当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 10、Basic properties in finite element method > 10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function > Video 10.4
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对于单元来说
位移模式将直接影响它的收敛性
什么叫收敛
也就是说当节点数或者单元插值位移的项数
趋近于无穷大时
也就是说当单元尺寸趋近于零时
最后得到的结果是无限地逼近准确解
也就是计算量越大、划的单元越多
我们的结果越好
我们看看这个收敛曲线
横坐标是节点数，纵坐标是势能
这是真实的解
那么1号曲线，随着我们节点数增加
它逐渐收敛到真实的解
这个是收敛的
2号曲线，我们看看
2号曲线它是收敛于真实解
但是收敛速度比较慢
3号曲线，它虽然收敛，但是没有收敛到真实解
4号曲线，它是一个非单调的收敛
它不构成真实解的上界和下界
5号曲线，它完全是一个发散的
那怎么才能保证我们所构建的有限元单元是收敛的呢
主要看单元的内部，还有单元和单元之间的连接
只有保证单元内部和单元的连接是收敛的
那么我们整个组装出来的这个模型
才能保证它是收敛的
由于我们在有限元里面的基本原理是要算势能
我们看看这个势能是要计算每个单元的应力、应变
具体表达出来就是
应变的转置乘上弹性系数矩阵，再乘上一个应变
这边是体积力乘上一个位移
面积力乘上一个位移
我们把它作一个展开
也就是说考虑当单元尺寸趋向于0的时候的展开
这个函数我们把它展开
第一项就是展开过后的常数项
第二项就是一次项，当然还有高次项
同样，对于位移这边也是一样
把它展开，第一项是常数项
第二项是一次项，还有高次项
同样，这个后面也是这样的
当单元尺寸趋向于0的时候
这个常数项应该要存在
这个一次项以及后面的高次项，它要趋向于0
这种情况下我们就可以说
单元有这种性能，它就是收敛的
为了得到这种性能
也就是说位移函数本身在单元上应该是连续
而且至少要使得单元位移函数和对应的应变
都为常数的项，也就是说要包含常位移项和常应变项
上面我们可以看到，也就是说这个常数项一定要存在
那么同样还有单元之间位移函数应该保证足够的连续
至少要使得应变的计算能够存在
这样我们就针对单元的内部有准则1
前面提到了，要使得我们的应变能或者势能存在
至少要存在常位移项和常应变项
我们准则1就是针对单元内部的，我们也叫完备性要求
具体描述是这样的
如果在势能泛函中所出现位移函数的
最高阶导数是m阶
那么有限元解答收敛的条件之一就是
单元内部的位移场函数的试函数
也就是我们的位移模式至少是m阶完全多项式
这个叙述起来比较繁琐
实际上它的意思就是要具有常位移项和常应变项
针对单元之间，前面我们说了就是要保证足够的连续
要使得应变的计算能够存在
那么怎么保证呢
我们就有一个协调性的要求，就是准则2
同样如果势能泛函里的位移函数出现的最高阶导数是m阶
那么要求在单元交界面上的必须有直至m-1阶的连续导数
也就是说具有Cm-1的连续性
那关于准则1、准则2的具体应用我们给出一个后面的讨论
对于平面问题，势能泛函是这样的
应力乘应变
我们看看这个应变
由几何方程我们可以得到这么一个偏导的关系
这个里面的最高阶导数明显能看出来就是1
所以说m=1
那么由准则1，形状函数至少要包含完整的直至m次
在这个里面m是等于1的
所以是一次多项式
也就是说对于二维问题
一定要包含这么一个完全的一次项
由它我们求偏导以后，可以得到
它是包含常位移项，还有常应变项
由准则2，位移函数要求
刚才是m=1，所以是要求Cm-1阶连续，也就是C0连续
什么叫C0呢
就是要求函数本身连续
也就是说仅采用节点位移进行插值
就可以使得应变的计算能够存在
那么我们再考查一下平面梁的弯曲问题
同样它的势能泛函写出来
平面梁呢，它是关于挠度的二阶导数
这是它的几何方程，是这样表达的
由准则1，也就是说这个时候它的最高阶导数是2
也就是说m=2
准则1就是要求m阶多项式要存在
这样我们就得到，它的挠度函数是
这是它可以保证常位移项和常应变项
你可以把它求两阶导数以后，你就可以发现
它的常应变是存在的
由准则2，它的位移函数的连续性是Cm-1连续
也就是C1连续
也就是说要求在单元之间的位移函数
至少要求一阶导数连续
这是什么意思呢
就是在节点位移上，我们既要有节点位移，也就是挠度
同时还有一阶导数，也作为它的节点位移
也就是θ，也就是转角
只有通过这两种
就是说节点位移和节点转角来进行插值以后
才可以使得应变的计算成立
也就是说前面提到的v(x)的常应变项
一定要取到x的平方
那必须要有4个待定系数
左节点要有2个位移条件，右节点有2个位移条件
由这4个位移条件才可以确定4个待定系数
这样才可以保证前面所说的常应力和常应变的存在
这样就可以得到插值函数为
对它进行两阶导数的求导以后
我们就可以说它包含有常应变项
同时还有应变的一次项
在常用的单元中间，能够保证常位移项
和常应变项的多项式，我们把它列出来
对于一维问题的杆单元
它是一个常数，还有一个x
这是杆单元
平面单元，要保证常位移和常应变的项是1,x,y
空间单元，也一样，是1,x,y,z
平面梁单元
要保证常应力和常位移的项就是1,x,x的平方
对于平面弯曲板单元，它要求
1,x,y,x的平方,xy,y的平方
对于单元的位移模式的选择
我们前面在构造单元的位移模式的时候已经提到了
第一个是唯一确定性原则
也就是说我们待定系数的个数应该与
节点位移的自由度数要相等
而且要选择多项式是从低阶到高阶
尽量选择完全多项式，这样可以提高单元精度
同样，我们在选择位移模式的时候
还要考虑单元内部的完备性，也就是收敛准则1
它必须要有位移的常数项，还有完备的一次项
对于单元之间的协调性，我们有收敛性准则2
对于C0型单元，它完全是可以保证的
对于C1型单元，往往很难保证我们所取的位移模式
比较难以保证单元之间的协调性
对于2D问题和3D问题我们来构造这个多项式
从低阶到高阶
我们可以参考Pascal三角形
再参考上面的一些准则来选择相应的函数的项次
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
