计算自由度的概念在线视频

这一节我们将引入计算自由度的概念

并通过计算自由度的计算得出

自由度数约束个数

他们跟几何可变性之间的关系

这里的关键是明确概念 分清组成

下面我们将从概念定义

计算方法

定性结论

三方面来学习计算自由度

首先我们来学习几个概念以及它们的算式

体系自由度数S

一个体系是由部件加上约束组成的

a是所有部件的自由度数的总和

c是所有约束中非多余约束的数目

那么体系的自由度数S就等于

所有部件的自由度数总和减去

所有非多余约束的数目

体系的计算自由度数W

它等于所有部件的自由度数总和

减去全部约束的个数

所以计算自由度跟体系真正的自由度S

是不同的

它们的减数不同

计算自由度W里

减数是全部约束的数目d

而自由度数S中减数是

非多余约束的数目c

d是大于等于c的

所以体系真正的自由度数S

是大于等于计算自由度数W的

多余约束个数n

显然多余约束个数n等于全部约束的数目

减去非多余约束的数目

根据自由度数S和计算自由度W的定义

我们知道S和W的差就是多余约束数n

下面我们看单约束和复约束的概念

左图中一根链杆连接了A B两点它叫单链杆

相当于一个约束

右图中一根复链杆连接了三个点

相当于三个约束

如果一根复链杆把n个点连在一起

那么相当于它把平面内的n个点

连成了一个刚片

它就提供了2n减3个约束

这里我们尤其要注意复链杆

复链杆将铰A B C连接在一起

不考虑相对于基础的运动

它们组成了一个内部几何不变的整体

这跟三个共线的铰A B C

用三根共线的链杆相连

而组成的体系是不同的

下边这个体系里中间的铰B

由于A B C共线

它是可以发生竖向位移的

这是一个几何瞬变体系

它跟图上的复链杆体系不等价

也就是说复链杆等效于下面这样一个

用三根不共线的链杆1 2 3连接而成的

铰结三角形体系

这里B到杆1的距离是微小的

但是它不是0

也就是说B不在杆1的直线上

这里这个体系跟复链杆才是等效的

对于铰我们也有单约束和复约束

图上连接两个刚片的铰我们称之为单铰

有的时候也称为简单铰

它相当于两个约束

减少体系两个自由度

图上连接了三个刚片

或者连接了三个以上刚片的铰

我们称之为复铰

有时也称为复杂铰

它相当于一个单铰把刚片I和刚片II连接起来

再一个单铰把刚片III跟刚才的大刚片连接起来

所以一个连接了m个刚片的复铰

相当于m减1个简单铰

提供了2倍的m减1个约束

类似的刚结也有单刚结和复刚结

连接两个刚片的刚结称为单刚结

相当于三个约束

连接m个刚片的刚结

这里m大于等于3

那么它称为复刚结

相当于m减1个单刚结

提供了三倍的m减1个约束

下面我们来学习计算自由度的求解方法

算法1把体系看成是由刚片受约束而组成的

这里被约束的对象是刚片

提供约束的是单链杆 单铰和单刚结

假设刚片有m个

那么体系总的自由度数就是3m

假设有b个单链杆 h个单铰 g个单刚结

那么它们提供的总的约束的数目是

一个单链杆提供一个约束

一个单铰提供两个约束

一个单刚结提供三个约束

所以计算自由度W的算式可以表达为

这样一个式子

这里要注意的是如果我们的约束是复约束

那么要把它换算成单约束来进行计算

比如图上这个体系

根据算法1我们可以把它看作是刚片I II III

由铰B 铰C以及

链杆从1到5它们约束而成的

那么这里被约束的对象是三个刚片

m等于3

提供约束的两个铰一共提供四个约束

五根链杆提供五个约束

总自由度数9

全部约束个数也是9

求得计算自由度W等于0

算法2

我们把体系看作是由结点经链杆约束而组成的

这里被约束的对象是结点

提供约束的是链杆

那么计算自由度W的算式如图所示

我们看同样的一个体系在算法2里

我们可以把它看作是由铰结点A到F

经过链杆1到7以及链杆8约束而组成的体系

这里要注意的是链杆8是一根复链杆

它连接了B C D E这样四个铰结点

所以这根复链杆提供的约束个数等于

五个

那么在算法2里这个体系的计算自由度总数W

等于

一共是A到F六个结点

该链杆的个数7根单链杆加上复链杆8

等效来的五个约束

12减12

我们同样得到了计算自由度数W等于0

这样一个结论

有了算法1和算法2我们自然想到

可以把它们混合出算法3来

那么算法3的被约束对象既有刚片

也有铰结点

提供约束的有单链杆 单铰 单刚结

它的算式如下

总之求解计算自由度要正确的分清

哪些是被约束的对象

哪些是约束

根据我们求出的计算自由度数

对于体系的几何构造特点

我们可以得到这样一些定性的结论

首先要明确的是计算自由度数W

不是体系真正的自由度数S

W等于所有部件的自由度数总和

减去全部约束的数目

d里面既包括多余约束也包括非多余约束

因此如果我们求得的W是大于0的

那么说明体系的约束总数是不够的

体系是可变体系

如果我们求出了W等于0

那么就要看体系里面是否有多余约束

如果体系里面没有多余约束

n等于0

那么说明全部约束都是非多余约束

它跟所有部件的总自由度数是相等的

体系是几何不变的

如果n大于0

体系有多余约束

那么非多余约束的数目要比总自由度数是小的

所以体系是几何可变的

如果我们求得的W是小于0的

那么体系是几何可变

还是几何不变是看不出来的

只有一点是可以肯定的

那就是这个体系一定有多余约束

这一节中我们学习了计算自由度的相关概念

求解方法以及定性结论

在学习中我们进一步明确了自由度数

和约束数的概念

同学们在求解时一定要学会理清思路

分清组成

分清哪些是被约束的

哪些是约束

计算自由度W它的能力十分有限

可以辅助我们进行几何构造分析

但是却不能根据W的数值得到确切的

几何组成结论

我们还要通过铰结三角形法则才能够具体得出

这个体系究竟可变还是不变

瞬变还是常变