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Reinhart Poprawe 教授

激光技术研究院主席

亚琛工业大学

谐振腔是激光器的关键部件之一

就像我们将会看到的 谐振腔是由两面镜子组成的

它们提供在腔内形成的辐射 并产生激光束

为了更好地理解正在发生的事情 我们来看一下以下内容

首先 我们来看看谐振器的模式选择

然后我们将区分纵向模态和横向模态

我们会讨论谐振器的稳定性 并不是机械稳定性

但是有基本的稳定性 最后我们会看一个激光谐振器的例子

激光原理是这样工作的：我们有一种活性介质

在这种情况下 晶体会发射光子

如果我们在晶体末端提供光子的反射

在这两个位置时 我们已经讨论过谐振器了

我们向活性介质提供泵浦光

根据谐振腔对光子反射的反馈

最后 我们得到了激光束

谐振腔是激光所必需的四个元件之一

我们需要打气筒

我们需要有源介质 需要谐振器 也许还需要一些光束形成元件

在下一个视图中 大家将看到一项非常粗略的比较

是热光源与激光器之间的比较 在右上角

正如大家看到的 热光源发出各种波长

这是由不同的波长表示的 在各种方向上

如果大家想尝试着用透镜聚焦热光

我们总是从这个源得到一个很小的实心角

所以使用这种灯的效率通常是非常有限的

然而 如果我们观察激光 我们观察不到同位素发射

但是我们能观察到定向发射

我们将辐射反馈耦合到有源介质中 从而产生激光束

我们耦合辐射反馈到一种有源介质中 从而产生激光束

所以 谐振器主要做三件事

第一 它为受激辐射提供反馈

所以 它会从原理的角度出发记录激光过程

结果 我们随机得到辐射的横向约束，

只以这个角表示

正如我在太阳实验中指出的 在太阳的例子中

当然 在激光中我们只有这种类型的发射

由于省略所有其他过程 在所有其他方向上的受激辐射

在一个非常低水平的 我们称之为横向模态的这个方向上 非常高效

因此 我们得到了高度的空间一致性

第三个方面是频率选择 我们称之为纵向模态

这导致线宽非常窄

这就是我们所说的时间相干性

让我们从时间相干性和模态的形成开始

纵向模态是由于 在两个镜子之间

在这里 用这些条表示

在高反射率的情况下 我们从麦克斯韦方程推导

反射点的电磁场是零

这就形成了一个关于产生波的相位的边界条件

如果我们受限于这样一个事实 即磁场在镜子的这些表面会消失

我们可以有一种振荡模式 其中只有一半的波长作为最终波长

我们也可以有一个完整的波长 或者我们可以有3 / 2 4 / 2或5 / 2

但是它总是半个波长的倍数 这就产生了容许频率

如果我们看这些容许频率的频率间隔 它们是等距的

频率距离是C / 2L

在谐振腔分析中 C / 2L是一个非常重要的数字

举个例子 如果大家用一个波长为10.6微米的二氧化碳激光

光速3X108米/秒

一个一米长的谐振腔

频率间隔△ν是1.5X108 150兆赫

所以 这个值远远低于波长或者激光的频率

激光本身的频率大约是3X10 13赫兹

波长是10.6微米

如果我们比较纵模的频率间隔

在这个频谱中 大家可以看到间距

大家是否还记得C / 2L 那就是△ν的频率间隔

通常这个间距取决于谐振腔

当然 它要比有源介质的线宽小得多

蓝色曲线是活性介质的增益曲线

通常在放大介质的曲线下 我们有很多容许的纵模

事实上 这种效应的分析理论早在激光发明之前就已经得出

是两位法国人总结出来的

法布里和佩罗 所谓的法布里-佩罗谐振器只是简单地展示了两个镜子

实际上 他们的理论是用来解释薄膜的多重反射

因此 他们想知道个体贡献是如何反映传播部分的

然后它们又会被传递或反射 这就是总结

所以他们分析了每个反射的个人贡献

在这里概括出来了

如果大家看极限 解这个级数

然后大家得到了透射强度作为入射强度I0的函数表达式

这里唯一的参数是相位的反射率R

但通常情况下 这个可以忽略不计

看看这个方程的地理解

如果我们把它画出来 在这种情况下 我们看看传输和频率的关系

画出是PI相位 但这实际上是频率间隔

大家可以看到小的反射率是0.1阶的

我们得到了由谐振器产生的 非常强烈的调制

对于相位匹配 我们有很高的反射率和透射率

在非相位匹配的情况下 我们有非常小的传输

所以谐振器以2C / L的频率间隔 非常有效地滤除这些波长

不用说 在这种情况下 对于较低的反射率 在0.1的绿色曲线上

当R趋于0时 极限上的调制是很轻的

反射镜的反射率趋于零 这意味着没有谐振器

我们会得到一条直线

当然 所有的频率都是允许的

作为第一个中间总结 谐振腔是一个非常精确的纵向模态滤波器

这是激光的频率

反射镜的反射率越高 调制越大

相对于产生的频率 更尖锐的是滤波器

正如我所说的 这种模式选择通常比增益介质的光谱宽度小得多

在这张图中 我们总结了到目前为止我们所看到的

所以单个的纵模取决于谐振腔的几何形状C / 2L

以及谐振腔的长度

通常 这些纵向模态很多都在激光介质的增益曲线下

在讨论横向模态之前 我们先来讨论一下谐振腔的稳定性

横模 在这种情况下 要明确其稳定性

也许在右边的图中 大家最容易看到

如果这样说 做一个谐振器的示意图显示

在这里 你用一定半径的长度替换反射镜

看 一下展开的谐振腔反射 一个反射接一个反射

那么 大家可以看到反射是否在几何形状上进行自我复制

也就是说 光束停留在谐振腔中

然后我们讨论一个稳定的谐振器

在这种情况下 谐振腔的形成使得产生的光束一步一步地从该系统中移出

谐振器称为不稳定谐振器

在这张图中 大家可以看到对应模式的进一步示例

还是 每条虚线代表一个反射镜的位置

在谐振腔中经过一两次反射后 光束不一定需要自我复制

可能会有5 6 10次反射

然后再回到相同的路径 这仍然是一个稳定的谐振腔

或者在另一个极限中 只要我们有一个不断增加的累积位移在谐振腔中

它早晚会离开谐振腔 离开系统 这是一个不稳定的谐振腔

同样 它可以在第一眼看到的正边界之间振荡

但如果强度或位移随着反射的增加而增加 谐振腔就称为不稳定谐振腔

如果我们现在看共振腔描述的理论 我们使用一种技巧 我们要求这样的解

根据定义 它在谐振腔中是稳定的

在左边大家看到特征值问题的一般形式

在这个特征值问题中 大家会看到同样的函数E M (X, Y)

同样的 在这种情况下 我们有一个特定的操作员B

操作员B表示辐射在一面镜子上的反射 这面镜子是2号

然后在1号和2号传送带上再反射一次

光束需要从1到2

所以有4个过程 从2到反射到2，再从1到反射到1

这是整个循环

现在 我们说 我们寻找在这四个步骤的操作下自我复制的函数

然后我们用数学公式表示了运动和反射的过程 并总结出这个矩阵B

这就是我们对初始场解E M所做的

我们寻找的解决方案是在应用4 经过4个步骤后，得到完全相同的E

然后我们寻找相同的解

然而 可能只是通过一点形象的变化

所以 只是一个标量

所以在边缘处 我们可以考虑一些衍射损失

但原则上 这个函数应该是一个特征值

应该是本征值函数的本征解

你们中的物理学家可能知道薛定谔方程中的类比 它也是一个特征值问题

这是物理系统分析中经常用到的技巧

如果我们以综合形式来处理 在这里 大家会看到

我们收集所有由于散射和反射而产生的贡献

再一次移动得到特征函数

同样的函数 在某一点上只是变化了一个标量因子

如果大家看一下发生了什么

如果我们从一个矩形分布开始 然后进行个体导入

考虑一下一定尺寸的反射镜

然后我们从部分中得知最初的这个顶部轮廓会改变

是由于菲涅耳衍射的某些复杂形状

然后 我们进入下一个话题

它只切出中心部分 然后会受到衍射等等的影响

最终我们会得到这样的解

这是一个高斯形状 当然 这个高斯形状会在

孔径或反射镜的边界处被切断

然后在一定次数后 它会进行自我复制

这就是这个谐振腔的本征解

如果我现在开始模拟这个谐振腔 大家会看到它从菲涅耳1号开始

所以中间有一个峰值

我放了5个 所以现在我们有了5个峰值

然后我在谐振器中转10圈 让模拟开始

通过衍射 可以看到它接近高斯分布

直到大约50到100之后 取决于通过谐振腔的谐振器

我们会得到高斯光束的本征解

大家可以自己玩这个模拟游戏

大家可以看到下方的网页链接 它可以直接链接到模型

借此大家能够积极地编程并观察衍射

会形成特征解的稳定形式

在下一张幻灯片中可以看到结果 这是高斯光束 高斯模式

我们称之为稳定谐振腔的本征模

具有典型的指数平方 依赖于垂直于传播轴的轴

就像大家在图片中看到的那样 可以想象一下这种高斯形状

在这里 大家看到这两个反射镜的位置 形成了本征模 也就是高斯光束

如果大家观察横向模态的高阶模态 它总是高斯模态

E就像这里印的那样 打击可以看到高斯分布经典函数

但是现在 在下一个第一阶中 它与Hermite因子H1相乘作为级数展开中的第一个元素

如果把这两个函数相乘 就得到这个函数

如果我们对它进行平方 就能得到电场的强度

作为波束半径的函数 我们得到了两个波峰

下一个是Hermite因子的平方

所以这是一个抛物线和X2

如果我们用基本模态高斯函数乘以X2

然后我们得到这种分布

再次平方 我们得到了三个峰值 或者一个环 且中心有一个点

如果我们考虑径向对称

径向对称不是发射模态 而是拉盖尔-高斯模态

同样的 一阶的结果是一个峰和一个环

二阶是一个峰的和两个环等等

所以 在横向模态选择中 这和衍射有很大的关系 它和衍射很相似

我们有零阶衍射

也就是说 高斯光束下一个高阶是两个峰 三个峰等等

因此 我们有很多高阶模 通常 这是在高质量的激光材料加工中

我们只选择基本模式高斯TM00

TM代表横向电磁波

在下一幅图中 大家可以看到X和Y的高阶函数图像

0 0 0 1 0 2 0 3 0 0 1 0 2 0 2 2 3 3 4 4等等

大家可以从不同的光束方向组合各种顺序

在球形对称中 我们学习了用高斯拉盖尔模作为解

大家又得到了径向的依赖关系 也就是说 径向的干涉在一个方向上

因为另一个坐标是角坐标

我们就得到角分离 一阶 二阶 三阶等等

实际上 这幅图总结了谐振器的情况

如果大家看一个名为稳定性的图表 里面有两个G参数

G参数与谐振腔中各镜的特性有关

所以G1等于1减去两个镜子的谐振腔距离除以第一个半径

所以 这是一个无量纲大小的G参数

对于每个镜子 都有一个对应的G2值

如果知道G1和G2的关系 大家会看到这里的11.11

G等于1意味着R趋于无穷

这是一个平面镜 一个平面镜的半径是无穷大 G参数是1

在这个图中 点11对应一个平面谐振器 在这里可以看到

很明显 平面谐振腔处于稳定区域到不稳定区域的边界处

因为 想象一个光束在这个谐振腔中来回运动

如果在一定次数后 它不会离开谐振腔 那它最终必须是精确的

所以 这就是极限中的一种情况 这就是为什么这个点在稳定区域的边界处

就是曲线的这一部分 这里是不稳定区域

由于对称 在负的G G1和G2区域也有相同的东西

在上面这张图中 大家又看到了纵模 它们的间距是C / 2L

大家可以看到这里画了更小的线

如果有更高的横向模 这些就是频率的变化

对于某个纵模TM 0 0横模 这就是频率

如果我们有一个更高的横向阶11

然后就会有频繁的微小位移

这可以用谐振腔有一点倾斜来解释

现在 如果我们沿着这个通道 通过不同的谐振器 穿过稳定区域

我们首先讨论的是第二个有趣的点 它是对称的

它是一个共聚焦谐振器G1 = G2 = 0

如果我们继续

在进入不稳定区域之前 我们会在稳定区域的另一端 到达一个同心谐振器

现在 这幅图再次显示了这两个的纵向模态

它显示了稍微分开位移线时 更高阶的横向模态

现在整个过程是封闭的 或者是在介质增益曲线之下

正如我之前所说的 通常增益曲线下有很多模态

但是 如果现在大家看激光临界值

那么对于某个值 在这个放大介质中 我们有足够的增益

使模开始振荡

然后所有超过临界值的 就会变成激光发射的频率

所以在这种情况下 在激光的发射光谱中 我们有四种纵模

波长处于某一纵模下

当然 现在我们可以根据我们想要做的来优化这种情况

如果我们想要一个单模激光

我们首先要缩小增益范围 而这是非常困难的

增加单模的分离可能更容易些

大家还记得这里的频率间隔是C / 2

所以我们需要做的就是增加L 然后减少△ν或者反过来

如果我们减小L 我们就增大了△ν的分离模式

所以 短谐振腔会导致这些模式产生更大的分离

也许一直到增益曲线下只剩下一种模态

所以开始只会形成这个模式 在不同波长不会有进一步的振荡

与之相反的是 我们制造了很长的谐振器 并且有很宽的增益介质

然后在介质的放大剖面下 会有很多纵向模态

这对于通过模耦合产生超快飞秒激光器

和皮秒激光器来说是非常好的

所以 总结了这段关于谐振器的视频

我只想回顾一下谐振器的三个主要任务角色和特性

第一 它通过反射反馈

电磁能量进入有源介质 使受激发射持续运行

这是光反馈

第二 纵向模态的选择

纵向模态是具有不同频率的模态

频率间隔是常数 请记住是C / 2L

第三 属性是横向模式选择

我们有一个基本模态 也就是高斯模态

对于每一个阶 我们都有更高阶的模态

只需在衍射图上加一个最大值即可

最后我们来看一些实际的谐振器例子

这是气体激光器

这是氩离子激光器

也许在金属丝棒中 大家可以看到

这些金属丝可以稳定固定谐振镜的金属板

这是一面镜子 想象一下另一面

气体激光器的另一个实例是氦氖激光器

这是一个非常棘手的谐振器 因为它没有外部谐振器

我们用气体管作为谐振器悬浮液 把镜子熔化并焊接在金属支架上

将这个金属支架连接到玻璃管上

我们有一个整体结构

谐振器通过简单地焊接在这些镜面支架上就可以实现机械稳定

镜子本身在这一端 就在这一端

通过镜子的位移 完成调整

这是一种软金属 所以它可以稍微弯曲 所以我们能调整激光 就是这样

非常明确 非常简单的建立谐振器的方法

通常 在固态激光器中 我们有分离的镜子

大家可以看到这里有一面镜子 这面镜子在一个特定的镜子底座上

中间有活性介质泵和冷却介质

二极管激光器 这是一种特殊的情况 大家看不到谐振器

因为一切都在纳米尺度上 谐振器直接集成到发光棒上

在二极管激光器中 这个尺寸非常非常小

我们没有外部谐振器

只有切割和涂层边缘 以及砷化镓半导体活性介质