当前课程知识点:自然科学概论 > 第一篇 非线性科学与数学 > 第二章 数学与艺术 > 第一节 数字的艺术——幻方
大家好
今天我们来介绍一下数学中最具艺术感概念
幻方
著名的天文学家物理学家数学家开普勒曾经说过
数学是一切学科的基础
数学在很多学科的发展中起到了重要的作用
艺术也毫不例外
然而
数学本身就是一门艺术
也许线性代数就是最好的证明
而矩阵无疑是线性代数中最为艺术的元素
我们今天要讲的幻方是一种神秘而有趣的矩阵
幻方是一个古老的游戏
最早起源于中国相传在大禹治水的时候
人们在洛宁县的洛河中浮中发现了一只神龟
它的龟壳上呈现出了这幅图案
当时人们就把这幅图称之为河图也叫洛书
宋代数学家杨辉又给他起了一个名字叫纵横图
因为它是按照行和列去排列的图形
这就是幻方
在深受大家喜爱的金庸武侠小说
射雕英雄传中有一个经典桥段
就是郭靖带着黄蓉去寻找一灯大师
为黄蓉疗伤的途中
偶遇瑛姑
瑛姑给黄蓉出了一道在她看来非常难的算题
视频中的涉及到的内容就是我们所说的幻方
具体来说的就是三阶 四阶幻方
正如瑛姑所说
将1-9这9个数字排成三行三列
使得横看竖看斜看加起来都是15
这样排成的数字阵列就是三阶幻方
其实瑛姑多给了一个条件
没有必要告诉黄蓉15这个数字
只要说将1-9这9个数字排成三行三列
使得横看竖看斜看加起来都是一个相同的数就可以了
那么
我们思考一个问题为什么这个和是15呢
仔细观察1-9这9个数字我们很容易就会发现
1+5+9=15
2+4+9=15
1+6+8=15
2+5+8=15
2+6+7=15
3+4+8=15
3+5+7=15
4+5+6=15
这些数字的和都是15
实际上我们按照数学家高斯9岁时就已经发现的倒序相加法
计算出1+2+?+9=45一共是3行
所以每一行加起来就是15了
这样一来
我们就很容易填出了三阶幻方
戴九履一 二四为肩 六八为足 左七右三
大家如果仔细看刚才的视频就会发现
黄蓉在这有一个口误
她误将左七右三说成了左三右七
作为当代的大学生在接受新事物的时候
一定要具有批判思维
在学习时一定要带着怀疑的态度去探索真理
那么看了三阶幻方
我们再看四阶幻方
与三阶幻方有着类似的规律就是将1-16
这16个数字排成4行4列
使得横看竖看斜看加起来都是一个相同的数
与三阶幻方一样要回答这个问题
我们先要知道这个数是多少
按照刚才
计算1+9=45的过程
我们算出1+2+N+16=136
这个时候我们就知道每一行每一列
每条对角线数字的和都是136/4=34
然后再按照数字的求和规律去填充就可以了
但是用这种方法填充四阶幻方会相当地麻烦
计算也不方便
实际上人们发现了一个规律
那就是把1-16
这16个数字按照自然数的顺序填到四行四列的表格中去
再交换几组数字的位置
就完成了四阶幻方的填充方法
具体来说
那就是把1-16按照自然数的顺序填好之后
内测四个角分别对调就可以了
也就是说2和15交换3和14交换5和12交换8和9交换
其余数字位置不变
这样就填好了4 阶幻方4个横行4个竖列
两条对角线上数字的和都等于34
说到这里
我又想起了电视剧中黄蓉的填充方法
她是将外表4个角分别对掉
再将里面4个角分别对调
相比之下我们的方法要稍微简单一些也容易记
当然同学们也可以自己探索不同的填充方法
除此之外
还有五阶 六阶…n阶幻方
他们都满足每行 每列 每条对角线上的数字和是一个相同的数
但是
随着阶数的增大幻方的填充就越来越困难
手工计算和填充高阶幻方及其不方便
借助计算机来填充
则是一个不错的选择
在Matlab软件中使用magic函数
就可以自动生成指定阶数的幻方
这是一个非常方便的方法
但是计算机也不是万能的
不是任意给一个阶数n
就能利用magic函数生成n阶幻方
当阶数n增大到软件系统的最大计算能力时
计算机也无法给出答案
学术界对于这一问题的探索
从来都没有停止过
有兴趣的同学可以在查阅相关文献资料的基础上
去探索更多幻方的填充方法
好了这一讲就到这里
谢谢大家
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