当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 11、High-order and complex element > 11.1 1D high-order element > Video 11.1
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同学们好
首先回顾一下上一讲的主要内容
上一讲我们学习了
节点编号与存储带宽
形状函数矩阵与刚度矩阵的性质
边界条件的处理与支反力的计算
位移函数构造与收敛性的要求
C0型单元与C1型单元
单元的拼片试验
有限元分析数值解的精度与性质
单元应力计算结果的误差与平均处理
控制误差与提高精度的h方法和p方法
这一讲我们将讲解
1D高阶单元
2D高阶单元
3D高阶单元
基于薄板理论的弯曲板单元
子结构与超级单元
1D高阶单元，我们首先引入一下自然坐标
对于1D问题，我们设1号节点、2号节点
这个长度是l
我们中间设一个P点
P点距2点是l1,距1点是l2
我们定义L1这个坐标是l1/l
L2=l2/l
这样我们就定义P点的坐标是(L1,L2)
显然有L1+L2=1
我们用(L1,L2)来定义P点
这就是我们1D问题的自然坐标
我们看看，以前我们做过的一次杆单元
也就是两个节点，1号节点、2号节点
它的坐标用L1，L2来定义就是(1,0) (0,1)
节点位移还是一样，u1,u2
它的单元位移模式，同样是有两个节点条件
我们确定两个待定系数a1+a2x
如果我们用自然坐标来定义，那就是
同样，我们也可以把它写成
这个形状函数N矩阵，它有N1，N2
N1，N2我们用以前的x坐标来定义的话就是
我们用自然坐标来定义这个形状函数
N1就是L1，N2就是L2
大家看一下，这个L1，L2的坐标实际上就是
形状函数里面的N1，N2
这样就非常简单
对于二次杆单元，我们看一下
它有3个节点，1号节点、2号节点、3号节点
它由自然坐标来描述
1号节点就是(1,0)，3号节点是(0,1)
2号节点在中间，它是(1/2,1/2)
同样，我们节点的位移列阵是u1,u2,u3
以前我们用x坐标定义
同样它是3个节点条件可以有3个待定系数
如果我们用自然坐标L1，L2来定义的话
我们同样也可以写出它的待定系数是
同样我们也可以把它写成
把这个形状函数集成一个形状函数矩阵
以前我们基于x坐标的话，我们可以写出来
同样，N2,N3也都可以写成x坐标的表达
我们用自然坐标L1和L2来写这个形状函数
对于三次杆单元，它有4个节点
它的自然坐标是
(1,0) (2/3,1/3) (1/3,2/3) (0,1)
它的节点位移是u1,u2,u3,u4
同样我们用x的坐标来写的话是4个待定系数
我们用自然坐标L1和L2来写也可以表达成4项
同样，这边是形状函数的表达N1,N2,N3,N4
是用x坐标表达的
这边是用自然坐标来进行表达的
我们再进一步推广到一般的高阶杆单元
假定是具有n个节点的1D杆单元
那么它的位移模式是
根据形状函数矩阵的性质
δij就是当i=j的时候它是等于1
当i不等于j的时候它是等于0
同样，所有的Ni加起来应该是等于1的
这个Ni我们可以用Lagrange进行插值
可以得到它是一个n-1次多项式
我们用无量纲的坐标来表达，就是用ξ来表达
它就是这么一个两两相乘的组合
上面是（ξ-ξj)，下面是(ξi-ξj)
分别要进行相乘
前面我们介绍的是C0单元
也就是不涉及到节点的转角
我们再看看，我们要涉及到转角
甚至是高阶的节点的导数的单元
那么我们要用Hermite插值
我们把这种单元叫Hermite单元
Hermite多项式可以用来描述
具有p阶连续的导数关系的表达
那么我们以前面学过的两节点的梁单元为例
两节点的梁单元实际上是要求C1连续
也就是说要求有导数
同样，两个节点，每个节点两个自由度
就是挠度和转角，一共是4个自由度
同样我们可以写出4项
我们把它用Hermite多项式来写
我们看一下，Hermite多项式是这样表达的
节点数是n，分别从1到n这么一个变化
还有一个是导数的变化
导数的阶次是p
对于一般的C1问题，p=1
同样对于p，k是它导数变换的指标数
也就是从0变到p
这样我们就可以得到，它为0的时候就是我们的节点的挠度
为1的时候就是它的一阶导数，就是转角
对于高次的连续的Cp单元的话
实际上这个p还可以大于1
我们看看，还是我们学过的两节点梁单元
我们用Hermite多项式写出来是这么4项
也就是说是0阶导数，就是我们的v1，就是挠度
这个实际上是一阶导数，1号节点的
也就是θ1
同样，后面两项也是对应的
我们看看
这一项实际上就是我们针对v1的形状函数
实际上就是N1，它是等于
这一项是针对一阶导数，也是针对1号节点的
它是针对我们以前所说的θ1，它的形状函数是
这是N3的，也就是针对v2的形状函数，它是等于
它是针对θ2，也就是一阶导数在2号节点的形状函数
它具体的表达是
我们把这4个Hermite函数画出来
这个函数就是针对v1的那个N1函数
我们看看，它实际上是在1号节点挠度为1
其它自由度，也就是说在这一点的转角为0
在2号节点处，它的挠度要为0，转角为0
这就是我们前面说的形状函数的性质决定的
同样，我们看看，针对θ1的函数N2
它是在1号节点的一阶导数为1
在其它对应的自由度为0
我们再看看N3
N3在Hermite插值函数是
同样它是在2号节点的挠度为1
其它对应的自由度为0
N4对应的Hermite插值函数是
它是在2号节点的转角要为1
其它对应的自由度为0
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
