静定平面桁架受力分析的例题在线视频

桁架只受结点荷载作用

所有杆件的内力只是轴力

所谓静定平面桁架的受力分析

就是要求同学们想办法求出所有杆件

或者指定杆件的轴力

求解的方法我们已经讲过

结点法 截面法

或者两种方法联合应用

结构力学课程中要求大家列一个方程

只解出一个未知力

不要列联立方程

今天这一小节我们通过三个简单的例题

带同学们领略一下

静定平面桁架受力分析的具体过程和步骤

首先我们来看第一个例子

就图示桁架结构所有杆件的轴力

求解之前我们首先要观察

观察这个桁架它的特点

首先在结构组成上它是一个对称结构

杆件 支座和结点的布置

关于CF轴对称

它受到的荷载也是关于CF轴对称的

所以它是对称结构受对称荷载作用的问题

那么关于CF轴对称的杆件

它们的轴力将是一样的

比如这里面CD和CG这两个杆件

它们的轴力相同

也就是说我们只要求出CF左半边或者右半边

杆件的轴力就可以了

再观察这个结构的几何组成

它是一个简单桁架

它的几何组成顺序可以看作是

由A D E这样一个铰结三角形出发

两杆连一结点 两杆连一结点顺次组成的

也可以看作是

比如说从C D F这样一个铰结三角形出发

而两杆连接一个结点顺次组成的

总之它是一个简单桁架

我们可以用结点法来顺次求出

所有杆件的内力

根据对称性我们可以快速求出

两个支座的反力

两个对称的支座分别分得总荷载

60千牛的一半

支座反力向上30千牛

下面我们再运用结点单杆和截面单杆的性质

来判断这个结构中是否有轴力为零的杆件

也就是找零杆

利用结点单杆的概念我们很容易发现

结点E与它相连的三个杆件中

AE EF都沿着水平线

那么另外一个杆件DE竖直的

这个DE杆件就是零杆

E结点上没有荷载作用

DE杆件的轴力必须是零

E结点在竖向才能平衡

DE是一个结点单杆

所以DE是零杆

对称的GH也是零杆

好 观察

观察完了

在具体求解时

我们刚才说可以看成是由ADE往右

顺次组成的简单桁架

也可以看成是由中间CFD往左 往右

顺次组成的简单桁架

那么我们分析到底是从A点出发

还是从C点出发来进行求解呢

与A结点相连的杆件

两个未知轴力

还有一个支座反力是已知的

而与C结点相连的杆件

一共有三个杆件的轴力是未知的

显然我们应该从A结点出发

也就是说把简单桁架

看作是由CDF往左 往右

进行几何组成而构成的

那么截取结点隔离体的顺序

与这样一个几何组成顺序相反

依次取AEDC为隔离体

我们下面把刚才的求解思路梳理一下

形成这样一个求解步骤

第一步先求支座反力

左右两个支座各提供竖直向上的

30千牛竖直反力

第二步判断零杆

DE和GF是两根

杆件轴力为零的杆

第三步顺次截取隔离体求各杆的轴力

截取结点隔离体的顺序依次为

先取A点

再取E点D点和C点

我们先看结点A

围绕结点A我们用一个封闭截面

把A结点截取出来

切断的杆件有AD AE以及支座A

支座A给A结点竖直向上的30千牛支座反力

去掉支座代之以支座反力

截断的AD杆和AE杆的轴力是未知的

我们按照它的正方向画在隔离体上

拉为正方向

这里我们用FN来表示轴力

F表示是力

N表示是轴力

要求出这两个未知轴力

我们需要对结点A来列力的平衡方程

我们知道

AD杆的轴力

可以分解为水平投影分量和竖向的投影分量

这样对A点列一个竖向的平衡方程

就可以把FYAD求出来

它是一个压力

大小是30千牛

再由ADE这个三角形的几何尺寸关系

根据相似三角形我们可以快速得到

FXAD以及AD杆件的轴力

AD杆的轴力是30倍根号5千牛

方向是一个压力

再对A结点列水平方向的平衡方程

我们就可以得到AE杆的轴力

在结点隔离体当中未知的杆件的轴力

我们按照正方向来画出来

求出它的结果

如果结果是大于0的

那就说明它是一个拉力

跟我们之前在图上画出的正方向是一致的

如果求出来的力是小于0的

那么这就说明它跟我们图上画的正方向

是相反的

也就是说它是压力

再看结点E

用封闭截面把结点E截断

取出来做隔离体

截断的杆件有三根

但这里面竖直的杆件DE它是一个零杆

所以对E结点列水平方向平衡方程

我们就可以得到EF杆的轴力

下面我们看结点D

围绕结点D我们切断了四个杆件

注意这里面DE杆是一个零杆

我们图上就不画它了

切断的杆件中有两个杆轴力是未知的

DC和DF

当然我们可以对D结点

列一个力的平衡方程

把DC或DF的轴力求出来

比如说我们沿着垂直于ADC的方向

列一个力的平衡方程

可以把DF沿着这个垂直方向的分量求出来

从而把DF的轴力求出

但是在这个求解过程中可能会用到

比较复杂的三角函数关系

如何寻求一个更简单的求解方法呢

我们这里这样做

考虑DF杆件它上面每一个截面的轴力

都是FNDF

图上我们是把D截面切断取出隔离体的

事实上我们也可以把F这个截面切断

取D结点以及DF这个杆为隔离体

相当于我们把FNDF由D截面延长到了F截面

并把它分解为X和Y两个方向的分量

此时我们取的隔离体是下图所示

一个D结点再加上一个DF这样一个杆件

F截面是切断的

回到原来的这个图中

对DF这样一个隔离体我们发现FNDC

以及FNDF的竖向分量

它们俩都是通过C点的

这样我们可以对DF这个隔离体

关于C点列一个力矩平衡方程

也就是说MC等于0

在这个力矩平衡方程当中

20千牛要乘以它到C点的水平距离

FNDC 30倍根号5千牛

以及FYDF它们的力臂都是0

它们在这个方程当中不出现

FXDF它要乘以F点到C点的竖向距离

也就是CF的长度

这样这个力矩平衡方程非常简单

我们可以快速求出DF轴力的水平方向分量

是负20千牛

再用三角函数关系把DF的轴力求出来

并且把DF的竖向分量FYDF也求出来

下面我们对DF这个隔离体

列水平方向平衡方程

或者列竖向平衡方程

都可以把DC杆的轴力水平的分量

或者是竖向分量求出来

进而把DC杆的轴力求出来

到这我们用D结点这个隔离体

把DC和DF的轴力求出来了

最后再来看结点C

把结点C切断作为隔离体

跟它相连的杆件轴力当中

有两个杆件的轴力是已知的

是刚才已经求出来的 20倍根号5千牛

它所受到的竖向荷载是20千牛

未知的轴力只是CF这个竖向杆件的轴力

对C结点列竖向平衡方程

可以把CF轴力求出来

到这我们就求出了所有杆件的轴力

我们把这些轴力标在图中

像图上所示

拉力按正来标 压力按负来标

这就形成了桁架的轴力图

这个轴力图是我们这个问题

得到的最后的结果

归纳一下

整个问题的求解步骤可以分成

这样两个部分

第一个部分是观察

寻找结构的特点

寻找结构的受力特点和几何组成特点

第二部分是具体来取隔离体进行求解

这个问题是简单桁架

我们在之前的讨论中用的是结点法

当然我们也可以用截面法

来求出这个问题的

各个杆件的轴力

下面我们再看第二个例子

求图示桁架中1 2 3 这三个杆件的轴力

1 2 3

这是一个求指定杆件截面轴力的问题

第一步还是观察

首先观察对称性

这个结构关于GH轴是对称的

但是它的荷载并没有对称的性质

所以这里对称性无法使用

再看这个桁架的几何构成特点

它是一个联合桁架

我们可以认为它是A C E F

到这一点 D B

是这样一部分

跟GH右半部分这两个大刚片

通过1 2 3这样三个杆件相连而组成的

要求联合桁架的问题

往往我们会首选截面法

我们再看这个桁架里有没有零杆

利用结点单杆的特性

我们看到在右侧这半边

这个杆是零杆

它是零杆之后对这个结点来说

这个斜着的杆是结点单杆

它也是零杆

这个杆件是零杆

那么对这个结点来说

这个斜着的杆件也是零杆

当这四个杆件都是零杆的话

那么对上面这个结点来说

这个杆件又是零杆

那么GH这个杆件看H结点它也是零杆

好了 对于这个问题它的零杆就是这么多

下面是对整个桁架结构的具体求解

刚才我们分析已经知道

它是一个联合桁架

对联合桁架如果用截面法进行求解的话

我们往往是把连接两个大刚片的

这三根联系杆件切断

把图上这样一个截面切开的话

取封闭截面取左半边或者右半边为隔离体

切断的三个杆件

每一个杆件都是一个截面单杆

可以由一个方程求出它们的轴力

如果我们可以把EH杆件轴力求出来

那么进一步的我们可以在这里

再取一个截面

此时切断四个杆件

EH杆件轴力已经求出来了

那么杆件2它是一个截面单杆

可以由一个方程把它的轴力求解出来

求出了杆件2的轴力和EH杆的轴力之后

我们可以利用结点法

取E结点为隔离体

进而把杆件1和3的轴力也求出来

或者我们也可以继续使用截面法

把杆1和杆3的轴力求出来

可见这个问题它的突破口是在于

整个桁架的几何构成

它是联合桁架

第一步把联合桁架连接两刚片的

三个联系杆件切断这是最关键的

下面我们把刚才的求解思路梳理一遍

形成这样的解题步骤

第一步求支座反力

求支座反力时我们是把桁架整体

它与DG相连的支座相切断

这里面我们相当于切断的是

左侧一个铰支座

右侧一个滚轴支座

铰支座暴露出来两个约束反力

水平的和竖向的

水平反力是0

滚轴支座暴露出来一个竖向反力

如果我们先要求

右侧滚轴支座的竖向反力的话

我们可以对A点列力矩平衡

再对整个桁架这个整体列竖向平衡

把A支座的竖向反力求出来

或者是我们再对右端点

右侧支座列力矩平衡

可以把A的竖向反力求出来

总之大家要注意求支座反力时

我们是把结构整体与基础的联系

也就是说所有支座都切断

取这样一个整体为隔离体

这里求出两个支座反力

分别是18千牛和6千牛

第二步判断零杆

利用结点单杆的性质

找到它轴力为零的杆件

第三步截面法取隔离体

联合桁架我们切断两个大刚片

相连接的三个杆件

用图上这样一个MM截面

截取隔离体

mm截面往左或者往右形成一个封闭截面

取一半的结构为隔离体

这里面我们用mm截面往右

这样形成的封闭截面取右侧为隔离体

为什么呢

因为跟左侧这半边相比

右侧隔离体它受到的力个数更少一点

我们列出的方程会更简单一些

取右侧隔离体之后切断的杆件有这样几个

mm截面切断了三个杆件

再往右我们切断了

这半部分跟地基之间的联系

也就是右端的这个滚轴支座

暴露出来它的竖向反力6千牛

对图上这样一个隔离体我们想求的是

EH杆的轴力

我们发现未知轴力的三个杆件当中

另外两个杆件相交于G点

我们可以对G点来列力矩平衡

这样在这个力矩平衡方程中

只有EH的轴力是未知的

得到EH杆的轴力是拉力12千牛

我们要求的是1 2 3 这三个杆件的轴力

下一步我们再用nn这样一个截面

截断图上这四个杆件

这里面EH杆的轴力刚刚求出来了

杆件2它是一个单杆

我们要求出杆件2的轴力

可以对D点来列力矩平衡方程

所以我们用nn截面截出隔离体

这里我们用nn这样一个向左的封闭截面

截出左半边为隔离体

切断这样四个杆件之外

也切断了这个铰支座

铰支座暴露出来的约束力是向上的18千牛

EH这个杆件的轴力是向右的12千牛

刚刚求出来的

要求杆2的轴力可以对D点来列力矩平衡

在平衡方程中恰好求出来杆2的轴力是0

要求杆1和杆3的轴力我们取结点E为隔离体

用结点法

围绕结点E切断了四个杆件

这里面两个杆件的轴力刚刚已经求出了

1和3它的轴力是未知 要求的

我们可以对结点E列水平平衡

把杆3的轴力的水平分量求出

进而求出杆3的轴力

再对E点列竖向平衡方程

把杆1轴力求出来

总结一下刚才这个例题

我们联合使用截面法和结点法

把要求的杆1 2 3轴力全部求出来了

整个求解过程还是包含

这样两个重要环节

第一个环节是观察

观察它的对称性

它的零杆

它的几何构造

第二步是取合适的隔离体

这里我们取隔离体的突破口

是从它的几何构造特点出发的

它是一个联合桁架

要求杆1 2 3的轴力

我们在接近于杆1 2 3的部位

找到两个刚片之间联系的三个杆件

把这三个杆件用截面切断

这是这个问题的突破口

下面我们来看这第三个例子

从图示桁架中杆1和2的轴力

第一步还是观察

首先看它的对称性

这个结构是一个对称结构

但是它受到的荷载是一般荷载

这个桁架它的几何构造特点可以看出

它是一个复杂桁架

对这个复杂桁架我们可以直接进行求解

这里给大家提供一个

稍微简单一点的求解方法

对称结构在一般荷载作用下

由于我们研究的是线性弹性问题

所以我们可以对它进行分解

把一般荷载分解为对称荷载

和反对称荷载的叠加

如图所示我们把一般荷载两个FP分解成

第一部分这样一组对称荷载

和第二部分这样一组反对称荷载的叠加

然后我们分别求解这两个图中

杆1和杆2的轴力

再把它们合在一起就是最终的解答

我们先看第一个结构

对称结构受图上这样一组对称荷载作用

首先我们来看对称荷载作用下的轴力

对称结构对称荷载作用下

对称支座的反力大小相等

它们各自分担总荷载2FP的一半

也就是说左右两个支座反力是向上的FP

我们再来找零杆

由结点单杆的性质我们可以快速看到

这个杆是零杆

这里面要注意的是还有零杆

我们来看结点C

结点C位于对称轴上

与它相连的四个杆件两两对称

这里面对称的这两根斜杆

它们的轴力应该是大小相等 方向一样的

假设它们全都是向上的拉力

由C结点的竖向平衡我们可以看到

这两个相同的轴力

它们相同的竖向分量合在一起

应该让C结点竖向平衡

怎么办

C上没有荷载作用

那么只能是这两个相同的竖向分量都是0

也就是说这两个相同的轴力都是0

所以对称结构对称荷载作用下

对称轴上的结点C与它相连形成K字形的

这样两个斜杆

它们都是轴力为0的零杆

好了 判断完零杆

我们下面要进行具体的杆1杆2轴力求解

既然这个杆件的轴力是0

那么我们看到我可以用这样一个截面

把桁架截开取左半边或者右半边为隔离体

切断的杆件除了支座之外

包含1 2 3 4这样四个杆件

这四个杆件中除了杆2之外

其他三个杆件都是水平的

所以杆2是截面单杆

可以由一个方程隔离体的竖向力平衡方程

就把杆2轴力求解出来

杆2的轴力可以这样求出

我们再看杆1

由于这根斜杆是零杆

所以我们由D结点的竖向平衡结点法

很快可以得到杆1的轴力

是拉力二分之一FP

归纳刚才的求解思路

先求出支座反力

再求出杆E的轴力

由结点D平衡

然后取11截面

截出隔离体来

再用11截面切开

取左侧为隔离体

对左侧这个隔离体列竖向平衡方程

求得杆2轴力

我们再看第二种情况对称结构

反对称荷载作用下

支座反力我们可以对A点列力矩平衡

把B的支座反力求出来

再由整体的竖向平衡把A支座反力求出来

找零杆

由结点单杆的性质

我们首先看到这是一个零杆

除此之外是不是就没有其他零杆了呢

这里要注意

这是一个对称结构

反对称荷载作用下

我们看上面这个结点

与它相连的三个杆件中

这根竖向杆件是零杆

另外两个水平杆件它的轴力有什么特点呢

这是对称轴上的结点

左右两个水平杆件它们的轴力应该

大小相等

方向相反

如果左侧杆件的轴力是向左的话

比如说是F1这么大

那么右侧杆件的轴力

应该是压的F1这么大

这样的话我们可以看到这个结点水平方向

两个F1的作用下要平衡

怎么能平衡呢

只能是F1等于0

这样的话对称结构

反对称荷载作用

对称轴上的结点与它相连的

对称的水平的这两个杆件

它们都是零杆

好了 这三个杆件是零杆之后

顺次零杆是会传染的

这个杆件是0

杆1轴力是0

这边都是零杆

所以这个结构只有下半部分的杆件不一定是0

此时要求2这个杆件的轴力

我们看到这根斜杆是零杆

所以我可以用这样一个斜着的截面

把它切开

取左侧或者取右侧为隔离体

切断的四个杆件中这个杆件是零杆了

那么杆2就是一个截面单杆

我可以对隔离体列竖向平衡方程

把杆2轴力求解出来

我们把刚才的讨论梳理一下

反对称荷载作用下

求出支座反力

然后判断零杆

知道此时杆1轴力是0

要求杆2轴力

用图上这样一个22截面

截开

取左侧为隔离体

这个截面截开的

除了22截面上的杆件之外

还有左侧的A支座

暴露出来的支座反力是向上的四分之一FP

对这个隔离体列竖向平衡方程

得到此时杆2的轴力

最后叠加

把刚才对称荷载作用下的结果

和反对称荷载作用下的结果相叠加

合在一起得到最终原问题杆件1 2的轴力

这里我们根据分析结构的对称性

把对称结构受到的荷载

分解成了对称和反对称两部分

分别求解对称荷载作用下

和反对称荷载作用下的结果

再把两个结果叠加

等价成原问题的计算结果

这里我们第一次用到了叠加原理

之所以这里可以用叠加原理是因为

我们在结构力学这门课程中

研究的是线性弹性体系

所谓线性弹性体系包含两方面含义

一个是材料是线弹性的

另外一方面我们研究的都是小变形

几何线性问题

通过以上三个例题

我们给同学们展示了

静定平面桁架受力分析的解题要点和步骤

这三个例题中包含简单桁架

联合桁架

和复杂桁架

求解过程主要是两个环节

第一观察和分析这个结构的特点

包括几何特点

构造特点

受力特点等

第二步是要合理的截取隔离体列平衡方程

再次提醒各位同学们结构力学课程中

要求大家列一个方程只求出一个未知力

尽量避免列联立方程

求解联立方程