2.3.3 单自由度陀螺仪运动方程在线视频

单自由度陀螺仪

基本特性分析表明

它具有敏感

绕其输入轴

转动的特性

单自由度陀螺仪运动

与所受外力矩之间有何关系

本节课学习

单自由度陀螺仪运动方程

内容包括

一

建立坐标系

二

单自由度陀螺仪运动描述

三

用动静法建立

单自由度陀螺仪运动方程

前面学习了动静法原理

并且

利用动静法建立了

二自由度陀螺仪运动方程

用动静法

建立单自由度陀螺仪运动方程的步骤

完全一样

单自由度陀螺仪

是一个刚体系

由转子 框架 基座

三部分构成

要描述

单自由度陀螺仪运动

需要建立不同坐标系

根据单自由度陀螺仪定义

需要考虑的是

自转轴相对惯性空间的运动

由于自转轴与框架固连

所以

首先建立一个

框架坐标系

描述框架与自转轴角运动

称为陀螺坐标系

用下标g表示

其X轴

沿框架轴方向

Z轴

沿自转轴方向

Y轴

按右手定则确定

用来描述框架与自转轴

相对基座的运动

是一个非惯性坐标系

框架轴

固连于基座

所以

需要建立一个

基座坐标系

用下标0表示

描述基座相对

惯性空间角运动

其X轴

沿框架轴方向

Y轴 Z轴

在初始时刻

与陀螺坐标系重合

是一个非惯性坐标系

基座相对惯性空间运动

需要建立一个惯性坐标系

用下标i表示

其三根轴

在初始时刻

与陀螺坐标系

基座坐标系重合

一般不需要画出

通过坐标系

就可方便描述

单自由度陀螺仪角运动

假设在外力矩作用下

基座相对惯性空间

以角速度ω转动

将其投影到基座坐标系上

分别用ωx ωy ωz表示

ωx点 ωy点 ωz点

表示对应角加速度

根据单自由度陀螺仪

第一特性

由于yg y0轴固连

所以

陀螺仪将敏感

绕yg轴的角运动ωy

产生绕输出轴Xg的

转动θx

θx点为角速度

θx两点为角加速度

这是陀螺坐标系

相对基座坐标系的转动

还有一个运动

是转子相对自转轴的转动

用Ω表示

其对应的角动量

用H表示

H=JΩ

单自由度陀螺仪运动

可以归结为三部分

一是转子自转

二是框架相对基座转动

三是基座相对惯性空间转动

按照动静法原理

需要把陀螺仪

相对惯性坐标系运动

转化为

相对非惯性坐标系运动

所以要选取

非惯性坐标系

非惯性坐标系有两个

一是基座坐标系

二是陀螺坐标系

对单自由度陀螺仪

输入

是基座相对惯性空间的转动ωy

输出

是陀螺仪绕框架轴

相对基座的转动θx

所以

选择陀螺坐标系

作为非惯性坐标系

陀螺仪沿

三个方向都有角运动

需不需要建立3个方程

首先考虑自转轴方向

从设计上要求

转子绕自转轴

以角速度Ω匀速转动

这个要求

在工程是可以实现的

所以

为了问题分析方便

不妨假设

转子绕自转轴匀速转动

所以zg轴方向可以不考虑

由于单自由度陀螺仪

绕yg方向没有自由度

也不需要建立

运动方程

综合以上分析

只需列写

陀螺仪绕框架轴

相对基座的运动方程

按动静法

列些运动方程

只需要把相应的运动

找出来

然后列写对应

惯性力矩

第一步

列写相对惯性力矩

绕轴xg的

相对运动加速度

为θx两点

根据相对惯性力矩要求

假设陀螺仪

相对框架轴的转动惯量

为J

则相对惯性力矩

如（1）式所示

第二步

列写牵连惯性力矩

绕框架轴的牵连加速度

为ωx点

则牵连惯性力矩

如（2）式所示

这两种力矩

都可以统称为

转动惯性力矩

第三步

列写哥氏惯性力矩

哥氏惯性力矩

由两部分构成

一部分是转子自转

是一个相对运动

用角动量H表示

需要确定的是

牵连运动ω

对转子而言

牵连运动有两部分

一部分是

框架相对基座的运动

其牵连运动角速度为

θx点

根据H和θx点的叉乘关系

按右手定则

这两者不会形成

绕框架轴的哥氏惯性力矩

另外一部分牵连运动

是基座运动

在基座坐标系上的投影

为ωx ωy ωz

将其投影到陀螺坐标系上

ωx本身就是在xg轴上的投影

根据H和ωx的

叉乘关系

这两者不会形成

绕框架轴哥氏惯性力矩

将ωy投影到yg轴上

可表示为ωycosθx

根据H和ωycosθx的叉乘关系

可产生绕xg轴

负向的哥氏惯性力矩

Hωycosθx

ωy在xg轴上的分量

ωysinθx

不会形成绕xg轴的

哥氏惯性力矩

同样

可将ωz投影到陀螺坐标系上

分别是

ωzsinθx和ωzcosθx

ωzcosθx和H方向一致

不形成哥氏惯性力矩

H和ωzsinθx

形成的哥氏惯性力矩

沿xg轴正向

另外

沿zg轴方向的角速度ωzcosθx

可以形成一个角动量

它和H具有相同的性质

和其他牵连运动

会不会形成哥氏惯性力矩呢

理论上讲会

但是

需不需要分析呢

把ωzcosθx和Ω做一个比较

在工程上Ω远远大于ωzcosθx

如果假设

转子自转角动量

远远大于

非自转角速度

造成的角动量

这部分角动量影响

在工程实现上

就可以忽略

绕框架轴外力矩

用MF来表示

MF包含两部分

一部分是控制力矩

一部分是干扰力矩

这样

按照动静法原理

就可以列写出

单自由度陀螺仪绕框架轴的运动方程

如（3）式所示

这是非惯性系下的

运动方程

将惯性力矩和外力矩分开

就可以获得

惯性坐标系下

单自由度陀螺仪运动方程

如（4）式所示

根据单自由度陀螺仪

第一特性

敏感输入轴转动的特性

对上式进行变形

如（5）式所示

按照第一特性

Hωycosθx应该为输入项

Jθx两点

为输出项

其他的

暂且称为干扰项

（5）式表明

需要测量的是ωy

陀螺仪实际敏感的是ωycosθx

这两者只有在

θx为小角情况下成立

所以在实际应用中

这样的陀螺仪存在两个问题

一是只能测量小范围的角运动

二是输入误差随时间增大

这样的陀螺仪

在工程应用上受到很大限制

测量范围小

测量精度低

从工程应用角度

如何提高单自由度陀螺仪的性能呢

问题关键在于

怎样才能

将θx限制在一个

小范围内

方法有两个

一是加阻尼

二是加恢复力矩

从工程实现角度来讲

这两种方法都是可行的

由于液体和气体都具有阻尼效果

以液体为例

可以将框架设计成浮筒形式

在浮筒和壳体之间充满浮液

对框架转动起到阻尼效果

另外

将框架轴的一端

改为弹性扭杆支承

利用弹性恢复力限制θx变大

这两种方法都起到负反馈作用

考虑这两项因素

作用在框架轴上的外力矩

还应包括阻尼力矩和弹性力矩

分别表示如（6）式（7）式

D为阻尼系数

阻尼力矩的方向

与角速度方向相反

K为弹性系数

弹性力矩的方向

与角位移方向相反

在框架轴上

再安装一个角度传感器

就可以测量陀螺仪绕框架轴的输出转角θx

因此

单自由度陀螺仪运动方程

可写为（8）式

由于阻尼力矩和弹性力矩

都是和输出转角有关

所以都写在方程左侧

其中Jθx两点

为惯性项

Dθx点

为阻尼项

Kθx为恢复项

Hωycosθx为输入项

其它为干扰项

为了后续问题讨论方便

暂且忽略干扰项

上式可以变为（9）式

因为含有三角函数

所以是一个非线性微分方程

从工程角度而言

求解比较麻烦

对方程进一步简化

因为阻尼项和恢复项

通过工程设计

可以将θx控制在一个较小范围

因此

假设θx为小角

则上式可以化简为（10）式

最终获得了一个线性微分方程

这就是单自由度的运动方程

它建立的是

基座相对惯性空间角运动

与陀螺仪绕框架轴转动

之间的关系

可以用来测量导弹姿态运动

根据单自由度陀螺仪第一特性

采用动静法原理

建立了

单自由度陀螺仪运动方程

加深了

对单自由度陀螺仪陀螺仪

运动特性的认识

为单自由度陀螺仪

工程应用实践提供了基础

单自由度陀螺仪

广泛应用于运载火箭

和战略导弹

惯性导航平台中

本节课就到这里