1.1 尺度分析方程组简化（1）在线视频

同学们

大家好

我是袁俊鹏老师

欢迎大家来到《天气学》课堂

研究天气

首先必须要对大气运动特性

和相应的分析方法有所了解

我们已经学习了

支配和控制大气运动状态

和热力状态变化的方程组

主要有运动学方程

连续方程

状态方程和热流量方程等

大家可以看到

这些原始方程组是比较复杂的

实际应用的时候需要进行一定的简化

简化的方法有

尺度分析法

小扰动法

小参数展开法等等

今天我们主要给大家介绍

著名的气象学家Charney

提出的尺度分析法

我们先来看看这些常见的天气系统

和天气现象

大家可以看到

锋面系统占有的空间范围

可达到上千公里

经常带来大范围的持续性降水

可以持续1周左右的时间

台风这样的天气系统

经常带来狂风暴雨等剧烈变化的天气

但是持续的时间往往只有几天

像龙卷风这样的系统

占有的空间范围更小

持续的时间也更短

几十分钟往往就消亡了

从这些常见的天气系统和天气现象

我们可以发现

不同的天气现象

分布的空间范围和持续的时间

有很大的差异

其背后也往往对应着

不同的天气系统的生消演变

也就是说

不同的天气系统所具有的空间

和时间尺度的特征是不一样的

所以导致了它们所伴随的天气现象

出现的空间范围和维持的时间特征

也有很大差异

从预报天气的角度来说

控制大气运动的原始方程组非常复杂

用这个复杂的方程组来预报天气

往往很困难

但是

如果我们从实际天气变化的角度来看

既然不同的天气系统

及其带来的天气变化现象

时空尺度可能不一样

那么引起天气变化的原因

在控制方程中的体现也应该不一样

反过来

如果我们知道某一类天气系统

或者天气现象的时间

和空间变化尺度特征

用这个尺度去估算方程中

各项的相对重要性

然后保留方程中贡献大

比较重要的项

略去贡献小

次要项

就可以起到简化方程的作用

同时由于方程抓住了起重要作用的项

这样预报天气的效果也能够得到保障

这就是Charney提出的尺度分析

和简化方程的思想

首先我们来看看尺度分析的概念

尺度分析法是依据表征某种尺度下

大气运动各种变量场的特征值

来估算大气运动方程中各项量级大小

以及相对贡献的一种方法

根据尺度分析的结果

结合物理上的考虑

保留量级大的项

略去方程中量级较小的项

就可以起到简化方程的作用

进行尺度分析

首先需要确定方程中各种变量的特征值

包括各变量本身的数量级

各变量变化的幅度

以及出现这些变化的特征长度

厚度和时间尺度等

这些量级均是需要采用

国际单位制中的单位来衡量

如果不是国际单位值

则要先转化成国际单位再进行衡量

大气环流系统中的基本变量

可以分成两大类

运动学变量和热力学变量

其中运动学变量是表征大气运动的物理量

包括纬向运动速度u

经向运动速度V

特征值用大U来表示

垂直运动速度W

特征值用大W来表示

热力学变量是表征

大气热力学场量变化特征的量

包括温度T

气压p

密度ρ等

特征值分别用P T π来表示

下面

我们以中纬度地区

自由大气中的大尺度运动为例

给大家介绍尺度分析中的量级估算

和简化方程的方法

大气中大尺度运动的动力学变量

经向和纬向水平运动的量级是10的一次方

单位是m/s

而垂直运动的量级则比水平运动要小的多

是10的负2次方

热力学变量气压P的量级是10的5次方

温度T是10的2次方

单位是K

密度的量级则是10的0次方

大气系统中动力学变量的变化幅度的量级

和变量本身的量级是一致的

但是热力学变量场的变化幅度

则是有差异的

下面我们来看看这些热力学变量场的变化量级

气压场P本身的量级是10的5次方

垂直方向上气压P的变化量级也是10的5次方

但是水平方向上气压P的变化幅度

量级只有10的3次方

比水平方向小2个量级

温度T本身的变化量级是10的2次方K

垂直方向上也是10的2次方

但是水平方向上只有10的1次方

密度本身的变化量级是10的0次方

垂直方向的变化幅度也是10的0次方

而水平方向的变化幅度仅为10的-2次方

我们再来看看在大尺度运动条件下

这些变量出现上述变化

所占有的特征时空尺度的量级

在水平方向上的空间特征长度量级

L为10的6次方

垂直方向上特征厚度D的量级为10的4次方

特征时间长度则为10的5次方

知道了这些大气

特定运动条件下的尺度量级之后

就可以对大气方程组中的各项

进行量级的估算

从而比对方程中各项的量级大小

分析各项的相对贡献和重要性

量级大的贡献大

更加重要

保留方程中量级大的重要贡献项

去掉量级小的次要项

就可以对方程组进行简化

下面我们以大气纬向水平运动方程为例

进行尺度分析

来简化方程

请大家先把各项的特征值写出来

再进行各量级的估算

这里提醒大家需要注意

气压梯度力这一项中含有偏P偏X项

对它进行估算的时候

要用气压的水平变化项

德尔塔h P

不要写成变量P本身的量级

这样我们可以看到

纬向水平运动方程中

各项的量级差异很大

这说明方程当中各项的相对贡献差异很大

贡献最大的量级是10的-3次方

分别是气压梯度力和地转偏向力这两项

同样

可以采用相同的方法

对经向水平运动方程

和垂直运动方程进行尺度分析

得到方程中各项的量级

请同学们课后自己动手做一做

方程中各项的量级越大

表示在方程中的贡献越大越重要

纬向运动方程中

最大量级的是10的-3次方项

共有两项

气压梯度力和地转偏向力项

说明这两项贡献最大最重要

经向水平运动方程也是一样的

而垂直运动方程最大量级是10的1次方项

分别是垂直方向的气压梯度力和重力项

如果我们选取保留方程中最大量级的

最重要的项

而忽略贡献小的

相对不重要的项

大家来看看方程会变成什么样子呢

方程就会变成这样的

请大家把尺度分析简化后得到的方程

和原来的原始方程组

进行比较

看一看是不是比之前的方程简单很多

那么这个简化后的方程代表了什么含义

它描述了大气中怎样的运动

下节课我们再接着讲

好了

今天的课就到这儿了

同学们

下节课再见