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Reinhart Poprawe教授

激光技术有限公司主席 亚琛工业大学

这节课我们将讨论激光束的特性

大家可能认为 它是一束非常直的散射激光

它的特征就是散度和大小没有变化

此外 我们对垂直于其传播方向的强度分布一无所知

在这节课之后 大家会得到这些问题的答案 这就是本节课的目的

首先 我想介绍这节课的两个重点

第一点是高斯光束的定义和偏移

第二点是传播 瑞利长度和远场特性

我们可以通过很多方法推导出高斯光束

实际上 这是一个我们可以求解并得到高斯光束的谐振腔问题的本征解

在这节课中 这是难点

我们将从一个很现象学的冲突点推导出来 我一会儿给大家看一下

大家考虑一下平面波 在学校时我们重点学过平面波

我们会得到一个焦点 理论上讲 这个焦点很小

事实上 它的大小几乎为零

现在 如果我们看一下这个 最后我们会得到这样一个的事实

我们从光束的某一功率开始 聚焦该激光束

然后焦点处会发生什么呢

理论上说 光束的横截面积会趋于零

这就意味着强度会趋于无穷

所以 这个理论肯定不适用于真实的激光束

因为我们知道一束激光的强度不可能是无穷大的

为了说明激光束聚焦的真实行为 我们准备了一个小实验

大家看到的是一个焦透镜

接下来 我们看到一束刚射出的激光

你可以看到这里的光束分布

现在我们发送这个激光束

通过透镜看一下 当我们聚焦时 光束如何变化

乍一看 真没有什么重要变化

但是如果继续看 当然 我们看到了聚焦效果

现在这个点变得越来越小 现在就是这样

那么 发生什么了呢?

应该是0的 但它不是

不 不是0 它变大了

所以 一开始时光束会聚集

然后 我们得到一个最小的聚焦区域

然后 沿着光轴有一个发散的相位

所以 通过这个实验 现在我们知道

如果我们从一束可能不是零散度 但或多或少平行的激光束开始

如果我们聚焦它 通过实验我们观察到它不会趋于零

所以 就这个焦点来说 我们没有违反这种无限强度的冲突点

而现实表明 在某一点上我们得到了某种最小的束腰

当然 这就是焦点的中点

在那里 束腰是以最小的尺寸

如果我们看得更仔细 并分析我们刚刚所做实验的一些测量数据

那么你就可以测量我们所说的焦散曲线

因此 这是焦点最小尺寸，激光束辐射的汇聚和发散现象

如果你看右边，你甚至可以看到光束上的分布强度

它看起来像一个典型的钟形峡谷分布

虽然大家已经看了 但还不是很清楚

但是已经明白为什么我们叫它高斯光束

因为垂直于传播轴方向上的强度分布是高斯光束剖面

如果你仔细观察这个焦点的传播

你会看到它沿传播方向的运动强度

这是一个极慢的动作

因为它在这里出现了一秒钟 实际上它可能发生在一飞秒内

所以慢动作的比例是10的15次方

所以 这是真正的慢动作

如果我们观察这个激光束的边界

我们会发现这个高斯光束的剖面在远场中或多或少是线性的

在中心 我们有平行面 线性相位面只是为了对称

如果我们再看一下垂直于传播方向的分布

这个亮度是一个典型的高斯光束剖面

其尺寸为大小平方的指数函数

如果你看一下光束焦点强度的时间平均分布

在这里 你可以看到相应的点

所以最大强度当然是在光束中心

也就意味着是在光束分布的焦点和中心

现在 如果你看一下这些特征相应的定量描述

亮度是由高斯光束分布形成的

也就是典型的R2/W指数函数 W(是束腰)的平方

如果我们看一下束腰的传播方向

也就是第二个方程

在这里 你可以让Z = 0 然后得到W = W 0

所以 源点中心的束腰是W(0)

垂直传播光束F的相位面

远场的最大值为Z值 我们可以忽视根源

所以我们将得到一定比例的束腰

沿光轴的坐标传播

那么 在远场中我们会有球面波

在这两种情况间 有一个非常重要的极限

线性相位前沿和径向球面相位前沿之间叫做瑞利长度

ZR的瑞利长度定义为PI W(0)2 /λ

如果你看到它恰好是几何交叉

在相位前面的线性行为与表面的球性行为之间

你可以简单对它进行构建 设计

通过最小束腰 画出平行于光轴的平行线

另一方面 看这条线与远场发散极限的这条线交叉

如果你再看看这个跨越 这就是瑞利长度的确切位置

然后你可以看到 发散角θ是W (0) W (0)/ ZR /瑞利长度

事实上 也就是它的调谐

但如果是小角度 我们可以忽略调谐

这就是我们稍后需要进一步分析的关系

所以矛盾又是 从或多或少线性相位前沿到或多或少径向相位前沿的变化

解决办法就是 我们得到两种情况的软交叉

我们该如何进行描述

如果我们看到在径向几何中 波方程的解是以一个非常简单的形式

我们就知道我们可以得到这些径向对称波

这是一个非常简单的解

这是波动方程 现在它还没用

我们需要添加一些东西来介绍高斯光束

在这里显示

它被称为近似慢变包层

所以 如果我们再次启用波动方程

但现在不使用径向波的拟设

但使用有U包层的X Y和Z产品的拟设

经典指数以及右边的IKZ指数就是

我所猜想的U仅代表U对包层来说就是个包层或者说字母 用来结束不解自明的东西

所以 我们得到了真正的振荡波

我们有一个包层是最大波和最小波的结合

现在 慢变包层近似告诉我们

从一个包层等式值到下一个波长值的变化

相比于包层解部分的绝对值 变化是非常小的

所以 我们得到一个慢变包层对应数学上波的两个极大值

展示在这里

如果我们把这个拟设带进方程 相乘

我们得到一个因数

包层偏差对应Z 而忽视了包层本身的值

这叫做旁轴波方程

如果我们忽略这一项 我们就得到了这个更简单的关系

如果我们进一步研究这个波方程拟设解 我们就得到了高斯光束

在这里 我们有一个变得更简单的小技巧

我们引入一个复杂的波束参数Q

它就是线性坐标Z和瑞利长度复杂部分的乘积

我认为瑞利长度的意义已经很清楚了

作为从线性情况到径向情况转变极限的极值

这很简单方便 并且可以使用非常简单的数学运算

事实上的结果是 我们可以在这个拟设中描述平面声波

在这个解决方案中 简单的高斯强度分布垂直于传播轴

在高Zs的极限下 大Z除以瑞利长度

那么 我们就得到了解决方案的径向部分

所以 这个慢变包层解是一个组合

它允许我们描述光束焦点中的线性相位前沿

同时也可以描述远场中的径向行为

所以 总结一下这部分

高斯光束实际上是聚焦中用于线性相位前沿的一个波动方程解

和另一个远场相位前沿径向解的结合

我们都集成在一个方程的一个解中

为了能返回到那个解决方案的一些更详细的特征处 这是个低变包层

在这里你可以看到方程 电场的解方程

在振幅因子和相位因子中分为实部和虚部

因此 现在我们可以很容易地识别出该方程中的相关项

大家已经知道 根据光学位置的依赖性 束腰的特性是

沿相位前沿的半径光轴 此处我们待会再进行讨论

这也是一个很简单的方程

我们有两个表达式 分别用于横截面和纵截面

所以更详细一点 在这里你可以看到它是沿光轴Z传播的

正如预期 光束的高斯形状的相对分布不随传播而变化

它仍然是一个高斯光束

然而 正如大家所期望的那样 它变成了大腰 并且在中心处更集中了

所以束腰在远场上与光轴坐标成线性

如果你观察散度 我们会观察到一些类似的行为

当然 一开始时在垂直相位前沿的这一对称点上 散度是零

还有远场 在极限情况下 我们得到了远场角θ

如果对它进行计算 这只是束腰与瑞利长度的比值

正如你在这个设计中再次看到的 如果你看这个三角形

然后你使用Signus定律

那么束腰与瑞利长度的比值就是这个远场散度角的切线

现在 这就是一个相位前沿半径变化的例子

别忘了 之前这个公式是有特点的

如果你看看波前半径行为

这是R值的均匀发散

因为半径是无限的 它仅仅是平行的 是线性的

然后在瑞利长度的位置 它减少到最低点

这是瑞利长度的标准化 所以1 Z = 0

所以 在瑞利长度下 我们得到一个最小束腰

然后光束相位前沿半径再次随着Z的增加而增大

直到与坐标本身成比例的极限

对于束腰 我们已经在这写了这个公式

随着Zs的减小 随着Z值的增大 它会减小

正如我们所讨论的 它是线性可伸缩的

总结一下这幅图 再次展示了高斯光束的整体行为

现在 它作为下一节共振器的衔接桥梁

大家可以看到 我们画了两面镜子 以及这些镜子的半径

现在 在高斯光束这个位置的相位前沿 完美地匹配了对应半径

所以 就一束高斯光束来说 我们很清楚如何对它进行设计

通过在相应的位置Z上放置相应曲率的镜子

然后我们会自动过滤这种模式下的无数可能的模式

它可以从激光开始 到最后 还能有一点剩余

当然你可以用这种结构设计这个共振器和这个高斯光束

但是 我也可以在不同的位置使用半径较小的激光镜

这就得到了完全相同的高斯光束

所以 通过一个相应的共振器 我有不同的机会选择这个模式

总结一下 我们该如何描述激光束

答案很简单 用高斯光束

为什么?

因为它将焦点内无限强度的困境与有限束腰相结合

在传播轴上 有限的最小束腰有一个恒定的散度表现