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亚琛工业大学激光技术研究院，Reinhart Poprawe教授

大家好

今天学习的内容是激光速率方程

速率方程的好处在于

至少能用简单的数学公式，在稳定状态的溶液中

描述激光的基础元素

从而让我们更好地了解激光的作用方法

在课程的最后

我们将会得出一个方程式

能够直接算出一定泵率所得的激光功率

即我们所输入的能量能够获得的激光功率

首先我们从5个点出发

了解一些作用原理

首先，我们会讲一下光与物质相互作用的基本过程

接着会分析一下速率方程

三级和四级系统

接着再具体分析

为一个光学共振器建立速率方程

会用两面镜子

选择激光共振的模式，然后开始发射

最后，我们会讲到激光功率曲线

即与泵功率和泵能量相关联的激光功率

首先

我们要看一下光与物质相互作用的基本过程

举个例子

这里我列出了一个最简单的原子，氮原子

我们都知道

如果我们输入一些能量来激发电子

一开始这个电子是基态

这个电子会跑到更高级别的激发态

而在光子的刺激下，这个被激发的原子又会回到基态

我们来详细看一下

光的释放和吸收过程

先看一下光的吸收

想象一个任意的带有固定频率的光源

处于放射状态

将这个光源照在一个吸收光的介质上

如果从各个频率来看

吸收的强度会不一样

此外，如果我们从光发射来看

现象一个热光源

比如太阳

而我们都知道这就是所谓的普朗克辐射曲线

这里有图示

发射光谱

发射频率函数在这里达到最大值

取决于因辐射而抵消掉的温度

因此，我们就有了一个连续光谱

然而，如果介质不是固体

如果是一个气体化光源，且符合热平衡条件

我们所得出的图会是这样一条一条的

形成容许谱线

但是，如果将这些线的顶端相连

所得曲线还是符合普朗克定律

现在再来看一下激光

从最基础的过程来看，就是一个放大的光源

而频率分布非常窄

一个很小的条状

我们将光源照进一个介质中

在这个介质中激活

然后就得到了一个放大的光源

所获得的强度也是增加的

但是光源的频谱差不多不变

整个过程大家或多或少都比较熟悉

所以现在只要看看

过程中的各个能量级

如何增加粒子，减少粒子

在整个吸收和发射辐射的过程中

下一页，我们有两个不同的能量级，这里有E1和N1

E1是能量，N表示的是该状态下的电子数

或者是该状态下带电子的原子数

而第二个能量级用E2表示

以及它对应的原子数或分子数

我们现在往这个系统中射入光

随着光子的进入，我们激活了一个原子

它从基态转移到一个高能级

如果我们现在数一下

会发现低能量级中的N1

的数量少了一个

且与光子进入的数量是成比例的

越多光子进入

第一层的转换率越高

当然

这也取决于这一能量层中原子和分子的数量

这里的系数B1 2

其实是与速率相关

这就有点像反应的横截面

我们叫做速率常数

与转播的介质相关

如果我们是在高能级

更高能量的级别作用

这里的公式也是一样的

但是这里有个加号

因为电子数都是从低能级

增加到高能级的

而光子数量Q呢

如果我们不停地按照同样的速率计算

这里是负号

因为所有光子在这个过程中是被吸收的

所以随之时间推移，光子数量是越来越少的

现在如果我们要对已激发的能量级进行去粒子

就是再发射一个光子

受激发散的量与高能级原子或分子量成比例

也和光子的量成比例

发射的光子量

还有我们的速率常数

如果我们现在数第一能量级数量

当然这里是正号

因为现在电子放松

从高能级转移到低能级

而高能级的公式中

是负数，但是公式是一样的

而光子数量呢

公式还是一样

现在是正值，因为我们再生了光子

从被激发原子或分子中获得

除了受激发射过程，还有一个需要关注的过程

那就是自发发射

因为，这些受激原子或分子当然可以

在没有额外光子的情况下发射

自发发射的公式在这，还有对应的速率

我们要分别加在N1，N2和Q函数上

这个数值和N2相关

假设自发发射的速率是A

A2 1 表示等级2到等级1

这个跟B不一样

B系数表示的是受激发射速率

因为自发发射里没有光子的参与

所以A的值跟B肯定是不一样的

同样，很简单N1这里为正值

N2为负值，减少电子

自发发射产生光子

所以光子量函数这里为正值

在这，我想给大家拓展一下

深入了解A和B这两个速率系数

速率系数也叫爱因斯坦系数

与辐射的受激发射和自发发射相关

大家来看一下

因为对称原理

B2 1 和B1 2 其实是一样的

而A2 1 只能在第二级别到第一级别

即高能级到低能级时才有意义

因为没有自发吸收光子这样的作用

在更常见的公式中

比如这里，我们不会用分子数或原子数

或光子数来描述，我们用的是密度

如果所有量纲改变，那么爱因斯坦系数B

对于受激辐射而言

B的量纲是焦耳·立方米·平方秒

稍微拓展一下

当我们只看吸收的基本过程

受激发射和自发发射

描述吸收作用最简单的方法是

用电磁场中的经典理论

以及物质描述的经典理论就可以了

如果是受激发射

我们则需要物质的量化分析

这里是量化原子模型

如果要描述自发发射

我们也需要用电磁场的量化

来描述这种现象

现在来看一下真实例子

通常会有一个3级系统和一个4级系统

我们将关注其中一个系统来进行分析

看看里面到底发生了什么

比如，4级激光介质

既有4个能量级

首先，我们有个基态

这里有所有的原子或分子，处于初始状态

然后最上层有泵谱

泵谱比高能级更高

因为大部分能量会被介质吸收

我们不仅会增加高能级的原子或电子数

当然还有比高能级更高的级别

然后激光过程再回到低能级

最后再回到基态

看一下演示，首先是吸收，基态的原子跑到泵谱

然后从泵谱往下落

落到高能级上

这有可能是受热能刺激

受碰撞，或者是辐射过程

因此我们的高能级上就有了很多原子

然后我们向低能级发射

用一个光子来进行受激发射

原子放松往回，又重新落回基态

总之，第一个光子进入，高能级受激

获得电子，然后从这里开始过度到第二个光子

这样才能够放大辐射域

这就是4级激光系统

那我们要怎么选择受激发射的方向呢

将这整个系统放进共振器中

这个共振器中有两面镜子

我们在共振器视频中已经见过

这样，我们的光子就会被反复来回反射

方向是一定的，并且有越来越多的光子

来参与整个放大激光的过程

通过辐射受激放射完成

因此，在速率方程中，我们要考虑两个因素

一个是共振器衰退系数

就是共振器本身

会消耗掉一定激光能量

这在光子移动的每一圈都会发生

我们称之为共振器本身的损耗因素

损失的耦合激光束就是所谓的损耗因素

我们称之为贝塔

共振器的另一个因素我们也要考虑其中

那就是所谓的选频特性

如右图所示

因为我们选取的立体角其实非常窄

我们称之为Δ Ω

我们需要这个因子来选择相应的光子

这些光子和共振镜面的方向是一致的

因为有些发射的光子可能会从边上穿出去

并没有用在共振器中

拓展一下共振器的选频特性

如果要给Ω定个量的话

其实这个量非常小

一个正常的共振器，比如这个

得出的Ω值也就10的负4次方

或负5次方

所以这个数值其实很小，但是必须要用到这个方程中

来描述光子的数量

描述和共振器中的方向一致的光子

然后回到这个速率方程

已经列在这里了

我们看到多面角这个值包含在自发发射公式

的光子数函数中

同时还有每秒发射到共振器外的光子数贝塔Q

也在光子数这个方程中

还有一个点

在4级激光系统中

我们还要注意最低级别N0级的数值

它跟泵谱一定是相反的

泵谱值越高，基态的原子数越少

到现在，我们就得到了速率方程

进一步分析一下

激发发射的光子数

比自发发射的光子数

等于一个很简单的方程式

这个方程式告诉我们

第一

如果我们进行有效冷却的话

N1能量级就会变小

我们的反转数就越大

反转数指的是高能级和低能级的差值

N2减去N1

如果N2减去N1的值越大

激发发射的光子就会越来越多

所以冷却越多，光子数越多

第二，如果我们的泵谱数值越大

N2能量级的数值就越大

反转数就越大；因此我们希望泵谱高点

第三，在方程中

这里有个和光子数直接相关的值

所以，共振器中的光子越多

能生成光子的受激发射也就越多

以上就是速率方程的所有内容了

接下来几分钟

我们将在稳态中简化分析一下这个方程

来描述一下激光能量

如果我们再简化一下这个方程

首先看一下这个N2，是不断增加粒子的高能级

我们可以直接用N来替代

N2-N1这个反转数

再来看一下基态

基态的粒子数

基本是来自低能级的自发发射

通常会比泵谱数值要大

这样的话，才能够不停激发低能级

从基态往泵谱送粒子

简化之后的速率方程

更简单了，这有两个函数

一个是N，或称为粒子反转数N

一个是光子数Q

我们继续来简化

这一步要引进一个新定义

在右上角这里

我们将这些数值标准化量化一下

现在N一杆等于N

乘以爱因斯坦系数B比A

光子数也一样

泵谱速率也差不多

但是加了个贝塔

最后，四级系统的速率方程量纲如图

就在这里，其实非常简单

其实只有两个方程，然后我们可以分析一下

首先我们要看一下，在稳态中的作用

在稳定状态下（静止态）

时间导数为零

就得到一个很简单的二次方程

这个二次方程主要是基于

泵谱中的光子数量

这里唯一的系数是FΩ

我们刚才说过欧米伽的值非常非常小

当我们解这个方程式时，有两种情况

一种是P非常小，小于1

另一种是P大于等于1

P的几个公式组成了整个Q函数

如图所示

当P等于1时，我们获得的是激光阈值

当值小于阈值时，整个函数的开始，光子密度为零

而且，粒子反转数会随着

泵谱率增加而呈线性增长

粒子反转数到达阈值后，绿线

会进入稳定状态

也就是受激发射产生光子的状态

速率方程的数值会增加

且与泵率呈线性增长关系

我们来仔细看一下FΩ函数发生了什么

如果FΩ的数值

这表示的是自发发射，如果FΩ为1

假设所有光子从完整的立体角度发射

基本处于黑体状态

这时候这个数值主要取决于泵率

当激光值处于阈值以下时

然而，现实情况下，当FΩ在10-4 到10-6这个区间时

这条曲线其实非常接近于陡峭上升的激光阈值

即P等于1时

如果我们将整个时间轴延长，如右图

我们可以看出，在激光阈值前后很小的范围内

即P等于1前后

光子数量产生了戏剧化的增长

看看这个坐标轴

这里的刻度，数量级是10倍

所以快到激光阈值时，泵率改变一点点

被激活的光子数量会大量增加

增加的数值通常是10个量级

这种效应其实可以和二级相变做对比

一级相变，举个例子就是冰融化成水

大家可能比较熟悉，如果我们持续增加温度

输入更多热量

固体形态下，温度可以持续上升

当固体材料开始融化时

温度不会在持续增加

但是我们需要有一个跨度

输入的热能要跳一级

也就是所谓的潜伏热

这个图中我们可以看出

热能曲线和温度曲线并不一致

中间有个空挡

在激光变相中

光子量和泵率的关系曲线是连续性的

但是在阈值附近，会有急速的变化

接下来，给大家举个例子，速率方程的应用

这是一个二极管激光器

这个二级激光器的激光功率输出

取决于输入的电功率

输入的电功率越多，产生的光子数越多

大家看一下速率方程曲线

一开始是零，然后逐渐上升到达阈值

到了阈值之后，随着光子数的增加，曲线呈线性增长

如蓝点曲线所示

现实中，这个曲线会有点偏差

因为激活介质中会有热效应

且激活状态下的密度不同会导致共振器不稳定

在半导体中

我们知道要用更复杂的模型来描述这种现象

至少现在，我们有一个相对简单的模型

来描述稳定状态下的激光现象

取决于泵率产生的光子数

结果是，在阈值以下，没有光子

阈值以上，光子数量陡增，呈线性增长

粒子反转数呈现稳定状态

所以，当我们操作激光的时候，粒子反转数是稳定的

更详细的分解，我们刚才已经讲过，会有些变数

在考虑变量的时候

要考虑介质中的温度改变

以及泵率在输入时的稳定性

这两个变数会让激光方程更复杂