（二）

--课堂思考（一）

--5.2.3 第二换元积分法（一）

--5.2.4 第二换元积分法（二）

--课堂思考（二）

--5.2.5 本节作业

-5.3 分部积分法

--5.3.1 分部积分法

--课堂思考

--5.3.2 本节作业

-5.4 有理函数的积分

--5.4.1 真分式的分解

--5.4.2 最简分式的积分

--5.4.3 本节作业

-第五章单元练习

--习题训练

--数学实验五 求不定积分

拓展阅读

-1 函数建模应用

-2 极限建模应用

-3 导数建模应用

-4 函数极值建模应用

-5 不定积分建模应用

5.2.2 第一换元积分法（二）笔记与讨论

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