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video课程教案、知识点、字幕

今天我们将要学习的是微分方程

我们将主要介绍只有一个变量的常微分方程

初始值问题的

数值求解方法

首先，我们来考虑下面的问题

在常微分方程中

存在只给定初始值

initial value的问题

如果说方程的解析解无法求出

我们来考虑一下

用数值方法求方程的近似解的问题

我们先来看最简单的

一阶常微分方程

当然也是初始值问题

因为是一阶问题，所以要进行一次微分

等式右边是关于x和y的函数f(x,y)

令初始值等于y0

大家知道我们的最终目标是什么吧

在像是工业数学这样的微分方程课上

大家应该已经学习了利用变量分离法对这种形式的方程的求解

这样的方程有很多不同的叫法，

大家也已经学习了求解的方法

虽然这是我们最终的目标

但是如果说方程有解

那么我们还需要从数学上来证明

解是不是真的存在

解是存在的吗

又或者说方程可能不只是存在一个解

也可能存在其他的解

我们还需要检验解的唯一性

如果这些都得到了证明

最后我们要做的

也就是我们的目标是求出方程的解

大家在微分方程课上或者是工业数学课上

学习的是

求方程的解析解

但是，如果解析解无法求出的话该怎么做呢

这时就需要

求方程的数值解

这也是我们今天这节数值分析课上

要学习的内容

我们先来看看与1和2相关的定理

也就是大家熟知的

存在性和唯一性定理

大家还记得吗

我们来看一下

首先需要假设成立的条件是

存在一个这样的定义域

(x,y)是定义域中的一个点

我们先考虑最简单的情形

y介于c和d中间

然后，我们已知的函数f(x,y)需要满足

在定义域D上是连续的

我们不说它是可导的而说它是连续的

连续性这个性质有什么用呢

在求解的时候需要进行积分

而连续函数是可积分函数

所以如果满足这个条件

则可以充分保证函数的可积分性质

在这里我们再条件几个条件

假设函数f 在我们给出的定义域上

关于变量y

满足Lipschitz条件

我们先来回顾一下什么是Lipschitz条件

我们先来回顾一下什么是Lipschitz条件

什么是 lipschitz 条件呢

因为是关于y满足 lipschitz 条件

所以f(x,y1)减去f(x,y2)的差的绝对值

总是小于或者等于

y1减去y2的差的绝对值

这就是Lipschitz条件

所以，如果满足这个条件的话

我们可以推出什么结论呢

这时我们所考虑的一阶常微分方程

f(x，y)， x介于上面定义的a和b中间

还有初始值

因为x的值从a开始，所以令初始值为y(a)，记为y0

这个具有初始值的微分方程

对属于区间[a,b]上的x

存在唯一解y(x)

如果函数f(x,y)是连续的

并且满足Lipschitz条件，则解总是存在唯一的

那么我们的目标是什么呢

就是如何求出方程的唯一解

现在，我们看一下如何求方程解

Numerical Analysis课程列表：

[Week 1] 数值分析简介（수치해석학의 소개）

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] 前言（들어가는 말）

-3. [Lecture] What is Mathematics?

-4. [Lecture] What is Numerical Analysis?

-5. [Lecture] 数值分析的领域（수치해석의 영역）

-6. [Activity] QUIZ

[Week 2] 非线性方程式（비선형 방정식）

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Introduction & Bisection Method

-3. [Lecture] Fixed Point Iteration

-4. [Lecture] Newton's Method

-5. [Activity] QUIZ

[Week 3] Error Analysis

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Introduction & Bisection Method

-3. [Lecture] Fixed Point Iteration

-4. [Lecture] Newton's Method

-5. [Activity] QUIZ

[Week 4] Interpolation

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Introduction & Lagrange Polynomial

-3. [Lecture] Divided Difference

-4. [Lecture] Binomial Theorem

-5. [Lecture] Spline

-6. [Activity] QUIZ

[Week 5] 积分，微分（적분, 미분）

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] 积分，微分简介（적분, 미분 소개）

-3. [Lecture] Newton Cotes Formula

-4. [Lecture] Simpson's Rule

-5. [Activity] QUIZ

[Week 6] Linear Algebra

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Polynomial Version

-3. [Lecture] Matrix Version (Gauss Elimination)

-4. [Lecture] Numerical Version

-5. [Lecture] Determinant

-6. [Lecture] Example

-7. [Activity] QUIZ

[Week 7] LU Factorization

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] LU Factorization

-3. [Lecture] 计算方法（계산법）

-4. [Lecture] Existence and Uniqueness

-5. [Lecture] Cholesky Factorization

-6. [Activity] QUIZ

[期中考试（중간고사）]

-期中考试（중간고사）

[Week 8] QR Factorization

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Proof

-3. [Lecture] Gram-Schmidt Process

-4. [Lecture] Example

-5. [Lecture] Matrix Norms

-6. [Activity] QUIZ

[Week 9] Iterative Method

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Jacobi Iterative Method

-3. [Lecture] Gauss Seidel Iterative Method

-4. [Lecture] Convergence Theorem

-5. [Lecture] Example

-6. [Activity] QUIZ

[Week 10] Positive Definite

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Definition

-3. [Lecture] Theorem & Example 1

-4. [Lecture] Theorem & Example 2

-5. [Lecture] Theorem & Example 3

-6. [Lecture] Theorem & Example 4

-7. [Activity] QUIZ

[Week 11] Ordinary Differential Equation

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] First Order Equation

-3. [Lecture] Euler's Method

-4. [Lecture] Error Analysis

-5. [Lecture] Euler Method

-6. [Activity] QUIZ

[Week 12] Runge-Kutta Methods

-1. [Warming up]

-1. [Lecture] Introduction

-2. [Lecture] n-th Runge-Kutta Methods

-3. [Lecture] Multi Step Method

-4. [Lecture] Explicit

-5. [Lecture] Example

-QUIZ

[Week 13] O.D.E. and P.D.E.

-1. [Warming up]

-2. [Lecture] Boundary Value Problem With O.D.E.

-3. [Lecture] Partial Differential Equations

-4. [Activity] QUIZ

[期末考试（기말고사]

-期末考试（기말고사)

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