弦振动模型在线视频

同学们大家好

让我们从弦振动模型来开始我们今天的课程

在这个模型当中

我们是假设弦的震动

是由于弦发生了弹性的形变

在弹力的作用下产生的振动而发出了声音

那么我们关注点在弦本身

我们会不考虑琴的其他的部分

比如说琴箱的影响

比如说两个琴轸的影响

比如说

还有

你在波动的时候手指本身的影响

那么在物理学当中

理想弦是一根两端固定

密度均匀的

并且每个点都受到满足福克定律的弹力

一根只有长度没有宽度的一根细线

那么沿用上节课的质点弹簧阻力模型

我们可以把一维的振动模型看成是

一系列排列在直线上的一些质点

这些质点他们同样是只有质量没有大小

不同的质点之间是由一根弹簧连起来

而且所有的弹簧都是完全一样

那么在这根直线的两端有两个固定的点

这两个固定点是完全静止不动的

那么当弦上的一个质点发生弹性形变的时候

它就会带动其他的质点进行上下的振动

按照我们经验

在弦的物理性质固定情况下

它也可以根据弦的张力

和弦的长度发出不同音高的声音

尤克里里上的弦是可以调整它的弹力大小的

比如说我们可以听到这样一个声音

那么当这个弦调的更紧的时候

你会听到音高会越来越高

随着张力的越大

音高就会变得越高

在弦上有不同的品

那么这些品可以控制弦的长短

那么我们可以听到

当我们改变弦的长短的时候

弦越短的时候音高就越高

那么为了能够更清楚地看到

这一经验背后的原理

我们需要对理想弦作简单的受力分析

我们考虑弦上的任意一个质点

当这个质点离开了它的初始位置之后

它就会受到两个拉力的一个影响

这两个拉力来自于这个点相邻的两个点

P跟Q

我们假设这两个点的横坐标

分别是X0X0加ΔX这两个点都会对

我们考虑的那点产生拉力

我们考虑的那点产生拉力

但是真正产生位移的影响

实际上是来自于纵向的

也就是垂直于弦方向的拉力

我们假设垂直于弦方向这轴叫做U轴

我们首先需要对拉力进行一个正交分解

那么运用简单的初中物理的知识

我们对两个拉力T

分别进行U方向的一个正交分解

这样我们就可以计算出

这一点受到纵向的一个拉力

是TQ减去TP

TQ的大小就是T乘以sinβ

β指的是 Q这一点的夹角

α是P这一点的方向角

这样话我们就可以得出

我们所考虑的那个点的

受力的大小是TQ减TP

也就是T乘以sinβ减Tsinα

除此之外

我们假设α跟β都是非常小的一个角

也就是说我们离开的这初始位置

并不会离开太远

这样的话运用微积分的一些基本的知识

我们可以知道

tanα就等于sinα

tanβ就等于sinβ

其实sinα跟tanα

其实也是等于α了

那么这里面tanα

跟tanβ其实都是有特殊的含义的

因为tanα相当于是P这一点的一个斜率

tanβ相当于是Q这一点的一个斜率

根据牛顿第二定律F就等于MA

其中F就是刚才计算出来的拉力的大小

TQ减TP

A指的就是加速度

那么我们在计算质量M的时候

需要用线密度乘以我们考虑质点的一个长度

它的长度是ΔX

这样话我们就建立了一个加速度

跟拉力之间的一个关系

那么如果我们把ΔX除到左边

左边的形式我们看起来是一个二阶导数形式

它是U相对X的一个二阶导数

因为本身 就是一个一阶导数

然后现在左边又是一个

相差再除以ΔX

那么当ΔX趋近零的时候

左边就是一个二阶导数

而右边A本身就是U相对于T的

一个二阶导数

所以这样的话我们就可以建立起

一个二阶的偏微分方程

左边是U相对于T的二阶导数

右边是U相对X的二阶导数

那么我们的整个分析告诉我们

这两个二阶导数是成正比的

通过刚才的简单推导

我们就得到弦震动模型的一个重要的结论

也就是U关于T的二阶导数

跟U关于X的二阶导数是成正比关系的

那么在计算机程序中

我们可以使用二阶的差分方程来代替二阶导数

这样话我们就可以用递推方程的方式

来制作有关弦振动模型的动画

让我们就在Processing里面来实现

这样一段简单的程序

那么它实现是刚才的两个二阶的递推方程

我们运行起来看一下

假设这根弦它有一个初始的一个位移

就是我们把弦上中间的一点

拉到一个比较远的一个地方

这样话它的左右两边的质点

有一个相应的分布

那么一旦按R运行起来之后我们可以看到

整个弦它就会成一个这样的一个周期的震动

等于说支点的一个位移会往两边进行传播

当然左右两个点是固定的

所以到了左右两个点之后

他就被迫反向的进行传播

那么会形成这样的一个周期性的振动

如果从理论上解释刚才的程序中的周期振动

我们需要在编制条件

U0T等于ULT等于0的情况下

也就是两端的垂直方向位移等于0的

这样的编制条件下面

去考虑整个偏微方程的解

具体的解答过程

我们可以参加我们的参考论文

这里我们不妨略过求解的过程

直接进入求解的结果

可以看到偏微分方程的解当中

它是一个级数的形式

并且级数中的每一项是

sin L分之nπx

以及乘上右边的这一块

an cos L分之nπct加上bn sin L分之nπct

这两个部分

那么如果我们观察级数中的每一项

我们可以发现

其中前面一项它的频率是跟T没有关系的

右边一项它的频率都是L分之πc的整数倍

所以我们其实可以把右边看成是一个

整数倍的这样的三角级数

那么利用我们高中学过的

简单的三角函数知识

我们还可以对级数进行进一步的简化

比如说我们设an跟bn都满足一定的关系

我们只需要给它乘上一个系数

就可以让它满足三角函数关系

比如说我们令sinθn等于根号an的平方

加上bn的平方分之an

我们知道bn除以an的平方加上bn的平方

那么这两项的平方和

我们一定能够保证他们是1

所以我们可以假设这一项就是cosθn

因为sinθn的平方加上cosθn的平方

是等于1

有了这样的假设之后

上面的部分我们就可以使用和角公式

把它合成同一个三角函数

也就合成

sin L分之nπct加上θn

这样话整个函数形式就会变成一个

只有一项的三角函数形式

这是关于T的一个正弦波

但它的振幅是跟它所在的位置X是有关的

这样话我们就知道

弦的振动是由若干个正弦波叠加而成的

因为右边的这一项它跟T是无关的

如果我们把它看成T的函数的话

它的每一项都是一个正弦波

再乘以一个常数

其中他的第一项的频率

我们也把它叫做主频率

f1是2π分之ω1

也就是2L分之C

而其他的项

它的频率都是第一项的整数倍

因此我们也把第一项叫做基音

而把第二项叫做第一泛音

第三项叫做第二泛音等等

这个定律我们也把它叫做梅森定律

那么除此之外

如果我们考察一个特定的n

也就是我们固定其中的某一项

考察其中的某一项

那么我们发现它的振幅是会随着X

成一个正弦波的这样的一个变化的

也就是说它会有周期性的一些0的点

比如说当X等于N分之L的时候

这一项就是π的整数倍

我们知道sinπ的整数倍都是0

因此在整个直线上就会产生周期性的零点

于是这样就会产生一个驻波的现象

也就是说对于不同的n来说

它在X轴上的整体的振幅

会产生周期性的变化

在N等分点的地方

它会产生一个特别的点

叫做波节

在两个相邻的波节中间

它会产生一个振幅最大点

我们把它叫做波腹

那么在弦乐器的演奏过程中

如果弹奏完一个音

立刻就把手指放在一个弦的正中间

那么这样的话

基音将会被你的手指所制止

所以你的基音是发不出声音的

但是偶数倍的泛音

由于它的二之一处是一个波节

那么你把手指放在波节的地方

是不会影响整个振动的

所以我们将会听到留下来的

偶数倍的泛音叠加而成的声音

那么我们来试一下

那么如果我们直接去弹奏一根弦

我们会听到一个完整的震动

但是在弹奏过程中

如果我们把手指放在弦的正中间

我们听到这样的一个声音

这个声音比起刚才的声音

音高高了八度

而且我会听到一个比较空灵的一种感觉

那么主要是因为

我们在把手指放在正中间的时候

基音被你制止掉了

然后留下的是两倍四倍六倍等等的

这样的偶数倍的泛音

所以它的频率是基音的两倍

所以听起来它是高八度的一个声音

这就是乐器演奏中的泛音的一个主要的原理

因此在理想弦的方程的解当中

从每一个孤立的点的角度来看

它的振动是由若干个频率是主屏的整数倍的

正弦波的和

那么并且主屏是跟它的所在的位置的X

是无关的

那么到这里我们已经从理论上解释的

理想弦可以产生的乐音的主要原理

下一节我们将会从运动过程中

质点与质点之间的关系的角度

来深入的了解弦震动的模型