当前课程知识点：微积分I > 第四章 中值定理与导数的应用 > 4.1 中值定理 > 4.1.5 拉格朗日中值定理的应用
同学们好
上次我们学习了
拉格朗日中值定理
今天我们来学习
拉格朗日中值定理的两个应用
第一个
我们要学习定理的两个推论
以及推论在证明恒等式方面的应用
第二个
我们要学习拉格朗日中值定理
在证明不等式方面的应用
下面我们先学习第一个应用
首先看定理的一个推论
推论1
如果在(a,b)内恒有f'(x)=0
则f(x)在(a,b)内为一常数
前面我们在学习导数的时候
知道常值函数的导数恒为零
现在这个推论是这个问题的逆命题
也就是说
导数恒为零的函数一定为常值函数
这样一来
上述推论也可以进一步写成
在开区间(a,b)内函数恒为常数的充分且必要条件为
该函数的导数恒为零
下面我们利用拉格朗日中值定理来证明一下这个推论
在(a,b)内
任取两点x₁ x₂
x₁ < x₂
在[x₁ , x₂] 内 对f(x)使用拉格朗日定理
则f(x₂)-f(x₁)=f'(ξ)·(x₂-x₁)
x₁ < ξ < x₂
因为f'(ξ)=0
所以f(x₂)-f(x₁)=0
即f(x₂)=f(x₁)
由x₁ x₂的任意性可知
f(x)为常数 x∈(a,b)
由推论1很容易得到下面的推论2
如果f(x)和g(x)在(a,b)内可导
且在(a,b)内恒有f'(x)=g'(x)
则在(a,b)内
f(x)和g(x)最多相差一个常数
利用推论1很容易证明这个结论
做辅助函数φ(x)=f(x)-g(x)
则φ'(x)= f'(x)-g'(x)=0
由推论1知φ(x)=f(x)-g(x)=C
这样就证明了推论2
推论2告诉我们具有相同导数的两个函数至多相差一个常数
这个结论我们后面在学习不定积分的时候要用到
下面我们通过例子来学习
上述推论的应用
先看例1
证明恒等式arcsinx+arccosx≡π/2
x∈[-1,1]
从题目的结论看
就是需要证明等式左边的函数
为一个常值函数
且这个常值为π/2
根据上面的推论
只需要证明左边函数的导数恒为零即可
下面我们来求左边函数的导数
f(x)=arcsinx+arccosx
f'(x)=(arcsinx)'+(arccosx)'
等于1/[√(1-x²)]-1/[√(1-x²)]=0
所以有arcsinx+arccosx=C
而f(0)=π/2
且f(-1)=f(1)=π/2
故f(x)≡π/2 x∈[-1,1]
类似可得
arctanx+arccotx≡π/2 x∈R
下面我们再看例2
若f(x)在(-∞,+∞)内恒有f'(x)=f(x)
且f(0)=1
则f(x)=eˣ
从题目的结论来看
似乎无法利用推论
但是我们把这个结论变个形
就可以利用推论了
我们把结论变形为
f(x)/eˣ=1
这样只需要证明函数f(x)/eˣ
为常值函数 1 就可以了
为此
令F(x)=f(x)/eˣ
则由导数的四则运算性质知
F(x)在(-∞,+∞)内可导
又因为F'(x)=[f'(x)·eˣ-f(x)·eˣ]/e²ˣ=0
故由推论知
F(x)=C
又因为F(0)=f(0)/e⁰=1
所以C=1
从而f(x)=eˣ
这个题目比较有意思
我们知道指数函数eˣ的导数等于自己
而且到现在我们知道导数等于自己的函数
除了0和eˣ外
并没有发现还有其他的函数具有这个性质
而这个题目就一定程度上回答了这个问题
在满足f(0)=1这个初始条件下
导数等于自己的函数只有指数函数eˣ
下面我们再来学习拉格朗日中值定理的另外一个应用
在证明不等式方面的应用
看例3
证明1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a
0＜a＜b
从题目的表达式来看
中间部分就是对数函数
在闭区间[a,b]上的拉格朗日中值定理的形式
因此
令f(x)=lnx
在[a,b]上利用拉格朗日定理
我们可以得到
f'(ξ)=1/ξ=(lnb-lna)/(b-a)
又因为a＜ξ＜b
所以有1/b＜1/ξ＜1/a
由上面式子
即得1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a
由这个例子
我们可以看出
利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法
是用定理的结论给出函数增量的一个等价表达式
再利用这个等价的表达式与其他量作比较
从而得到要证明的不等式
具体到这个题目
就是利用拉格朗日中值定理
给出表达式(lnb-lna)/(b-a)的一个等价表达式1/ξ
再用1/ξ与1/a和1/b作比较
得到要证明的不等式
同学们注意掌握这个方法
下面我们再看例4
证明当x>0时
x/(1+x)＜ln(1+x)＜x
如果要应用拉格朗日中值定理
需要确定两个要素
一个是函数
一个是区间
首先 我们发现
这个表达式中的主体函数为对数函数ln(1+x)
其次
由x>0这个条件
我们可以试着确定区间为 [0,x]
为此
设f(t)=ln(1+t)
可以看出
f(t)在 [0,x] 上满足拉格朗日定理的条件
我们先利用拉格朗日中值定理求函数在区间上的差
因为 f(x)- f(0)= f'(ξ)·(x-0)
0＜ξ＜x
因为f(0)=0 f'(x)=1/(1+x)
由上面的式子可以得到ln(1+x)=x/(1+ξ)
又因为0＜ξ＜x
所以有1<1+ξ<1+x
得到1/(1+x)<1/(1+ξ)<1
从而有x/(1+x) 即得x/(1+x) 再看下面一个例子 对任意的实数x y 证明|sinx-siny|≤|x-y| 可以看出这个题目的主体函数为正弦函数sinx 区间显然应该为[x,y] 这样我们不妨设x 和前面例题一样 我们先利用拉格朗日中值定理求正弦函数在区间[x,y]上的差 在[x,y]上利用拉格朗日定理 存在ξ∈(x,y) 使 sinx-siny=cosξ·(x-y) 而|cosξ|≤1 故Isinx-sinyI≤|x-y| 这样就完成了证明 在上式中令y=0 我们可以得到一个常用不等式 |sinx|≤|x| 其中x为任意实数 用类似方法 我们可以证明 对任意的实数x y |arctanx-arctany|≤|x-y| 这个留作课后思考题 大家下去做一做 最后我们做个小结 今天讲了两点 (1) 推论用来证明恒等式 (2) 定理用来证明不等式 今天就讲到这里 谢谢
-1.1 预备知识
--1.1.2本节作业
-1.2 函数的概念
--1.2.2 本节作业
-1.3 函数的基本特性
--1.3.2 本节作业
-1.4 反函数与复合函数
--1.4.2 本节作业
-1.5 基本初等函数与初等函数
--1.5.2 本节作业
-1.6 经济学中几个常见的函数
--1.6.2 本节作业
-第一章单元练习
--习题训练
-2.1 数列的极限
--2.1.3 本节作业
-2.2 函数的极限
--课堂思考
--2.2.4 本节作业
-2.3 无穷小量与无穷大量
--课堂思考
--2.3.4 本节作业
-2.4 极限的性质
--课堂思考
--2.4.4 本节作业
-2.5 两个重要极限
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--2.5.9 本节作业
-2.6 函数的连续性
--课堂思考
--2.6.6 本节作业
-第二章单元练习
--习题训练
-3.1 导数的概念
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--3.1.7 本节作业
-3.2 求导法则
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--课堂思考（三）
--3.2.8 本节作业
-3.3 高阶导数
--3.3.3 本节作业
-3.4 函数的微分
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--3.4.8本节作业
-3.5 导数与微分的简单应用
--3.5.4本节作业
-第三章单元练习
--习题训练
-4.1 中值定理
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--4.1.7 本节作业
-4.2 洛必达法则
--课堂思考
--4.2.4 本节作业
-4.3 函数的单调性与极值
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--4.3.5 本节作业
-4.4 函数的最值及应用
--4.4.3 本节作业
-4.5 函数曲线的凹凸性与拐点
--课堂思考
--4.5.4 本节作业
-4.6 函数的微分法作图
--课堂思考
--4.6.5 本节作业
-第四章单元练习
--习题训练
-5.1 不定积分的概念与性质
--5.1.4 本节作业
-5.2 换元积分法
--课堂思考（一）
--课堂思考（二）
--5.2.5 本节作业
-5.3 分部积分法
--课堂思考
--5.3.2 本节作业
-5.4 有理函数的积分
--5.4.3 本节作业
-第五章单元练习
--习题训练
