当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 1、Introduction > 1.3 Methods to solve differential equation solving method > Video 1.3
返回《Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications》慕课在线视频课程列表
返回《Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications》慕课在线视频列表
下面我们来讲解微分方程求解的方法
所以我们通过一个实例简单看看微分求解的一些主要方法
我们看一下左端固定的一个一维问题的拉杆
沿拉杆的长度方向它受一个均布的载荷P
拉杆的弹性模量为E
横截面面积为A、长度为L
它是一个一维问题
所以我们用基于X描述的位移场来描述它
也就是X取不同的值
描述不同位置的位移
它的三大类方程的构建就忽略了
我们可以直接得到关于位移场的微分方程
由于它是一个1D问题，所以它是一个二阶常微分方程
这里的基本变量是U(x)，它就是位移场
边界条件是左端固定
也就是说U在X=0的位置处为0
右端为自由端
也就是说它的一阶导数在X=L的位置处为0
针对这个方程
在这样的边界条件下进行求解
我们介绍主要的三种方法
第一种方法叫解析法
解析法求解二阶常微分方程很简单
我们可以直接得到位移函数是一个二次函数
这些变量都是这里面的系数
通过边界条件来确定的
我们重点来介绍第二种方法
近似的方法
用差分方法来作求解这个微分方程
首先差分要把这个复杂对象分成若干段
我们要取节点
在这个问题里面我们取6个节点，分成5段（此处以字幕为准）
那么涉及到一个二阶导数
二阶导数用差商或差分来代替这个导数
针对1节点2节点3节点4节点
分别建立相应的用差商代替微分的方程
注意左端点固定，即边界条件U0=0
右端点涉及到U5
它是一阶导数为零
可以得到U5=U4
这样就能保证它的一阶导数为零
这也是一个边界条件
把这两个边界条件代入到
针对1、2、3、4节点所建立的差分方程
可以得到一个线性方程组
它的基本变量就是1号节点
2号节点、3号节点、4号节点的位移
对这个线性方程组进行求解
容易得到1号节点到4号节点的位移值（视频有误，应依次为0.16、0.28、0.36、0.4）
当然为了提高计算精度
可以取更多段的差分
比如取n段
同样我们可以得到针对1到n-1
这n-1个节点的线性方程
同样带入边界条件U0=0
Un=Un-1这样的边界条件
代入后可以唯一求出1到n-1节点的位移值
我们把几种情况的计算结果列表进行对照
我们看一下分5段、 分50段、分100段、分500段
还有解析解的情况
随着细分，我们的结果越来越趋近于我们的解析解
我们再介绍基于试函数的近似方法
它的基本思想是
这是控制方程
这是边界条件
它的思想是我们假定有一个解
这个解里面有待定系数
这个解叫做试函数
把这个解首先代入边界条件
让它满足边界条件
或者说我们寻找满足边界条件的试函数
来作为我们设定的试函数
当然里面有待定系数
然后把设定好的试函数再代入控制方程
很显然，代入之后是不满足的
除非所设定的试函数碰巧是解析解的试函数
代入之后刚好满足，那就是精确解
大多数情况下，我们并不知道它的精确解
所以代入之后肯定是不满足控制方程的
我们设定它的残差函数
让它的残差函数最小来确定它的待定系数
我们举个例子
对于刚才那个左端固定受均布载荷的拉杆问题
我们设定一个试函数
C1为待定系数， 基底函数为φ1
我们看下边界条件
左端点固定， 右端点一阶导数为零
所以我们设定基底函数为sin函数
它刚好可以精确满足这个边界条件
我们把带有待定系数的试函数
以及满足边界条件的试函数代入控制方程
发现这个函数不等于0
我们把这个函数叫做残差函数R（x）
我们让R（x）乘上基底函数
把基底函数作为加权函数
也就是说对残差进行加权以后
在整个域里面0到L进行积分
最后确定出待定系数C1
获得的最后结果也就是基于试函数的解
就可以表达成sin函数再乘上前面的系数
为了进一步改善求解精度
我们还可以取多项的试函数
比如我们取φ1，第一项试函数
再取φ2、 第二项试函数
让它们前面分别乘以相应的待定系数进行线性组合
当然这两个试函数，基底函数都要满足边界条件
组合以后肯定满足边界条件
具体来说取一个sin函数，再取一个sin(3πx/2l)的函数
可以验证这两个函数都是满足边界条件的
同样把取得的试函数代入到控制方程
把代入试函数以后的控制方程的函数叫做残差函数R（x）
将残差函数分别对φ1和φ2进行加权
加权以后进行积分以后等于0
最后求出这两个待定系数C1、C2
可以得到基于两个基底函数的试函数获得的解
同样我们把取一项试函数和取两项基底函数的这两种情况
和解析解进行对照，分别在不同的位置上
很明显，当我们取两项试函数的时候
它的解很逼近于解析解
我们再对刚才所介绍的三种方法进行讨论
首先讨论求解的精度
以解析解作为基准
基于差分方法获取的解，刚才所说的分成50段
100段、500段的情况下获得的解都非常精确
都很接近于解析解
基于试函数，基于一个基底函数的解是这条曲线
它和解析解还是有一定误差
当我们取两个基底函数的时候，它的解非常接近于解析解
也就是说解析精度，近似程度非常高
第二个讨论这几种方法的特点，并进行比较
对于解析方法，它的求解过程就是直接解微分方程
相对来说，它的求解难度比较高，求解精度没问题
它的方法规范性需要很高技巧
由于我们问题是1D问题，比较简单
稍微复杂的2D和3D问题， 一般来说要获得解析解非常困难
所以说它的解题范围，只能针对简单问题来求出解析解
近似方法也就是数值方法我们刚才介绍了两种
一种是差分法，还有试函数法
对于差分法，它的求解过程就是把微分用差商来代替
最后获得线性方程组，最后进行求解
它的难易程度比较简单，求解精度比较高
但是它的计算量比较大
刚才我们分成50段、100段、500段的时候
精度比较高，但计算量比较大
它的方法规范程度还是不错
它可以处理比较复杂的问题
试函数法也是数值方法
它的求解过程需要先假设一个试函数满足边界条件
然后代入控制方程，对控制方程加权以后让它取极值，取0
最后获得线性方程组
它的技术关键就是需要找满足全场的试函数
还要满足边界条件
应该说方法比较简单，计算精度比较高，计算量比较小
刚才我们取两项基底函数就可以获得很高精度
但是这个方法的规范性
只要试函数确定，后面整个求解流程都非常规范
它的适应范围也是不错的
但是它最关键的是怎么获取试函数
而且是全场试函数要满足边界条件
刚才提到的试函数法和差分法
这两个方法在工程中广泛应用
它主要特点是求解代数方程，容易编程
适合于工程中复杂问题求解
相对来说，试函数法更为简单，计算量比较小
关键就是如何构造满足边界条件的全场的试函数
针对复杂的几何域怎么来构造试函数
这是一个关键
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
