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video课程教案、知识点、字幕

上节课，给定一个函数y=f(x), 给定这样的一个方程

我们介绍了三种求方程解x的方法

因为给定的函数f(x)的解析式非常复杂

根据因数分解或者简单的数学理论无法求出方程的解的时候

我们介绍了如何利用二分法、不动点迭代法或者牛顿法

求方程的解

关于这三种方法

上节课我们只介绍了这三种方法的数学背景以及算法

那么使用这些方法的时候产生的误差有多大呢

我们能不能提前预测误差大小呢

我们从数学角度来探索一下这些内容

今天要学习的内容是误差分析

对于我们学过的三个方法，我们分别分析一下他们产生的误差的大小

第一个是二分法

大家应该会记的，两个端点a和b的中间点，中间点，中间点，中间点

不断地寻找中间点

这个方法必须满足的条件是 f在区间[a,b]上是连续函数

这个方法必须满足的条件是 f在区间[a,b]上是连续函数

并且f(a)和f(b)的乘积是负数

也就是说，这两个值的符号相反

然后我们定义了Pn

得到一个序列{Pn}

这个是一个怎样的序列呢

这个序列是通过什么方法得到的呢

就是根据我们现在讲的二分法得到的

我们看一下这个序列如何收敛

我们已知f(p)=0, 虽然现在还不知道p的值

但是Pn和方程的解p的差的绝对值

小于等于(b-a)/（2^n）

下面我们从数学上证明其正确性

首先，对每一个自然数n

因为我们一直在找bn和an的中间点，

所以有bn-an等于

2的(n-1）次方之(b-a）

因为an和bn是求方程解的过程中产生的序列

所以p属于区间[an, bn]

还有，我们把pn定义为

an和bn的中间点，所以pn=(an+bn)/2

现在，我们计算Pn-p的值

根据上述pn的定义，我们得到

1/2乘以(an+bn)再减去p

我们知道，如果这一点是an，这一点是bn,

那么中点是pn

p在哪一个区间呢

假设p在这个区间，那么显然，|pn-p|

即这两点之间的距离小于等于

1/2乘以(bn-an)

也就是说，p和pn之间的距离小于p和bn之间的距离

所以，根据前面对bn-an的定义

我们得到2的n次方分之一乘以(b-a）

由此可得，当n的值趋向于无穷大的时候

这个值趋向于0，所以pn收敛到p

这个值趋向于0，所以pn收敛到p

所以，我们证明了序列{pn}

所以，我们证明了序列{pn}

收敛方程的解

那么，收敛速度是多少呢

从这里可以看到，收敛速度约为2的n次方分之一

可以看出收敛到解的速度并没有我们想象的那么快

我们用一个简单的实例来看一下

这些序列如何收敛到解

假设我们有一个函数

多项式函数

x的三次方加上4x减去10等于0

我们来看一下这个方程式

假设我们想要得到这个精确度之内的值

我们希望所求的解的误差

要小于给定的这个值

首先，我们要确定a1和b1的值

我们从b1=2开始

我们从b1=2开始

把这两个值分别代入函数

我们得到f(1)和f(2)

那么f(1)等于多少呢

代入函数中计算得到f(1)=-5, f(2)=14, 所以两者的乘积是70

这满足我们要求的这两个值的乘积要小于0的条件

这里还有很重要的一点

这个函数是在区间[1,2]上是连续函数吗

这是一个多项式函数

根据我们在高中课程中学到的，多项式函数在实数区间上是连续的

所以，这两个条件都满足

所以，我们可以使用二分法

来求方程的解

当然，如果能够求出准确解是最好的

但是，可能在求准确解的时候需要花大量时间

或者计算量非常大

如果所求解达到这个精确度就可以的话

那么我们就可以在这个精确度之内求方程的解

那么需要迭代多少步呢

这在数学上是可以提前预估的

例如，我们前面计算的pn-p的绝对值等于2的n次方分之一乘以（b1-a1）

例如，我们前面计算的pn-p的绝对值等于2的n次方分之一乘以（b1-a1）

等于2的-N次方

这个值需要满足什么呢

必须要小于10的-3次方

两边同时取对数可以得到 log(2^(-n))

这边是log(10^(-3))

这个值等于-3

所以，-Nlog2小于-3

由此可得，n大于 3/(log2)

由此可得，n大于 3/(log2)

计算一下可得这个值约等于9.96

由此可得，我们不需要很多步迭代

如果给在算法中设置命令使其最少迭代10步，

则在迭代10步之后算法终止

我们完全可以推测出的

最后得到的解的误差小于10的-3次方

关于二分法的误差分析部分我们已经讲完了

现在我们来学习不动点迭代的误差分析

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[Week 1] 数值分析简介（수치해석학의 소개）

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] 前言（들어가는 말）

-3. [Lecture] What is Mathematics?

-4. [Lecture] What is Numerical Analysis?

-5. [Lecture] 数值分析的领域（수치해석의 영역）

-6. [Activity] QUIZ

[Week 2] 非线性方程式（비선형 방정식）

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Introduction & Bisection Method

-3. [Lecture] Fixed Point Iteration

-4. [Lecture] Newton's Method

-5. [Activity] QUIZ

[Week 3] Error Analysis

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Introduction & Bisection Method

-3. [Lecture] Fixed Point Iteration

-4. [Lecture] Newton's Method

-5. [Activity] QUIZ

[Week 4] Interpolation

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Introduction & Lagrange Polynomial

-3. [Lecture] Divided Difference

-4. [Lecture] Binomial Theorem

-5. [Lecture] Spline

-6. [Activity] QUIZ

[Week 5] 积分，微分（적분, 미분）

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] 积分，微分简介（적분, 미분 소개）

-3. [Lecture] Newton Cotes Formula

-4. [Lecture] Simpson's Rule

-5. [Activity] QUIZ

[Week 6] Linear Algebra

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-3. [Lecture] Matrix Version (Gauss Elimination)

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-6. [Lecture] Example

-7. [Activity] QUIZ

[Week 7] LU Factorization

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-3. [Lecture] 计算方法（계산법）

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-5. [Lecture] Cholesky Factorization

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[期中考试（중간고사）]

-期中考试（중간고사）

[Week 8] QR Factorization

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-4. [Lecture] Example

-5. [Lecture] Matrix Norms

-6. [Activity] QUIZ

[Week 9] Iterative Method

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-5. [Lecture] Example

-6. [Activity] QUIZ

[Week 10] Positive Definite

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-2. [Lecture] Definition

-3. [Lecture] Theorem & Example 1

-4. [Lecture] Theorem & Example 2

-5. [Lecture] Theorem & Example 3

-6. [Lecture] Theorem & Example 4

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[Week 11] Ordinary Differential Equation

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-4. [Lecture] Error Analysis

-5. [Lecture] Euler Method

-6. [Activity] QUIZ

[Week 12] Runge-Kutta Methods

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-1. [Lecture] Introduction

-2. [Lecture] n-th Runge-Kutta Methods

-3. [Lecture] Multi Step Method

-4. [Lecture] Explicit

-5. [Lecture] Example

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[Week 13] O.D.E. and P.D.E.

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-2. [Lecture] Boundary Value Problem With O.D.E.

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[期末考试（기말고사]

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