达朗贝尔的行波解在线视频

同学们大家好

这一节我们将会从

行波的角度来看待一维振动

那么前面我们对整个章节的模型

做了一个限定

就是我们只考虑一维的模型

那么每一个质点的位移

由于弹力的影响

会沿着两端进行传播

因此我们也可以从

振动传播的角度来看待弦震动

那么如果我们拉着一根绳子

并且在绳子的一端施加一个初始的扰动

那么我们可以看到

这个初始扰动会沿着绳子往两边

传递

并且

传递到边缘的时候

会进行一个原速率的反弹

因此我们可以看作是

这个波在直线上进行了传播

也就是所谓的行波

那么这一过程我们可以在计算机程序当中

进行演示

好沿用刚才弦振动方程的这个程序

我们稍作一个修改

比如说我们一开始

初始的扰动我们不是设置成

一个整体的位移

而是有一个初始的

激励的信号

等于说有一个点有一个轻微的

扰动

那么这个扰动并不会

影响整根弦的一个变化

那么这个扰动在

随着时间的运行过程中

这个扰动就会沿

弦的两端进行传播

我们来看一下这个结果

左右两边的大小是一样的

到了边缘之后

它就会呈现一个反弹

在反弹的时候它的右方向

也就是垂直于弦方向上的震动

也会发生这个

位移的反向

从而形成这样的一个周期性的传播

事实上法国的数学家达朗贝尔

从数学的角度

给出了这一现象的解释

它的解并不是我们上一节课一样的

直接给出一个三角函数的级数

而是把整个振动方程分解成了

沿着左边传播和右边传播两个部分

那么其中这里面涉及到

比较复杂的数学推导

这些并不是我们关心的重要问题

我们关心的是为什么这两个关联下的

解是完全等价的呢

那么利用高中学过的三角函数公式

我们可以给出数学上的一个基本的解释

那么在弦振动方程的级数形式的解里面

前面我们推导了每一项的形式

那么它都是两个正弦波的乘积

那么对于这两个正弦波的乘积来说

如果我们运用积化和差公式

就可以把这两个sin的相乘

分解成两个cos的相减

那么我们观察一下这两项

首先

它的

其中第一个部分是一样的

L分之nπx这部分是一样的

而左边这一部分关于t的这部分

是呈相反的一个关系

所以我们可以看成

这两个振动是

沿着相反的两个方向

那是以同样的振动的频率进行

传播

下面我们将从整体的角度

给出达朗贝尔的行波解

首先我们先需要做一个变量替换

首先我们会另

ε 等于x加ct

η等于x减ct

把这两个变量进行代入之后

我们就可以得到

U(x t)等于f(ε )加上g(η)

就是f(x+ct)+g(x-ct)这样我们想要的

跟刚才的两个行波的形式相似的一个形式

接下来我们根据左边的编制条件

也就是u(0,t)等于0

那么我们把这个边值条件

带到整个方程里面就可以得到

F(ct)加上g(-ct)等于0

那么这里ct我们可以代入任意的实数

因此g（τ）就等于-f（-τ）

这里τ是任意的时间点

那么这样的话我们就可以知道

g跟f是关于原点对称的一个函数

因此我们可以用f来代替掉g

带到上面的式子之后我们就会知道

U(xt)等于f(ct+x)减去f(ct-x）

这就是我们想要的一个

行波的解的形式

接下来我们再把另一边的边值条件

U(Lt)等于0带到刚才的

这个行波解里面

这样我们就可以得到

F(L+ct)就等于F(ct—L）

也就是说相差2L的

所有的点都是同一个数值

因此f它具有一个周期

它的周期是2L

那么如果我们用信号系统的语言来描述

这个行波方程

我们可以看成是

一个信号FCT经过一个延迟之后

到了一边

那么到一边之后它会

进行一个反弹

反弹完之后它要改变它的符号

那么在这反弹过程中

也许它的

边缘是具有能量衰减的

因此你在改变符号同时

也许需要乘上一个衰减的系数

比如说0.99

然后他再沿着左边传播

到了左边边缘

当然也可以再乘一个衰减系数

但总之它需要改变一个符号

一次往复形成一个循环的网络

这个循环网络给了我们一个

非常简单而有效的弹拨乐合成的算法

在下一节当中

我们将使用一个滤波器来简化这个网络