当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 9、Finite element analysis of continuum structure (2) > 9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming > Video 9.2
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空间8节点正六面体单元及MATLAB编程
首先是节点描述
我们看看这个单元，它有8个节点
当然为了推导方便
我们把它定义为正六面体
后面真正应用的时候还要做一些变换
和平面问题的矩形单元是对应的
首先，几何坐标
那么8个节点，每个节点都给出相应的坐标
也是x,y,z的，从节点1-8每个方向都有
对于节点位移
我们每一个节点有3个分量
一共有8个节点，那就是24个自由度
我们把它列出来
就是24X1的列向量
就是u1,v1,w1一直到u8,v8,w8
那对应着节点的位移
我们同样也定义相应的节点力
分别是Px1,Py1,Pz1一直到Px8,Py8,Pz8
那么基于节点描述以后
我们进行单元的场的描述
同样，单元场的描述涉及到
位移场、应变场和应力场
首先看位移场
那么位移场首先就是位移模式
我们把所有的节点的自由度分成三组
也就是说x方向的自由度、y方向的自由度
和z方向的自由度
那么在x方向的自由度有8个
我们用8个x方向的自由度
对x方向的位移场，也就是u(x,y,z)进行
同样，考虑两个原则
唯一确定性原则和从低阶到高阶
进行插值函数的位移模式的选取
我们看看，前面是完全的线性项
后三项是xy,yz,zx的交叉项
最后一项是xyz的交叉项
对于y,z方向的位移，情况是类似的
这24个待定系数
我们需要由节点条件来确定
节点条件就是从1号节点到8号节点
让位移场分别等于相应的节点位移分量
也就是ui,vi,wi
那我们就得到这么一个线性方程组
这个线性方程组对所有的24个待定系数进行求解
我们可以表达成节点位移的这么一个关系
也就是说用u1,v1,w1一直到u8,v8,w8
来表达这24个系数
那么我们重新写一下
写出来就是
对于x方向的位移分量就是
对于y,z方向也都是N1,N2,N3,N4
乘上相应的节点位移分量
我们把它写成矩阵形式
前面这个N我们把它集成到一起
就是3X24的形状函数矩阵
后面这个就是我们的节点位移列阵qe
对于位移场的矩阵形式
我们也可以看到
从N1,N2一直到N8
它分别是3X3的对应的分块矩阵
一共有8个分块
3X8=24，所以是24个
由于我们是正六面体单元
完全可以用拉格朗日插值
直接写出Ni的具体表达
基于位移场的描述
我们由几何方程就可以进行应变场的描述
同样也是一个算子矩阵
一个偏导作用在位移场上
我们就可以得到B矩阵乘上节点位移的列阵qe
再由物理方程
也就是说在应变的基础上
我们在前面乘上一个弹性系数矩阵
我们同样也可以得到应力场函数的描述
当然我们可以把D矩阵和B矩阵合到一起
写成应力函数的矩阵，叫S
基于三大类变量的描述
也就是说把三大类的场变量分别表达成
基于节点的描述，也就是qe的描述
那么前面分别乘的是
N矩阵乘上节点位移的描述就是我们的位移场
B矩阵乘上节点位移的描述就是应变场
D矩阵再乘上B矩阵再乘上节点位移的列阵
就是我们应力场的描述
基于三大场变量的描述
我们把它代到单元的势能表达里
也就是说势能是应变能减外力功
同样我们可以得到这么一个表达
同样我们取极值
最后我们就得到单元的刚度方程
这个时候的K矩阵是24X24
它具体的表达也是
那么单元节点的等效载荷同样也是
如果是体积力
同样前面要乘上一个形状函数矩阵的转置
在这个域里进行积分
对于分布力p
同样前面乘上函数矩阵转置
在所作用的这个面积上进行积分
那么我们讨论一下空间8节点正六面体单元的性质
看看位移场
那么位移场我们看一个，其实3个分量都一样
我们看看x方向的分量u(x,y,z)
我们从插值函数的选取
从低阶到高阶取了8项
那么可以看出它是完全的线性项加上交叉项
这个交叉有两两交叉还有三项交叉
对于应变场
同样我们把位移用算子来进行作用
也就是用几何方程来进行求一下
我们可以分别求出应变的各个分量
我们看一个x方向的分量εxx
求出来以后是等于
我们看看它实际上是一个不完全的线性项
对于应力场也是这样的
因为它是在应变场的基础上
前面乘上一个弹性系数的矩阵
所以它也是不完全的线性函数
那么我们可以看出来这个单元的性质是
位移场为完全线性加交叉项函数
当然它在x,y,z各个方向上
它是呈一个完全的线性变化的
对于应变场和应力场它为不完全的线性函数
那么空间8节点正六面体单元
对应于我们平面4节点矩形单元其实性质差不多
它比4节点四面体的空间单元的精度要高
同样，因为它是一个正六面体
它是一个很标准的形状
我们真正在用的时候还要进行一个形状的变换
以增强几何的适应性
对于空间8节点正六面体单元的MATLAB编程
同样我们要定义3个函数
Stiffness它是计算单元的刚度矩阵
Assembly它是进行单元的组装
Stress是计算单元的应力
对于Stiffness它要输入弹性模量、泊松比
要输入8个节点的坐标
它输出的是单元刚度矩阵
对于Assembly这个函数
它要输入单元的刚度矩阵k
输入单元的节点编号，也就是这8个编号
输出的是整体组装以后的刚度矩阵KK
对于Stress这个函数
它输入弹性模量、泊松比
输入8个节点的坐标
输入单元的位移列阵u(6X1)
输出单元中心的节点的应力Stress(6X1)
分别表达应力的各个分量
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
