当前课程知识点：Numerical Analysis > [Week 12] Runge-Kutta Methods > 4. [Lecture] Explicit > video
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让我们先从简单的explicit的情形开始寻找
把 explicit 的方法写一下
我们要考虑所有已知的点
都有哪些点呢
（ti,f(ti,y(ti))）, 一直到点
（ti,f(ti,y(ti))）, 一直到点
(ti+1-m, f(ti+1-m, y(ti+1-m)))
现在开始寻找多项式
因为知道这些点,所以可以找到一个这样的多项式
an interpolate polynomial
这就是我们要找的多项式
因为有m个点
所以多项式的次数为m-1
大家还记得求这样的多项式的方法吗
有很多种方法，
我们来看其中的一个
我们回顾一下
之前学过的多项式插值问题
如果要找一个这样的近似多项式
要使用什么方法呢
我们回顾一下之前学习的内容
这里还要加上
函数f在 点(ξi,y(ξi))处的m阶导数值
这里还需要找到 ξi这一点
当然，一般来说是不知道 ξi的值的，所以我们也没法找到恰好匹配的多项式
还要乘以(t-ti)这些项
一直乘到（t-ti+1-m）
根据这个理论,我们要用这个来代替这个积分
那么我们就需要找到这个多项式
我们将使用这个方法
大家还记得牛顿法吗
我们使用向后差分公式
听到名字后大家就记起来了吧
我们来写一下它的表达式
f[xn,xn-1,…,xn-k]等于什么呢
简单表示的话，等于
分母为k!乘以h的k次方，乘以△^k f(tn)
我们直接应用这个表达式
因为这两个表达式相同
现在我们求函数f(t,y(t))从ti到ti+1的积分， 因为我们不知道原函数
所以我们不直接进行积分，而是
对这两部分进行积分
那么，利用牛顿向后差分公式
求出的多项式的表达式
大家可以回顾一下之前的内容
或者是在网上搜索或者是不同的课本中
查看牛顿向后差分公式
就会找到利用这些点求某一函数的插值多项式
的各种公式的介绍
我们直接把那个公式写出来
Sigma（求和公式）k=0开始到m-1，然后是-1的k次方
这里面分别是-s和k
这里代入我们推出的牛顿向后差分公式
f(ti,y(ti))dt
后面的项是从ti到ti+1, 把这一项放到这里就可以
这就是我们的方法
那么我们需要来简化一下这个公式
我们来试试
现在，我们并不清楚能否得到一个漂亮的公式
现在我们利用一些数学上的性质
来简化一下这个公式
首先，来做一下变数变换
令t等于ti+sh
那么可以得到 dt=hds
当然，这里和我们之前讲的一样
h等于区间的长度
除以N，这里N是把区间分割成的小区间的个数
这样的话，Sigma（求和符号） k=0到m-1
使用牛顿向后差分公式
可以写成这样
f(ti,y(ti))，再乘以h乘以-1的k次方
这里我们进行了变量转换，所以这里所有的变量都发生了改变
这一项不含s，所以放在积分号外面
剩下的是和s相关的项
dt变为hds, 所有的变量都进行了替换
后面的项也是一样的
后面的项为 m！分之h的m+1次方
积分区间由ti到ti+1变为了0到1
由于进行了变量变换
后边的项变为这样
乘以函数f在点(ξi, y(ξi))的m阶导数值
现在我们得到了这个公式，关键点这一项
我们来计算一下这一项的值
当然,根据这个值符号会不同
我们把它们放在一起来看一下
所以有 -1的k次方，从0到1，-s,k,ds
我们分几种情况看一下
如果k等于3，就变成了 –s和3的， ds
根据二项式定理系数的定义，我们来写一下
从0到1进行积分，积分函数的分子为(-s)(-s-1)(-s-2)，分母是1, 2, 3
这个值是多少呢?
经过计算是3/8
由此我们可以说
当k为0，1，2，3等数字时，我们可以求出对应的值
分别为1，½，10 ， 3/8 等
所以根据这些值,我们可以求出这些系数
现在还剩后面这一项的值
这里我们可以使用
牛顿法进行整理
现在已经到最后了，大家理解这个方法了吗
现在我们继续后面的内容
从ti到ti+1进行积分，现在重新计算一下
f(t,y(t))dt， 我们知道它等于h乘以
f(ti,y(ti))
加上1/2乘以第一个差分 f(ti,y(ti)）
下面一项的系数是什么呢?是5/12
乘以二阶差分f(ti,y(ti))
一直加到最后一项
对于这一部分，大家还记得我经常说的话吗
大家在学微积分的
数学系的同学在2年级的时候学习过数学分析的基本内容
如果积分里面含有求导的部分
或者出现与求导有关的公式时,通过进行简单的变换
可以很容易计算
起决定性作用的是什么呢?
还记得吗？是平均值定理。 即 mean value theorem。
所以，这里我们也可以使用 mean value theorem
但是不是我们熟知的 mean value theorem
而是比 mean value theorem更进一步的
加权平均值定理(weighted mean value theorem)
那我在这里简单介绍一下 weighted mean value theorem
大家可能学习过加权平均值定理了
我们看一下关于积分（integral）的加权平均值定理
是这样的
如果对函数f(x)g(x)从a到b求积分
它等于f(c)乘以函数g(x)从a到b的积分值
c是 区间[a,b]中的某一点
当然这里要附加几个条件
所以大家要好好检查一下需要哪些条件
这里我们留一个问题给大家，要得到定理的结论
g(x) 需要满足什么条件呢?
但是从这里可以看到
如果g(x)等于1的话
这就是关于积分的平均值定理
而这里正好有两个函数
因为对函数f进行积分非常难，所以我们可以
利用 weighted mean value theorem for integrals
把积分函数拿到积分号的外面。大家可以理解吗
那么,如果移到积分号外面，得到什么呢？
函数f在某一点的m阶导数值
我们假设这一点是(ui,y(ui))
然后乘以 h的m+1次方除以 m！
那么积分符号里面还剩下那些项呢
剩下的是二项式定理的系数
积分区间为从1到1
-s和m的组合数，ds, 这是我们刚刚求过的积分
现在只对那一项进行积分就可以完成我们的计算
所以，我们要求的这个积分通过这些计算
可以表示为这一项和这一项的和
经过这些讨论之后，由此我们需要做什么呢
要确定m。 如果m等于3，如何进行这些计算呢
我们 来计算其中的一个看看
我们需要的内容就是这个和这个
所以我们留下这个公式, 把其他的全部去掉
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