SPM感应频谱变化&群速度色散的影响（一）在线视频

大家好

现在我们来学习

第六章自相位调制对于脉冲的影响

主要有几个部分的内容

首先先看一下

自相位调制对频谱的影响

SPM也叫SeLf Phase ModULation

因此叫自相位调制

或者简称为SPM效应

自相位调制效应对于频谱会有什么影响

从非线性相移这个角度来考虑

前面给出来脉冲的方程

就是脉冲的归一化振幅方程U(z,t)

可以写成这样子的形式

其中有两项

一项是色散项

一项是非线性项

在上一章讲了色散对于脉冲的影响

这一章讲非线性对于脉冲的影响

非线性讲的是自相位调制

因此上面这个方程就变成

取β2等于零时候的这个方程

就是∂U比较∂nz

就等于ie的负αz除以LNL

再乘以U的模的平方再乘以U

大家知道其中的LNL

代表的是非线性长度

等于γP0分之一

为了解这个方程呢

把它先令这个U等于V乘以exp(iφnL)

就是把它分成

一个是振幅

一个是相位的形式

然后把这个U的式子

代到刚才的这个方程中去

就可以分出实部和虚部这两项来

然后让实部和虚部分别相等

就可以得到这个方程

因此得到了两个方程

第一个方程是

V对于z的导数是等于零的

大家知道在这个时候

V代表的是这个脉冲的振幅项

后面的第二个方程

是φNL比上z的导数

是等于e的负的αz

除以LNL再乘以V的平方

那这个里头

就是第二个式子中除了跟损耗α

其中的z有关以外

这个时候因为V是一个常数

所以这个方程也容易解的出来

因此这两个方程都可以解出解来

再看一眼上面那个方程

因为振幅V对于z来说

它的导数为0

因此得出结论来说

这个振幅是不随着z的变化而变化的

换句话说振幅V是一个常量

因此得出来脉冲的振幅

沿着光纤长度的变化

就可以得到它的解这个U(L,T)

等于U(0,T)

大家刚才说因为它的这个振幅

是不随z变化的

因此用初始的振幅形式来

代替用U(0,T)来代替

后面就变成了e指数iφNL(L,T)

这个时候的这个φ呢就代表了相位

也就是脉冲在入射的时候

它是等于U(0,T)的

但是经过了传输距离L以后

它变出来多了一项e的iφNL项

也就是它多了一个相位项

因此这个非线性

导致脉冲就是它相位被调制了

所以管这个概念

叫做自相位调制

就是它自己调制了自己了

并且相位这个φNL

是等于底下的这个式子

φNL求出来是等于

U(0,T)的模的平方再乘以

有效长度Leff除以LNL

除以非线性长度

这个时候的这个

有效长度LeL呢

是等于1减去exp的负αL除以α的

也就是因为把损耗项呢

包含到了这个非线性项里头来了

那如果不考虑损耗

如果让α等于零的话

那这个有效长度

就等于脉冲的传输长度L

因此非线性相移有以下的特征

就是第一个非线性相移与光强有关

但是这个本身它的振幅

就是脉冲的形状是保持不变的

这是它的一个特性

另外一个特性就是

非线性相移与输入脉冲的功率是成正比的

功率越大非线性相移越高

第二个结论呢

这个非线性相移φnL

随着传输的长度的增加而增加

也就是距离越长非线性相移也越大

那第三个

特征就是这个式子中跟LNL有关

这个非线性长度越大

它的非线性相移越小

并且非线性相移也有一个最大值

看一下这个式子中

因为U(0,T)

强度它本身是一个脉冲的形状

脉冲跟T的这个形式是有关的

它有一个最大值

这个最大值呢是在脉冲的中心部分

也就是当t等于零的时候

可以求出这个最大相移

最大相移等于什么呢

等于下面这个式子φmax

等于L除以LNL

如果这个LNL带进来

等于γP0分之1的话

就是这个非线性相移

跟非线性系数成正比

跟入射的脉冲功率成正比

还跟传输的距离成正比

这三个因素加起来影响非线性相移

因为这个非线性相移

其中也有这个跟时间的关系

因此它也会导致频率啁啾

那把频率啁啾算出来呢

就求δω(T)φNL对T求导

并且取的是一个负值

就得到了后面的这个表达式

这个式子大家可以看得到呢

频率啁啾

是跟脉冲的形状有关系的

啁啾是由非线性效应引起的

就是由SPM调制引起的

这个时候会产生一个什么效果呢

就是随着传输距离的增大

这个非线性效应导致的啁啾会越大

同时这个脉冲沿着介质传输时

就会有新的频率产生

因此它会导致频谱展宽

自相位调制会导致脉冲的频谱展宽

这是它的一个结论

好下面看一下

对于m阶的无啁啾高斯脉冲的输入情况

如果这个式子

还写成这个啁啾高斯脉冲

就是m取的

大于1的时候叫超高斯

超高斯脉冲如果无啁啾就令C等于0

这个时候SPM感应出来的啁啾

就等于下面的这个表达式

左边这个图就是相位

随着时间的变化

前面得出来说

这个非线性相移

是跟脉冲的形状是有关的

它跟光强是相同的

因此高斯脉冲长成这个样

它的相移就也是长成这个样的

同样超高斯脉冲

因为上面是有一个平顶的红颜色的曲线

就代表超高斯脉冲的相移

同时可以把它的啁啾求出来

右边这个图是啁啾

蓝颜色的这条曲线是

高斯脉冲的啁啾

红颜色的这条曲线呢是

超高斯脉冲的频率啁啾

从这个图中呢

也可以得到几个结论

就是第一非线性相移在时域中的形状

是与光强是相同的

第二个结论就看这个啁啾

啁啾在脉冲的前沿是负的

在后沿是正的

对于普通的高斯脉冲来说

就是蓝颜色的曲线

在高斯脉冲的中心位置处

它的啁啾是一个线性的曲线

但是它在两边不是

我们关心它在中间这部分

它是一个线性增长的一条曲线

这个为什么在中间比较重要的说

这个因为是一个高斯脉冲

高斯脉冲它的大部分能量是

集中在脉冲的中间部分的

因此

这个中间部分是一个线性啁啾

对于后面的压缩来说是比较容易进行的

但是对于超高斯来说不一样

超高斯脉冲它有一个特征是

在脉冲的中心部分

它的频率啁啾是为零的

因此在中心部分是不能压缩的

但是它在两边就是脉冲的两沿的位置处

这个啁啾很厉害

因此它变动的很大

这个就是

超高斯脉冲和脉冲的

脉冲形状以及频率啁啾的形式

看一下它的频谱的变化

就是啁啾会导致频谱展宽或者是变窄

这个依然是取决于入射脉冲的啁啾方式

如果入射脉冲是无啁啾的

这个自相位调制SPM效应

就总会导致频谱展宽

这是它的结论

这个时候频谱δω等于什么呢

可以求出来展宽因子就是δω

最大值等于mf(m)

除以T0乘上一个φ最大值

m代表超高斯的阶次

其中这个f(m)值呢

是等于这个后面这个方程

它等于后面这个表达式

如果m取1这个f就等于0.86

因此把这个超高斯脉冲的频谱展宽的特性

就可以用下面δωm

得出来就是δω的max

就等于0.86δω0乘上一个φ最大值

因此得到结论说展宽因子

就是频谱的啁啾

或者叫展宽因子

就近似由最大相移来决定的

这样可以看一下这个频谱到底

变成了什么样子

可以把这个脉冲的频谱S(ω)

这个表达式可以写出来

就是把它时间域的谱

给它做傅里叶变换

就变到了频域中的谱S(ω)

把S(ω)给它画出来

就是如果给出来

以横轴的变化值

给了8幅图

8幅图对应不同的最大相移的值

就会发现随着最大相移的逐渐增加

这个它的频谱就会从

一个峰逐渐变成两个峰

最后变成了三个四个峰

就是它变成了一个振荡结构

并且这个振荡结构

两边是峰值比较大的

而中间的这个峰值比较小

另外还有它也有一个规律

大家可以看得到就是在

最大相移等于零的时候

这是入射脉冲

它是一个比较规整的脉冲

当它变到π的时候

就会出现一个小的波动了

就变成了上面有一个小的调制

当最大相移等于1.5π的时候

就分裂出两个峰值

再往前传传到2.5个π的时候

就出现了三个峰

并且两边两个峰比较大

然后再传传到3.5π的时候

就变成了4个峰了

因此这个有几个峰值呢

是跟这个最大相移式有一个规律的

刚才这个是一个理论计算值

实验的结果也给出了一个

相应的结论

就是左边这个图是在脉冲

经过了99米的长光纤以后

它的这个频谱的变化情况

那这个频谱大家看到

跟刚才理论上算出来的频谱

基本上是相同的

不一样的地方是左右有一点不对称

这个是因为实验系统中

可能它有一点不对称造成的

那因此这个图

可以总结出它的特点来

就是这个频谱图

第一它是有振荡结构

第二就是最外面的这个峰

它的强度是比较大的

并且这个峰的个数和这个M

是有一个近似的计算关系

最大相移等于M减去二分之一的π

因此可以数出它的这个峰值的个数来

另外这个无啁啾高斯脉冲

它在频谱展宽

因此可以用下面的这个式子来给出来

看一下脉冲的形状和初始啁啾

对于输出脉冲的影响

先看第一部分初始脉冲

对于它的传输过程的影响

给了两个例子

一个上面那个m等于1

就是高斯脉冲的形状

下面这个图是超高速脉冲的形状

这个里头先考虑初始啁啾都等于0

就是c等于0的情况

看上面那幅图

入射的脉冲

它经过了传输距离之后

高斯脉冲发现

它的频谱就会有一个分裂

而且随着传输的距离增加

频谱展得越来越宽

同时两边的峰值是最大的

这个是高斯脉冲的频谱的变化情况

下面这个图呢是超高斯脉冲的变化

发现超高斯脉冲

它基本上没有怎么分裂

随着这个传输距离的过程

它的脉冲会产生一些旁边的边频

但是主要的部分是没有分裂的

这个主要原因大家还记得说超高斯脉冲

因为它在这个中间部分

它是没有啁啾的

因此中间这部分它

基本上是维持了它的这个传输过程

但是它边上的这一部分

就逐渐的频率在随着传输距离

它逐渐逐渐的扩大最后呢

整个的脉冲携带的能量就会变小

这是初始啁啾对于脉冲的影响

另外看一下呢

这个初始频率啁啾能够

导致了这个脉冲展宽的情况

看一下

如果有C不等于零的情况

一个是C大于0

一个是c小于0的情况

上面那两幅图呢

是第一幅图是

标准图C等于0的时候没有啁啾的时候

如果C是大于0的情况

这个频谱图就变成了

右上角这个图仍然有两边的边锋

但是它中间的振荡结构基本上变得很小了

就有点像后面说的那个猫耳朵形状

在光纤激光器中有一个谱的形状

叫猫耳朵

就有点像这个形状

如果这个系统是一个负啁啾

就是c小于零的话

就给出来下面这两个图

就是一个看到还有一个频谱是

变窄了

这是一个原因

还有一个呢

它的振荡结构也变得不一样了

这个是两个给出来的两个情况

C不同的时候它的频谱的形状不一样

第二个呢

是考虑这个群速度色散等于脉冲的影响

就是如果同时考虑

GVD和SPM效应

会产生什么作用呢

又回到原来的这个非线性薛定谔方程

归一化的非线性薛定谔方程

仍然是里面有两项

等号右边第一项是色散项

第二项是非线性项

这个时候把前面的那个方程

给它进一步归一化

用了个什么归一化呢

用传输距离z

直接z给它变成了z比上LD

给它用色散长度归一化变成ξ

同时这个时间t

变成了T比上T0对初始脉宽归一化

这个方程就变成了

左边就变成i∂U比上∂ξ了

记得这个ξ现在是对LD归一化

右边呢有两项

第一项只跟β二的正负号有关

等于sgnβ2

第二项

出来一个N的平方的项

N平方等于什么呢

N平方等于LD比上LNL

现在大家知道为什么

给了两个特征长度

一个是LD一个是LNL

现在对它们两个做比较

给出一个归一化参数N来

现在讨论N的大小

讨论的是LD和LNL

谁在里头起主要作用

那如果N等于1这个时候呢

就相当于说色散和非线性是共同起作用的

并且它们的份量是相同的

这个时候可以分别求

β2大于0和β2小于0这两种情况

这个方程呢是可以求出解析解来的

如果用分步傅里叶的方法

来给它做这个数值解的话

也可以得到它的一个变化曲线

这个就是在正常色散区

正常色散区就是β2大于0

Β2大于0

并且存在非线性效应的时候

同时我们讨论N等于1的这种情况

N等于1的时候

左边这幅图是

脉冲在这个系统中的演化过程

它随着t的传输过程

脉冲变成了什么样子

大家看到这个图入射脉冲

如果是一个高斯脉冲的话

它在这个系统中传的过程中

就逐渐的被展宽了

这个是它的时域过程

频域过程呢

右边的这个图

是它的频谱的变化过程

发现这个频谱

它初始有一个小的调制

然后到了后面

它基本上频谱就不发生变化了

这个得出来的结论

就是在正常色散区自相位调制

会使得脉冲展宽的速度更快

下一个看一下

如果在反常色散区会怎么样

在反常色散区

依然是给出两个图来

一个是脉冲在时域的演化过程

一个是脉冲在频域的演化过程

左边这个图是在时域的演化过程

这个时候仍然是N取1

β二现在是小于零的

在反常色散区

这个时候大家看这个演化过程

就会发现脉冲它在入射的时候

在前面的传输过程中会有一部分调制

就是它的形状有点发生变化

但是在传输了一定的距离之后

这个脉冲基本上就不发生变化了

就是也不展窄也不展宽

就变成了一个像孤子一样的形式了

右边的这个图呢

就是它的频谱的演化过程

发现频谱也是在被

前面调制了一部分之后

到后面基本上也达到了一个稳态过程

这个就是

在反常色散区GVD和SPM共同作用

的时候产生的一个结果

就使得脉冲的形状基本不变

并且就是如果基本不变

相当于是说没有啁啾了

就等于一个无啁啾的高斯脉冲

因此给它起了一个名字叫做

孤子演变过程

这个里头呢有两种情况

就是如果入射的脉冲为双曲正割的话

并且令C等于0

在这个系统传输的过程中

这个脉冲基本上是保持不变的

如果这个入射脉冲不是双曲正割

它一开始有一个整形过程

整的一定程度之后

基本上整成双曲正割

脉冲基本上也不变了

其实这句话隐含着说

它的解就是一个双曲正割函数

这个为什么负色散和SPM

相互作用会保持孤子不变呢

看一下

后面画出来的这个频率啁啾的这个图

上面这个图是色散导致的频率啁啾

色散导致的频率啁啾是线性的

因此它画出来这幅图呢

是一个直线

如果β2大于0是朝上走的

如果β2小于0是朝下走的

SPM也会导致频率啁啾

这个频率啁啾是下面这幅图

如果只看这个高斯脉冲的啁啾

大家就会发现蓝颜色的曲线

它在脉冲中间这一段

它基本上是线性的朝上走的

就得出结论了

就是如果色散和非线性同时作用

并且这个时候如果β大于0

色散和非线性效应导致的啁啾呢

就是两个朝上走的曲线叠加

因此它的斜率就会更加的快

所以导致脉冲展宽的更快

但是如果色散β2是小于0的

色散曲线是朝下的

这个时候如果色散导致的啁啾朝下

而非线性导致的时候就朝上

这两个一叠加

在某一种情况下

就会导致频率啁啾为零了

这个时候就说脉冲中

它的所有的频谱成分是沿着同一个频率

同一个速度在往前传的

因此它产生的脉冲的波包就是不变的

这个波包就是孤子

这个在后面我们还会讨论一下这个情况