当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 10、Basic properties in finite element method > 10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix > Video 10.2
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对于形状函数，我们以杆单元为例
两节点的杆单元
我们形状函数是N1(x),N2(x)
位移场是u(x)
我们想分析一下N1(x),N2(x)究竟有什么性质
我们考虑两种特殊情况
第一种特殊情况
我们为了把N1的性质突出出来
我们假定左端，也就是u1给一个单位位移
右端是固定的，也就是u2=0
这个时候我们看看位移场是什么样的
它就是
那么我们画出这个曲线就是这样的
是一条直线，N1(x)
我们为了考查N2
我们令左端固定，也就是u1=0，令u2=1
这样我们的场函数
我们画出来这个形状函数就是N2(x)这条直线
我们可以得到它的性质1就是
Ni表示在i点的节点位移为1
其它节点位移为0时的位移场函数
我们再考虑另外一种特殊情况
假定这个杆单元发生了刚体位移
我们假定这个刚体位移是u0一横
当然它的位移场u(x)就等于u0一横
它节点位移同样等于刚体位移
这个时候我们带到杆单元的位移场里去
它就有，左边是u0一横，右端是
我们把u0一横去掉
这样就得到
所以我们知道了
单元形状函数矩阵的性质2
它就是要满足所有的形状函数加起来等于1
这个性质主要是为了描述单元的刚体位移
因为这个性质就是由刚体位移得到的
我们再看看单元刚度矩阵系数的性质
这也是两节点杆单元的单元刚度方程
这是k11,k12,k21,k22这么一个情况
我们同样为了考查k11的性质
我们设定一下
我们让u1=1，让u2=0
这样我们由单元刚度方程的第一个方程
我们就可以得到k11=p1
我们来解读一下这种情况
这样的情况就是
单元刚度矩阵的对角线元素
比如我们刚才说的是k11
那么我们对kii作一个一般化的表达
那就是要使得单元的第i个节点产生
单位位移ui=1，而其它节点的位移为0时
需要在节点i所施加的力
刚才我们看见了，k11是等于p1
这就是在kii要等于pi
就是那个地方要施加的力
这就是它的单元刚度系数的性质1
我们再看看，非对角线元素的性质，比如k12
这个时候我们就要令u1=0，让u2=1
这个时候我们看看
由单元刚度方程的第一个方程
这样就可以得到k12=p1
我们看看所得到性质就是
当然我们把它一般化了
就是单元刚度矩阵的非对角线元素kij
当然i不等于j
它表示使得单元的第j个节点产生单元位移uj=1
而其它节点位移为0时，需要在节点i所施加的力
也就是说k12=p1这么一个条件
那么单元刚度矩阵我们可以看看它的表达是
我们把这个单元刚度矩阵再转置一下同样可以得到
所以说单元刚度矩阵它是一个对称的
单元刚度矩阵也是半正定的
我们来看看，单元的应变能
我们前面已经计算过了，它等于
如果我们把单元的节点位移
也就是u1,u2,u3一直到un
我们分别代进去
分别写出这个应变能的具体的一些系数，那就等于
总的来说它是1/2乘上一个二次项
我们可以看看，对于qe为非刚体位移时
除非qe=0，应变能总是正的
如果它要为0，只有节点位移为0，它才为0
那么如果是对于qe为刚体位移的时候
也就是说这个qe不为0的情况下
这个时候，如果要应变能为0
只有使得刚度矩阵Ke它的行列式一定要为0
因此我们就说刚度矩阵是一个半正定的
我们再考查一个附加刚体的情况
同样还是对于这个一维的杆单元
假定这个单元的1、2号节点有一个位移
我们分别表达成c1,c2
它是位移1，这是第一种情况的
它要满足单元刚度方程的这么一个表达
也就是说刚度矩阵乘上节点位移要等于节点力
这是第一种情况
假定第二种情况
我们在前一个节点位移的基础上有一个刚体位移
我们叫u0
既然叫刚体位移
那就1号节点和2号节点上都有相同的刚体位移
我们把这个时候的位移叫c1,c2
它是第二种情况下的位移
同样由于刚体位移不影响它的受力状态
所以它的单元刚度方程还是一样
就是说力p1,p2还是一样
只是它的位移，里面加了刚体位移的u0而已
我们把这两个方程相减就可以得到这么一个表达
这个时候的载荷就为0了
我们看看这个方程里面的这一项，也就是位移项
它是非0的，刚才相减过后肯定是等于一个u0
它是非0的
这个方程又是一个齐次方程
要使得齐次方程成立
只有这个非零解的条件，就是它的行列式要等于0
就是系数的行列式等于0
由此我们可以得到单元刚度矩阵它是奇异的
也就是说它的系数的行列式是等于0的
同样，还由前面这个例子，我们来看看
我们把刚才的这个单元方程写成两项
我们把刚体位移也放进去
第一项、第二项
那么我们把刚体位移给它去掉
那么我们就得到这么一个方程组
这表示什么意思呢
就表示单元刚度方程的各个系数在
每一行每一列，它加起来要等于0
也就是说它表明是一个平衡的力系
为什么它等于0就是平衡力系呢
这是因为我们的刚度方程的物理含义
在前面我们给大家证明了
单元刚度方程是由最小势能原理得到的
最小势能原理在我们力学里的物理含义
它就是对应着平衡关系
所以它等于0就表明是平衡的
有了单元刚度矩阵的性质以后
我们集成以后的总体刚度矩阵的性质
同样，它是对称的
同样是奇异的、半正定的
当然它还多了一个稀疏矩阵
因为装配以后它是一个带状的
那么非零元素呈现一个带状的特征
当然，上面所介绍的这些矩阵的特征
对于常规的C0问题应该没问题
对于梁单元，也就是C1型单元
可能稍微有一些不同
关于C1型单元和C0型单元，我们后面还要给大家讲解
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
