当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 10、Basic properties in finite element method > 10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces > Video 10.3
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我们得到了整体刚度矩阵为
当然我们前面已经知道了
所装配的刚度方程，这个K矩阵是奇异的
这就是因为它有刚体位移
所以我们要处理边界条件
我们常见的边界条件有两种
一种是零边界条件，就是比如固定的约束
另外还有一种给定具体数值的位移边界条件
我们把它表达成
那么前面我们也提到了
我们对刚度方程进行分块
也就是说把位移分成已知的qa一横
还有一个未知的qb
同样把力也分成已知的Pb一横，还有未知的Pa
前面已经提到了
已知的位移和未知的力，它形成这么一个互补的关系
我们要对这个分块的刚度方程进行边界条件的处理
首先我们讨论直接法
直接法是针对零边界条件，也就是说
那么在这个分块的刚度方程里面
我们就把qa一横对应的行和列划掉
剩下的这个我们就可以直接得到
关于未知节点位移的这么一个方程
这个方程我们就可以直接把它求出来
同样，针对给定数值的位移边界条件
也就是给定u一横的这种情况
我们对刚才分块的这个刚度方程
我们对于第二个方程，我们看看
我们把给定的qa一横代进去
我们由方程b，就是第二个方程
同样也可以直接把未知的节点位移qb算出来
当得到了qb以后，我们再由方程a就可以求出Pa
Pa也就是支反力
那么直接法，我们看看
它的处理过程是比较直观的
求解的矩阵的规模变小了，因为划行划列划掉了
适合于手工处理
但是由于划行划列以后
刚度矩阵的节点编号和排序改变了
不利于计算机的规范化处理
特别是大规模的计算
因为秩序改变了过后要重新排序
这个计算量和工作量是相当大的
另一个方法是置1法
置1法我们主要是针对零边界条件的情况
假定在r这个自由度的位置有一个零边界
那么置1法就是把r这一行这一列作一个处理
也就是把krr置为1，它的行和列其它元素置为0
然后再把所对应的载荷位置pr置为0
这就是置1法
置1法对不对呢
我们要考查一下对原始的边界条件是不是能反映出来
同时也要看置1法对其它节点位移的影响是不是合理的
我们看看，我们考查第r行的方程
我们把它拿出来
由于其它的元素都为0
只有krr还有qr，我们把它写到这
然后还有一个载荷pr
由于我们置1法,krr=1
这个对应的pr=0
所以只好得到
那这正好就是我们的零边界条件所需要求的
当然，我们得到节点位移qb以后
我们同样也可以由前面这个分块方程计算支反力
置1法的特点是
只能处理零边界条件
它可以保持原矩阵的规模，就说不需要重新排序
而且使得总刚度矩阵的对称性得到了保持
有利于计算机的规范化处理
乘大数法
乘大数法它是针对非零的边界条件和零边界条件都可以
我们看看，对于一个非零的边界条件u一横
它同样也是在第r个自由度的位置
我们对第r行，我们把它的系数krr乘上一个大数α
然后再把对应的载荷pr换一换
把它换成α乘krr再乘上一个u一横
这就是第r行的情况
那么我们考查一下第r行的一个关系
我们把这个乘了大数，又把对应的载荷作了一个置换
的这么一个情况，我们把这个方程拿出来
我们就得到这么一个方程
由于α这个系数很大
使得和它周边的这些元素相比
因为它比较大，所以其它的元素就可以省略
所以前面这一项就得到了
我们力的这一项，我们刚才已经置了
这样我们就把前面两项α乘krr消掉
剩下就是
这正好就是我们所针对的边界条件
当然我们这是一个近似的
为什么呢
因为前面在左边这个式子得到的时候
已经把其它的元素的影响去掉了
为什么去掉呢，就是因为α这个系数很大
所以α的取值将影响该方法的精度
一般情况下，我们可以把α取为刚度系数
就是kii里面最大的，再乘上一个10的4次方
取这么一个值往往就能得到一个比较好的精度
当然我们得到了节点位移以后
同样也可以进行支反力的计算
乘大数法的特点就是
它既可以处理零边界条件又可以处理指定边界条件
它保持原矩阵的规模，不需要重新排序
同时它也保持总刚度矩阵的对称性
便于计算机的规范化处理
也就是说只要改变这两个数
完全按照整个刚度方程的常规的求解来做就行了
下面再介绍一下罚函数法
罚函数法它针对非零的这么一个边界
它的思想就是用一个大刚度的弹簧
来支撑所对应自由度的这么一个边界
我们假定这个弹簧的刚度为C
这样我们就把这个支撑边界的位置算一下它的应变能
弹簧的应变能就是
也就是它的相对伸长量
整个系统的总势能
就是原来的势能再加上这个弹簧的势能
这个弹簧的势能刚才已经给了
由势能最小原理，我们对ui进行求导数
那么这个ui是分别对所有的自由度，从1到n
我们求了导数后就得到这么一个方程
这个方程就是刚度方程
当然这个刚度方程是带有弹簧的这么一个刚度方程
当然这个弹簧是我们人为加上去的
我们对这个刚度方程的第一行我们拿来分析一下
第一行这个地方就多了一个弹簧C
后面这个地方，同样由于求了偏导以后
后面的这个载荷这里也多了一个C
那么我们把C分别除一下就得到这么一个表达
由于C比较大，所以其它的那些项都为0
这一项也为0
这一项也是很小，它和1比很小
就得到了u1等于u1一横
当C足够大的时候那么这个可以说
是我们指定边界下的一种近似
当然我们这个C一般是取
所有刚度系数里最大的再乘上10的4次方
当然在近似的得到u1的位移以后
我们还可以直接求支反力
我们还由第一个方程来做，那么我们可以得到R1
我们把其它的消掉
大家可以看看
正因为u1和u1一横这中间有一个差
因为我们得到的是一个近似的解
正因为有这个近似的解，它有一个差
这个差应该是比较小的
再乘上这个刚度系数，这个C是比较大的
乘上以后恰好就可以得到这个支反力
罚函数法的最大好处就是可以直接计算出
位移边界上的支反力
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
