傅里叶变换在线视频

同学们 大家好

这节课我们一起来了解一下频域处理的基础

傅里叶变换

前面我们一直跳过定义

直接来谈频谱

甚至已经使用软件了

来看过识频图了

来看过识频图了

那么现在是时候让我们一起来了解一下

频谱是怎么被计算出来的

早在1807年

约瑟夫傅里叶就已经提出了频谱的想法

他认为任何的函数都可以分解成三角级数

那么如果用信号处理的语言

也就是说任何的声音信号

都可以分解成若干个正弦波的总和

那么这听起来似乎是难以置信的

但是这里面是有严格的数学证明

还有计算的流程的

在这里面我们并不想对数学公式

和证明做过多的文章

那么如果有同学对

傅里叶变换感到很有兴趣

你可以去阅读一下我们的补充材料

在这里我们要给出的定义

是离散版本的复裂级数

那么它更适合我们的计算机系统

在离散傅叶级数当中

任何的信号都可以写成

一系列的复数正弦波的加权总和

那么这里每一项就是一的N分之2Kπi

那么大家如果没有忘记高中学过的

复数的几种形式的话

一定不会对下面的

这种三角函数的形式表示陌生

那么三角函数形式里面

它分解成实部跟虚部两项

实部是cosN分之2Kπ

虚部是sinN分之二2Kπ

这里我们可以看到

级数的每一项都有自己的频率

那么这些频率取遍了N分2π的整数倍

而每一个复数正弦波付

它的系数 XK则表示正弦波的正负大小

当然这正负也是复数的

那么我们可以通过

对它取模来观察它的大小

而傅里叶变换的任务则是反过来

我们是通过XN这个时域的信号

去计算傅里叶级数当中的每一项的系数

那么我们可以看到傅里叶变换的式子

跟傅里叶极数的式子很像

只不过大X（K）跟小X（N）的位置被换过来了

这种在数学上的对称性是非常让人惊讶的

好了

到这里你可能已经对数学公式表示出畏惧了

但不要紧

我们点到即止

让我们通过函数的图像

来更加直观的了解一下傅里叶变换

我们通过函数图像更加直观的了解一下

真实的声音的

傅里叶变换到底有什么含义

那么我们先录制一段钢琴的C4的声音

然后我们截取其中的一部分的波形进行放大

那么可以看到这段波形是一个周期的信号

虽然我们只是截取了它的三个周期

那么如果我们对这个信号作傅里叶变化的话

就可以得到各种频率的正弦波以及它的系数

那么我们在傅里叶变换的图像里面

横轴表示频率

纵轴我们去取变换完之后的系数的模

也就是能够表示正弦波的正负的一个值

那么这样的话我们就会构成所谓的频谱图

我们可以很明显的看到有三条竖线

那么这三条竖线就是

这一段声音的主要的频谱

其中我们来看一下第一部分

第一部分

就是第一个峰值所对应的频率是261赫兹

它正好对应的是C4的音高

那么可以看到正弦波跟声音的波形

是基本上吻合在一起的

因此它的对应的系数的模就会比较大

这个声音的主要频率也就是261赫兹

我们也把它叫做主频

此外如果观察主频的两倍的地方

也就是第二根峰值的这个地方

那么我们可以看到这跟峰值所对应的

频率正好是主频的两倍

那么正弦波跟原来波形也是比较匹配的

但它没有第一个峰值

所对应的频率那么的吻合

所以我们可以看到

这里也是会有一个峰值出现

只不过它没有第一个峰值那么高

但如果我们把不是主频的整数倍

也就是比如400赫兹这样的频谱的正弦波

放到原来的信号上面

我们可以看到这样的吻合度就比较差了

比如说会有波峰对着波谷的地方

波谷对这波峰的地方

那么实际上只要不是261赫兹的倍数的频率的

正弦波都会出现类似的情况

所以在频谱图当中就

可以体现出这些频率所在地方

符值都是比较小的

几乎能够接近零

到这里我们就可以用频谱图

来表示一段声音的频谱结构了

比较明显的峰值表示这个信号

跟某些频率的正弦波比较吻合

那么这些频率和它所对应的系数

就构成了信号的频谱结构

这里我们可以看到频谱图

是对一段时间窗口计算出来的

因此它具有某种统计意义

选取声音的不同窗口结果也会不同

那么我们将会在下一节看到这个现象

有关傅里叶变换我们就介绍到这里

下一节我们将会用分窗的观点

来介绍短时傅立叶变换