2.2.2 数据分散度量在线视频

下面介绍数据的分散度量

先来介绍极差

极差又称全距

是集合中最大值与最小值之间的差距

即最大值减最小值后所得数据

例如 在此数据集合中

极差为最大值100

减最小值33等于67

分位数是取自数据分布的

每隔一定间隔上的点

把数据划分成基本上大小相等的

连贯集合

假设属性X的数据以数值递增序排列

然后挑选某些数据点

以便把数据分布划分成大小相等的

连贯集

这些数据点称做分位数

如图所示

给定数据分布的第k个q-分位数的值为x

使得小于x的数据值最多为k/q

而大于x的数据值最多为(q-k)/q

其中k是整数

使得0小于k小于q

这里有q-1个q-分位数

四分位数中的3个数据点

Q1 Q2 Q3

把数据分布划分成4个相等的部分

使得每部分表示数据分布的四分之一

这3个数据点通常被称为四分位数

如图所示

在四分位数图中

Q1称为较小四分位数

即下四分位数

等于该样本中所有数值

由小到大排列后第25%的数字

Q2称为中位数

等于该样本中所有数值

由小到大排列后第50%的数字

Q3称为较大四分位数

即上四分位数

等于该样本中所有数值

由小到大排列后第75%的数字

Q1和Q3之间的距离是

分散的一种简单度量

它给出被数据的中间一半

所覆盖的范围

该距离称为四分位数极差（IQR）

如公式所示

IQR=Q3-Q1

确定四分位数的位置方法如下

Q1的位置= (n+1)/4=(n+1) × 0.25

Q2的位置=2*(n+1)/4= (n+1) × 0.5

Q3的位置= 3*(n+1)/4=(n+1) × 0.75

其中n表示项数

下面通过例子介绍

四分位数极差的计算方法

例如

由8人组成的旅游小团队年龄如下

17 19 22 24 25 28 34 37

已按递增次序排列

求其年龄的四分位极差

首先计算Q1与Q3的位置

Q1的位置=(n+1)/4

此处n=8

因此

Q1的位置=(8+1)/4=2.25

Q3的位置=3*(n+1)/4=3*(8+1)/4=6.75

即Q1与Q3的位置分别为

第2.25位和第6.75位

然后确定Q1与Q3的数值

Q1=第二个位置上的值19

加上第三个位置和第二个位置的

数之间的距离

也就是（22-19）*0.25=19.75

Q3=第六个位置上的值28

加上第七个位置和第六个位置的

数之间的距离

也就是（34-28）*0.75=32.5

即第2.25位和第6.75位

对应年龄分别为

19.75岁和32.5岁

最后计算四分位极差

IQR=Q3-Q1=32.5-19.75=12.75

因此四分位数极差为 12.75

另一种确定四分位数位置的方法是

基于n-1基础的

如公式所示

Q1的位置=1+(n-1) × 0.25

Q2的位置=1+(n-1) × 0.5

Q3的位置=1+(n-1) × 0.75

其中n表示项数

两种方法均可计算Q1和Q3的位置

方差又称为样本方差

是衡量随机变量

或一组数据离散程度的度量

即随机变量对于平均值的偏离程度

每个样本值与全体样本值的

平均数之差的平方值的平均数

方差用来计算每一个变量

与总体均数之间的差异

设 数值属性X的N个观测值为

x1，x2，…，xN，

总体方差的计算如公式所示

实际工作中

总体均数难以得到时

应用样本统计量代替总体参数

经校正后

样本方差计算公式如公式所示

即具有n-1的自由度

标准差σ是方差σ2的平方根

低标准差意味着数据观测趋向于

非常靠近均值

高标准差则表示数据散布在

一个大的值域中

例如

有如下学生考试成绩

计算均值得到x平均=72

此时

N=10

利用总体方差计算公式

等于平方的均值减去均值的平方

方差为

σ^2等于1/10乘以所有项的平方和

再减去平均数的平方等于442.8

标准差为方差的平方根

对442.8求平方根约等于21.04