5.4.4 实对称矩阵的对角化在线视频

同学们好 欢迎大家来到我的课堂

本讲我们学习一种特殊的矩阵

实对称矩阵的对角化

我们知道并非所有的方阵都可以对角化

但是实对称矩阵一定可以对角化

下面我们先分析一下实对称矩阵的特征值

与特征向量的性质

实对称矩阵的特征值都是实数

并非所有矩阵的特征值都是实数

比如下面的矩阵

我们计算一下它的特征多项式

λE减A的行列式

等于λ的平方加1

所以A有两个特征值

是i和-i 不是实数

接下来我们来证明定理1

设A的转置等于A

Ax等于λx

x不等于零

我们想证明λ的共轭等于λ

先证明λ的共轭也是A的特征值

因为A是实矩阵

A乘以x的共轭等于A的共轭乘以x的共轭

又等于Ax的共轭 Ax等于λx

所以这个地方又等于λx的共轭

又等于λ的共轭乘以x的共轭

这样就说明

λ的共轭是A的特征值

因A是对称矩阵

所以有 x的共轭的转置

乘以A乘以x等于x共轭的转置

乘以A的转置乘以x

下面分别计算此式的左右两边

左边的式子

我们先算Ax

得到（1）

右边的式子先算x共轭的转置A转置

利用λ的共轭也是A的特征值

得到（2）

（1）式减去（2）式

就会有λ减λ的共轭乘以

x的共轭的转置乘以x等于零

因为x不等于零

所以x共轭的转置乘以x也不等于零

只有λ减λ的共轭 等于0

也就是λ等于λ的共轭

就得出了λ是实数

接下来看实对称矩阵的特征向量

的性质

定理2

实对称矩阵的属于不同特征值的

特征向量彼此正交

我们只证明两个特征向量的情况

设A是一个实对称矩阵

Aα等于λα

Aβ等于μβ

其中λ不等于μ

需要证两向量正交

也就是要证明α转置β等于零

因A是对称矩阵

我们有α转置A转置乘以β

等于α转置A乘以β

接下来我们分别用不同的步骤算

上面式子的左右两边

将式子左边先算α的转置

乘以A的转置

这样就可以得到（1）式

将右边的式子先算

A乘以β得到（2）式

（1）式减（2）式

我们会得到λ减μ

乘以α转置β等于0

λ不等于μ

所以只能α转置乘以β等于零

我们就已经证明了α和β是正交的

所以实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量

彼此正交

接下来我们不加证明地给出下面的有关特征向量的定理

因为证明超纲了

感兴趣的同学可以找数学系的《高等代数》书去查阅

定理3 设A是n阶实对称矩阵

λ的是A的特征方程的k重根

则矩阵λE减A的秩等于n减k

从而矩阵A对应于特征值λ

恰好有k个线性无关的特征向量

根据定理3 实对称矩阵的ri重特征值

λi恰好对应

ri个线性无关的特征向量

所以实对称矩阵一定能相似对角化

进一步 将λi对应的线性无关的特征向量

可以用施密特正交化方法正交化

再单位化

由于不同特征值的特征向量本身就是正交的

所以我们就得到n个两两正交的

单位特征向量

将这些正交单位特征向量作为列构成矩阵Q

Q显然是正交矩阵

而且Q的逆乘A乘Q是对角矩阵Λ

其中Λ对角线上的元素是相应的特征值

这样我们是不是就将实对称矩阵正交对角化了呢

通过刚才的分析

大家应该已经知道实对称矩阵正交对角化的步骤

第一步求出特征值

第二步求出特征向量将其正交化

单位化

这样的特征向量构造出的矩阵就是正交矩阵

因为不同特征值的特征向量本身就是正交的

所以只需要将同一个特征值

对应的特征向量用施密特正交化方法正交化

再单位化即可

第三步

将这些两两正交的单位特征向量

按列拼起来

就得到了正交矩阵Q

那么

Q的转置AQ就是等于

Q的逆AQ 等于Λ

其中Λ中对角线上的元素的排列次序

一定要与Q中列向量排列的次序相对应

这里的A和Q的关系是

Q逆AQ等于Q转置AQ

实际上是下一章

我们要学到的矩阵之间的第三种关系 合同

例1

设A是一个3阶方阵 求正交矩阵P

使得P的逆AP为对角矩阵

换句话说

就是要将A正交对角化

首先

我们需要算出特征值

解特征方程λE减A的行列式等于零

我们可以得到特征值是-2和7

对λ1等于-2

求解线性方程组-2E减A

括起来x等于零

将系数矩阵化简

解得线性无关的特征向量

α1等于（2 1 2）

只有一个

我们只需要将其单位化

α1除以α1的长度

令它等于η1

对于7这个特征值同样解线性方程组

（7E-A)x等于零

得线性无关的特征向量α2和α3

我们就需要将其正交化

再单位化

令β2等于α2

β3等于α3减去β2的倍数

然后将β2 β3分别除以它们的长度

得到η2 η3

η1 η2 η3 就是一组单位正交向量组

我们将其作为列构成矩阵P

P的逆AP 对角线上的元素就是-2 7 7

这里要注意的是

η1 是-2对应的特征向量

η2是7对应的特征向量

η3也是7对应的特征向量

例2

设三阶实对称矩阵A的特征值是1 2 3

对应于特征值1 2的特征向量分别为

α1和α2

第一问 求对应于特征值3的特征向量

第二问 求矩阵A

设对应于特征值3的特征向量为α3

由于实对称矩阵的对应

于不同特征值的特征向量

彼此正交

我们就会有α1和α3

内积等于0

α2和α3内积 也等于0

这样就会得到一个线性方程组

解这个线性方程组 得基础解系

是（1 0 1）

对于特征值3的特征向量就是k乘以（1 0 1）

其中k是不等于零的任意常数

第二问

我们要构造矩阵P

由α1 α2 α3 三个向量分别作为列

构造矩阵P 可以求出P的逆是这样一个矩阵

因为P的逆AP等于Λ

Λ是对角线上是1 2 3的矩阵

所以A等于P乘Λ乘以P的逆

代入就可以得到A是

这样一个矩阵

这时我们就已经算出了A

本节课我们学习了实对称矩阵的性质

以及实对称矩阵对角化的步骤

本讲到此结束

同学们再见