6.3 有限元法_有限元法在现在设计中的应用在线视频

好了

第四部分呢就是我们一个简单的例子

看一看平面问题有限元法

到底是怎么来一步一步的实现

这个步骤

第一个问题呢

当然有结构的离散

这里面我给出了很多单元

对于平面问题来说

实际上的单元主要一个是三角形单元

但是除了三节点的三角形单元

这种最常用的

不能是最常用到吧是

最简单的单元之外

还有六节点的三角形单元

当然还有四边形单元

当然还有稍微复杂的

像这一种曲边的四边形单元

对于四边形的单元来说

出了四个节点

也可以出现八个节点的情况

这里面单元的形态

直接关系到我们选取的位移函数的精度

我们总是说

四边形单元的精度要比三角形单元要高

为什么要高

就是因为它本身的位移函数

要更为贴近于

实际的情况

或者说

四边形单元的位移函数

它本身是包含三角形单元

位移的模式的

所以我们说的更好

我们说高级的单元更好

六节点三角形单元为什么好

就是因为它的位移函数要更为精确

好了

还有一个就是单元划分的原则

例如说我们节点之间还有必须是相连的

必须是同边同顶点

当然了

这里面要稍微注意一下

有一些问题例如说我们在分析 例如说

我们分析摩擦桩的时候

桩跟基础之间

是共节点共边的吗

并不是是吧

接触问题

但这是另一种问题了

是不是

但是我们的一般的单元划分的时候

一个原则就是要共边共节点

当然下面还有一些原则

我就不详细的说了

例如说网格越精密

结果会

越真实

就是刚才我说的

如果我们规避

由于这种物理的问题来引起来的误差

当然里面还有一些其他的一些

我就不详细的说了

这里边要详细的说

要讲了一个问题

那就是关于利用对称性来简化求解

我下面给出两个例子

例如 就一个很简单的一个深梁的问题来说

如果说它本身

它的约束是对称的

荷载也是对称的

而且它的几何特性

他的力学特性如果都是均质的话

我们可以取一半来进行分析

大家对这些问题进行分析的时候

要特别注意这一半的约束条件

第二个问题就是单元分析里边的位移函数

这里面我要稍微解释一点的是关于位移函数

我刚才说了位移函数的选取直接关系到计算的精度

对位移函数的选取

一般来说我们都是假定位移函数是遵从某个多项式这样一种形式

而且多项式的项数跟他的节点的个数

一样

还有一个就是他的阶次

按照帕斯卡三角形

就是我图上给出了一个

帕斯卡三角形的这样一种形式来进行选取

我们举个最简单的例子

它有三个节点

那么它的位移函数就是有三项

三项是什么呢

就是a1+a2x

+a3y

如果是四边形单元的话

他就有四项

哪四项

a1+a2x

+a3y

+a4x的平方

很简单你就可以看出来

四边形单元的位移函数实际上包含了三角形单元的这种位移模式

对不对

我利用a4=0

它自然就是三角形单元的

所以我们说单元的形式

跟位移函数密切相关

而位移函数直接关系到最终我们求解的精度

好了

这是三角形单元

我刚才说了它的基本的位移的函数的形式

就是

UV就是

a1+a2x+a3y

v=a4+a5x+a6y这样的一种形式

好了

给出这样一种形式来了

我刚才说了

我们选取位移函数有一个非常重要的目的是要干什么

是要确立出节点位移与内部位移之间的关系

我们假定

单元内所有点的位移

都遵从我给出的这样一种位移函数的这样一种形式

这一种假定 是不是 好了

有了这个假定

我如何来建立单元内的位移跟节点位移之间的关系了

一个最简单的一个方法

如果所有的内部位移都遵从这样一种位移模式

那么节点位移

也就是说这三个节点的位移

i j m自然也遵从这一种位移函数

因此我可以把这i j m这三个节点的坐标

也就是它的x i y

x+yj+xm+ym

带到位移函数里面

就相应的可以得到这三个节点的节点位移

ui vi uj vj um vm

这里边位移函数里面我们知道

a1到a6实际上是未知的

对不对

我利用节点的坐标和节点位移之间的关系

实际上带到位移函数里面可以得到六个方程

对这六个方程进行求解

实际上是可以求解出来

a1到a6六个未知数

这个呢

最下面这个公式里面

身上给出了一个u和ui之间的关系

这关系怎么得到呢

就是刚才我说的

求解这六个方程得到a1到a6

然后把a1到a6是用什么表示的

是用i j m这三个点的坐标来表示的

我们把a1到a6带入到刚才我说的位移函数里面去

最终整理就可以得到节点位移

ui和单元内任一点的位移u

之间的关系

同理也可以得到vi和v之间的关系

因此

经过这样一个简单的分析

我们最终得到的是一个形函数或是形函数矩阵

这个形函数矩阵实际上描述的就是节点位移和

单元内任一位移这样的这样一种关系

好了

在位移函数选取上要遵从几个原则

这几个原则呢

例如要包含常量应变

要包含刚体位移

同时要保证它在边界上是连续的

刚才我说了位移函数

它的项数跟它的节点个数是一样的

同时呢

在选取的时候还必须满足的三个关系

就这满足的三个关系

你的位移函数选取它是合理的

有了位移函数之后

我们实际上还有非常重要的一个工作

要做单元分析

我有了以节点位移表述的内部各点的位移

我们知道内部各点的位移

和应变之间是用什么来描述的

是用几何方程

就是我给出来这个

例如ε=偏u偏x

这是几何方程里面的对不对

偏u偏x的u

我已经可以用

三个节点的位移来描述了

我只要把节点位移带入到几何方程里面

那么我就可以得到以节点位移来表示的应变

他们之间的关系就是B矩阵

也就是应变矩阵

它描述的是节点位移和应变量的关系

好了

有了应变矩阵之后

我们知道应力和应变之间有什么关系啊

物理方程 对不对

例如对于弹性体来说

它们之间遵从的是广义的胡克定律

也就是说σ=Dε

既是弹性系数矩阵

这个是我们在弹性力学讲过的

好了

ε

如果可以用节点位移来表示

那么把节点位移调到这里面来

最终就可以得到以节点位移来表示的应力

也就是应力矩阵

我们把它称为S矩阵

有了以节点位移表述的应力

我们知道应力和力之间

他有一个关系是什么关系

平衡方程

但是在有限元法当中

我们平衡方程一般情况下用

虚功原理来代替

我们利用虚功原理最终就可以得到

最终我给出了这个是什么呢

利用这三个基本的方程

我们最终可以的节点应力

和节点位移之间的关系

也就是最终我们要得到的这个Ke

叫做单元刚度矩阵

而单元刚度矩阵

就是我们进行单元分析的最主要的目的

好了

有的单元刚度矩阵

下一步就是要组集形成整体刚度矩阵

如何来组集呢

我刚才说了

利用的是位移的变形的协调和力的平衡

但是实际在当实际应用当中呢

我们有限元法里边

实际上用的是叫做对号入座的这样一种方式

我这个图上给出了一个每一个单元

它的节点的编号

利用它的节点编号

来把每个单元的单元刚度矩阵

组集到整体刚度矩阵里面

最终得到的是它的整体刚度矩阵

这个整体刚度矩阵

实际上描述的是

结构的整体的节点力

和节点位移之间的这样一种关系

当然

总体刚度矩阵本身有一些性质

例如它是一的系数矩阵

它的一个对称矩阵

利用这种性质呢

我们可以利用半带存储的方法

来大大的节省存储的空间

这个呢 我们给出了一个

如果要把这样一个整体刚度矩阵

进行半带存储

他的半带宽的一个计算方法

有了这个之后还有一点就是关于荷载的处理

如果荷载直接扔到节点上

没有什么问题

但如果是非节点荷载

例如 体积力

体积力是没法分

作用到节点上的

我们就要利用静力等效的原则来进行

把非节点荷载

等效到节点荷载上

非节点荷载和等效的节点荷载

实际上采用的是什么的

也是我们说过的前面讲过的

矩阵的这样一种方法

我们把荷载等效完之后

实际上就得到了最终的 有了荷载

有了整体刚度矩阵

就可以得到整体刚度方程

还有一个问题没有处理呢

就是关于约束的处理

这约束来怎么处理呢

有两种方法

一种方法叫做对角置的方法

对角置1的方法

这种方法呢可以把 例如

我对某一个约束

它的位移是等于零

我可以考虑进来

还有一种方法叫做

对角乘大数法

这种方法的也可以把特定的

好比说约束条件某一个位移等于零

或者是某一个特定的位置都可以考虑进来

这两种方法各有利弊

都可以分别根据这个情况来进行选用

好了

最终

经过这样的步骤来进行处理之后

我们可以得到整个结构的

所有节点的位移

有了节点位移

我们可以求得应力

当然了

我们求得这个应力还是单元应力

如果要求节点应力的话

还要利用单元应力来进行推求

我们有很多种方法

例如

给出了一个叫做环节点来平均的而这样一种方法

我要求图中所说的二节点的应力了

我对环绕二节点的所有单元

来取它的平均值就可以得到

当然还有其他一些方法

好了最后一个呢

就是关于有限元法在我们结构现代设计中的一个应用

这里面很重要的一点

就是关于CAD和CAE的一个集成的来应用

它们集成之后就可以来进行

例如我们一些复杂工程的一个三维设计等等

这是我们

有限元法发展的一个比较明显的一个趋势

例如在现代的很多设计软件里边

都已经搭建了这样一个平台

我这里面还给出了一个很多通用的商业软件

它们的一些适用范围

例如说最早出现的软件像SAP

上世纪八十年代九十年代应用的特别多

比较通用的一种软件

当然它处理问题比较简单

还有ADINA

ASKA ANSYS

我们可以根据我们分析的特定问题来选用一些这样的软件

有限元法的应用非常的广泛

例如在机械工程里面

例如都有这样的一个比较复杂的齿轮问题

它涉及到它的磨损

跟它的精度密切的相关

只有这样一个精确的分析

有限元法可以起到很好的一个辅助作用

例如

对于汽车碰撞这样的大变形的问题

也可以得到比较好的解答

咱们土木工程里面

例如 鸟巢

我们可以把它简化称为一些梁来进行分析

也可以把它简化成为 不是简化

用实体单元的方式来进行分析

有限元法都可以给出比较好的来解答了

例如对于这样的一些壳

和梁大量来组合起来大变形的趋势分析

有限元法这样强烈的几何非线性

有限元法也可以得出比较准确的解答

还有像这种航空中的应用

多场耦合的问题

像飞机的飞行

就是一个结构场 跟流场的耦合

我们可以得到

整个飞机在飞行过程当中温度场

也可以得到整个飞机上的压力等等

这样的一些关键指标来进行分析

除了这样一些比较大型的结构

在这样子产品当中

这样一个小的结构

几个毫米甚至更精确

更精小的这些结构

而且是一种复合结构

材料本身呢 比较特殊

有限元法的也可以得到比较精确的解答

还有一个在生物工程当中

有一些在仿生学里面

我们可以分析鱼游动过程的姿态

然后对我们的飞行器等等

这样也有什么启发

例如可以设计这样的牙齿的护套等等

都可以得到

有限元法都可以得到比较好的一个解答

它的应用本身是非常广泛的

而且它还逐渐发展所求解的多场的问题

多场耦合的问题

都可以得到比较好的解答

总体来看

有限元法在我们的现代设计方法当中

具有非常重要的一个地位

好

这就是我们这一节要讲的主要内容

谢谢