当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 4、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 2 > 4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics > Video 4.2
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下面我们针对简单的栏杆问题
给出完整的弹性力学的求解
实际上这个拉杆问题呢
材料力学，大家都可以直接给出相应的解
那么我们用前面建立的三大类变量
三大类方程，还有两类边界条件
来完整的处理一下这么简单的拉杆问题
我们所列出来的三大类变量
我们看看二维问题u、v、σ三个量
应变也是三个量
三大类方程平衡方程、几何方程、物理方程
还有两类边界条件
由于这是一个一维问题
也就是说它的自变量是x
我们所有的变化都是只沿着x
沿着y、沿着z我们都不考虑
那这样我们就把所有沿着y方向的这些变量
全部给它去掉
那这样我们位移的变量就剩下前面x方向的分量
而且这里面的自变量还只留下x
应力的分量的话也只留下σxx
那应变的分量也只留下εxx
同时它也只关于x变化
那么方程呢也是
y方向的这个平衡方程也去掉
同样在关于x的方程里面呢
关于y方向的增量偏导也没有
假定体积力也不考虑
那么我们就剩下这么一个方程
那么在几何方程里面一样
只剩下εxx
因为关于y方向的相对伸长量还有夹角的变化都没有
这个都可以去掉
物理方程也一样
关于y方向的伸长的物理方程
还有夹角变化的物理方程，也都去掉
在x方向的物理方程里面
由于y方向应力引起的泊松效应
这个地方也没有
因为是一维问题，那个方向没有力
两类边界条件也是这样的
位移的边界条件也是y方向没有边界条件
只有x方向
在应力，在力的边界条件一样
y方向这个方程也没有
那么在y方向的剪切，这个地方也没有
那这样的话我们就可以得到一维问题的基本变量
就三个，ux，应力呢是σxx
那σxx我们前面说到了
在两个下标相同的情况下
我们往往可以只写一个σx，εx，这是应变的
同样三大类方程的平衡方程
我们就得到了一个
因为它是一维问题了，就没有偏导了
那就是[方程]
几何方程，还有物理方程
那么同样，得到的位移边界条件
我们左端点固定
就是说x等于0的时候这个位移是等于0的
力的边界条件是在右边
就x等于l的时候，这个应力等于外力，合力
除上一个相应横截面的面积
实际上也是要等于一个分布力
那么对于1D问题的三个基本方程进行求解
那么这个很容易求解
我们就可以得到σx应力要等于一个常数
应变呢也要等于一个常数除上一个E
位移呢也是等于前面一个系数乘上x再加上c1
那么这三个量的解呢我们可以看出
这里面有两个待定系数
一个是c，还有一个是c1
这两个待定系数由边界条件来确定
边界条件一个是左端点固定，位移边界条件
还有一个就是右边是满足外力作用的一个平衡关系
这样我们就得到三个变量
也是关于应力、应变还有位移的这么一个函数关系
那么同样，我们可以用材料力学来直接进行求解
那材料力学就是把整个对象拿来进行分析
由于它是一个等截面的均匀的这么一个拉杆
受右端的拉力
那么材料力学我们先做一个平面假定
也就是假定这个应力是均匀的
那这样的话，每个截面，它的应力也是均匀的
就等于外力除上一个横截面的面积
再由虎克定理，一维的虎克定理算出应变
然后再计算右端的伸长量
也就是把应变乘上一个杆的长度l
那么我们就可以得到右边的伸长量
那么我们比较一下材料力学按经验方法直接得到的结果
和我们上面按照弹性力学严格得按照三大类变量
三大类方程进行求解得出来的这个结果
我们进行对照，我们可以发现
第一呢，这个应力和应变这个结果完全一样
但是我们的表达呢在应力应变这个角度
弹性力学的解是一个分布
也就是说是关于x函数的这么一个分布
同时呢，这个位移呢也是一个分布
那只不过这个应力和应变它是均匀的
它是不随着x变化而已
那么位移呢它是随着x线性变化
那么材料力学得到的这个结果只是右端点它的伸长量
那么如果我们把弹性力学的位移场x取为右端点
也就是说令x等于l
那这个时候得到的右端点的伸长量
就正好和材料力学得到的右端点的伸长量是一样的
那么我们通过这个比较可以看出来
解析方法的求解过程非常严谨
而且得到的这些力学变量呢它是场变量
关于变形体内部任意一点是它的函数
第二个呢是经验公式
或者我们材料力学的求解比较简单
但是要进行一些事先的假定
比如均匀性假定
往往只能得到一些特定位置的力学变量
当然这些方法只能针对一些比较简单的一些情况
比如拉杆啊，还有扭杆啊
像这种简单形状，才能进行求解
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
