Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC微积分

前面我们已经学习了傅立叶级数及其收敛性

注意到我们现在所讨论的傅立叶级数

都是在区间负π到π

或者呢0到2π上进行展开

其实还有其他类型区间上的傅立叶展开方法

以及使用复系数做傅立叶展开的方法

所以这个单元我们就介绍

各种各样不同的傅立叶级数的形式

好的下面我们开始讲课

Chapter 3 Power Series and Fourier Series

幂级数和傅立叶级数

Unit 5 Other Forms of Fourier Series

其他形式的傅立叶级数

1. The Fourier Series on [-l,l]

闭区间负L到L上的傅立叶级数展开

同学们

现在我们要处理的函数

不再是从负π到π上绝对可积的

而是其他类型的区间上

我们比如考虑这种对称区间

就是从负l到l上一个绝对可积的函数

其中l是一个正数

Using change of variables

我们现在要试图把现在这个f要转化成

以前我们处理的负π到π上的情形

因此我们要怎么做呢

Using change of variables

做一个变量替换就可以了

很简单就是令x等于lt除以π

其中t是变量

那么当x从

-l跑到l的时候

那么对应的这个t也就从负π跑到了π

因此呢通过这个变化

就可以把现在这个f转化到负π到π这个区间上

也就是说我们

consider the function α(t)

它就是把x做变量替换以后的结果

现在变成关于t的函数我们把它记做α(t)

那么关于α(t)呢

我们说

it is absolute integrable on [-π,π]

于是这个问题又转化到原来的傅立叶级数的情况了

我们假设α(t) has its Fourier expansion

也就是以前我们的符号 curly F(α)(t)

它就应该是现在我们看到的这个式子

当然其中这个系数an bn等等是通过α求出来的

那么我们算一下an呢

就是α(t)所对应的那个傅氏级数

那么 α我们知道它就是flt除以π

我们直接可以把它算出来

关于f的形式

也就是说每一个an呢

是1除以L乘以积分从负l到l

f(x)乘以cosnπx除以l

类似的bn呢我们也可以算出它的形式

可见我们现在通过做简单的变量替换

就能找到相应的这样一个傅氏展开

Consequently we get f(x)

它的傅氏展开

这个傅立叶展开

其中系数呢就是我们刚才上一页中定义的那些系数

which is the Fourier expansion of f

over the interval [-l,l]

好的同学们下面我们看一个具体的例子

Example 1.1

Find the Fourier expansion of this function

注意现在这个函数f

它是定义在负1到1这个闭区间上

在负1到0这一段它定义成0

从0到1这一段它定义成x平方

那么对这个函数如果我们想找它的傅立叶级数的话

首先我们就要把它转化成负π到π上的一个函数

这个方法跟刚才我们讲的是完全一样的

我们可以直接套用刚才的公式就可以了

a0 equals 按照刚才的公式

就是这样的一个积分

这个积分的结果是3分之1

类似的an呢也可以算出来

算an的时候呢可能有点复杂

因为他有平方然后有cos这种形式的积分

这个呢作为一个典型的定积分的问题留给同学们

总之呢

可以通过分步积分或者其他的方法都可以算出来

它的结果呢我们现在列出来

就是2乘以负1的n次方除以n平方乘以π平方

接下来bn呢也是通过类似方法计算出来的

当然bn的结果呢可能有点复杂

总之现在所有的系数我们都找出来了

the Fourier expansion of this function is thus

written as on the screen

也就是现在屏幕上看到的就是

f的在负1到1上的傅立叶展开

2. The Complex form of Fourier Series

傅立叶级数的复数形式

同学们

前面讲的傅立叶级数都是用三角级数展开

现在我们要换一种方式

用复数加e的指数形式来展开

我们来看一下这种形式

它也是非常巧妙的请看

Let f(x) be absolute integrable on [-π,π]

and as usual we denote its Fourier expansion

现在我们还是假设

f有它经典的这个傅氏展开级数样子curly F

and also we have its coefficients

那么它这些级数的计算公式呢我们都很熟悉的

那么就是现在屏幕上所列的这两个公式

下面呢我们要对这个级数形式

以及其中的系数操作一下

我们下面呢要认真地看怎么操作

cosnx它可以用复数的指数形式来重新写出来

就是1/2(e^inx+e^-inx)

这里呢我们遇到了e指数上带一个复数

它的含义实际上我们在微积分I中已经讲清楚了

同学们如果有疑问的话

可以在微积分I中找到相应部分的内容

总之 cos三角函数和指数的这种函数的关系

就是我们现在所列的这个公式

类似的还有sinnx=1/2(e^inx-e^-inx)

而且反过来我们可以写什么呢

e^inx=cosnx+i sinnx

总之现在这三个公式就是

三角函数和指数函数之间的关系

都是通过这三个基本的公式来确立的

那么我们还有更重要的事情

就是要引入一串新的复数

We introduce complex numbers cn

注意现在这个指标不是自然数了

而是整数就包括了负整数 0 等等好我们看一下

首先c0 c0就是原来这个复数级数中a0的2分之1倍

另外有cn cn是通过an和bn组合而来的

cn它是一个复数

它的实部是2分之1倍的an

虚部是负2分之1倍的bn

当然这里我们要求n是自然数

也就是n从1 2开始

相应还有c负n系列

也就是指标为负整数的c

我们把它定义成

刚才所定义的那个c的bar

这个bar这个运算

同学们我们回顾一下

它就是取共轭

复数里面取共轭的含义

也就是说它是2分之1倍的an加上i倍的bn

总之通过这三个式子

我们已经定义了cn

对所有的指标n都能定义出这一串数

By formulas of an and bn

因为刚才我们定义cn的时候

实际上是用an bn系列定义的

那么我们直接可以写出cn其实

we see that cn is in fact

given by this formula

实际上这个cn

可以直接通过下面这个积分的式子来算出来它是

1/2π times integration from -π to π

f(x)times e^-inx dx

这个呢也是一个标准的公式

希望同学们能把它记住

通过cn呢可以找出an和bn

其实a0它就是2倍的c0

and an is the summation of cn and c_-n

an是cn+c-n的结果

bn是

the result i(cn-c_-n)

总之这几个关系是很容易推导的

同学们不妨自己把它再仔细推导一遍

也就是说原来的傅氏级数呢

我们给它变了一个花样

现在变出来另外一串系数就是cn

通过这个cn呢

我们可以引出f的新的傅氏级数的样子

We thus get the complex form of Fourier expansion

这个样子就叫做傅氏级数的复数形式

它是这样写的

F is similar to its Fourier expansion

原来这个curly F

它表示f的经典的傅立叶级数

把他改写一下就是现在我们看到的样子

就是n从负∞跑到正∞

然后呢是cn乘以 einx次方

这就是f的傅氏级数的复数形式

它就是直接把原来经典的三角级数做代换

把刚才那些an bn

换成我们所引入的新的系数cn以后

然后做重新的组合得到的结果

这里呢同学们一定要自己再把它在纸上推导一下

这个过程非常的细琐我们这里就不重复了

当然我们强调一下这里的cn呢

是通过这么一个方式计算出来的

3. Sine and Cosine Series of functions

函数的正弦与余弦展开

在这一小节我们关注两种非常特殊的傅立叶展开

首先我们要注意到这样一件事情

We first note that if a function little f

which is absolute integrable on [-π,π]

如果这个小f还是什么样呢

is an odd function

odd function的意思

就是说它是一个奇函数

那么这个时候我们计算它的傅立叶级数的系数的时候

请看

a0 is the integration of f from -π to π

它一定等于0 为什么呢

因为f是一个奇函数

这个同学们如果熟悉积分的话就一定明白这件事情

类似的那些an全都等于0

这个也是因为f是奇函数的原因

Thus the Fourier expansion of f is of this form

f(x) is similar to its series expansion

which consists only of bn sinnx

在傅立叶级数中只保留下来了bn sinnx形式那些项

于是呢我们看到对特殊的奇函数

那么它的这个傅立叶展开

就变成了只含sin系列的级数

类似的

we note that if some function f is even

假设我们现在考虑这个函数f

它是一个偶函数even function

那么相应地我们计算bn系列这些系数

bn by definition

是这样一个积分就是

f sinnx然后做积分

现在f是偶函数

那么它乘以sinnx以后呢就变成了奇函数

于是这个bn的积分就等于0了

于是我们看到

如果f是偶函数的话

则所有的bn都会等于0

那么傅氏级数中的那些系数啊

就只剩下了a0 a1那些系列

Thus the Fourier expansion of f is of this form

就是a0再加上求和an乘以cosnx

可见如果f是偶函数的话

那么它对应的傅立叶展开

就只包含了常数以及cosnx系列的那些项

同学们以上这两种特殊情况非常的重要

一种是f为奇函数一种是f为偶函数

现在我们考虑这样的函数f

它只定义在[0,π]上

f is only defined on [0,π]

也就是说f在负π到0那一段

我们根本没有给出它的定义

如果我们也想对这种f

给出它的傅立叶展开

并且我们特殊地要求它只含sin或者cos

那么该怎么做呢

可能很多同学已经想到了

只要把现在这个小f 给它扩充到负π到π上

那么不同的扩充方法就会导出不同的傅立叶展开

当然我们要求f是在[0,π]上也是绝对可积的

这样的话保证扩充以后的函数也是绝对可积的

we can extend f to a new function

on [-π,π] in two ways

我们把f扩充到负π到π上用两种不同的方法

第一种就是even extension偶延拓

第二种呢odd extension

Here is the even extension

我们先做一下偶的延拓

我们把它延拓以后的这个函数记成f脚标e

以表征它和原来f的区别

它的定义就是这样

在原来的0到π上

It‘s originally the f

the f

在负π到0这一段上我们把它取成

f(-x) 这就相当于做偶延拓

Thus the corresponding Fourier series only involves cosnx

对现在这个fe去做傅立叶展开

就得到小f的傅立叶展开

它就只含有cosnx系列的级数

We also have the odd extension

我们把它记作fo

fo定义是这样子

在0到π之间

注意我们把x等于0单独定义

在0到π之间不包括0还是原来的f

在等于0处我们把它修改成0值

在负π到0不包括0这段区间上

我们把它定义成-f(-x)这就是奇延拓

如此得到的fo(x)

is really an odd function

Consequently the corresponding Fourier series

only involves sinnx

对这个fo(x)做展开的话

就只包含sinnx系列的级数了

总之给定这样的f

我们有两种方法

那么具体的希望同学做一些实际的例子来试一下

得到不同的傅立叶展开

有的是只含sin有的呢是只含cos

同学们

在这一讲中我们学习了一些不同类型的傅立叶级数

比如在负l到l上的展开

以及用复系数做复形式的展开

以及只含有sin或者

只含有cos的傅立叶级数等等

这些呢也是比较重要的知识

希望同学们在课后通过练习题来掌握这些内容

那么这一章的内容就到此为止

我们详细地学习了幂级数和傅立叶级数

因为这两种级数非常的重要

同学们在课后一定要好好地复习梳理一下

这一章的全部内容

下一章我们要学习新的内容

就是多元函数微分学

它的内容呢也比较多

所以呢请同学们提前看一下讲义

好的我们下一章再见

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

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