当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 4、Mechanical description of deformed bodies with complex geometry 2 > 4.4 Complete description of 3D elastic problem > Video 4.4
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下面针对三维问题也就是空间问题
给出完整的弹性力学的描述
前面提到了我们在处理复杂几何形状
核心问题有两个
一个呢就是要进行内部的描述
一个呢要进行外部的描述，也就是边界条件
同样呢我们对三维问题，从内部取出一个微元体
分别它的长宽高就dxdydz进行受力分析
那同样对表面也可以取出一个微元体
进行一个边界条件的表述
这样也可以得到基本的力学变量
三大类的力学方程，以及边界条件
同样也可以给出分量形式、指标形式
这就是我们常规的基于微元体的建模方法
那么还有一个呢前面我们已经推导了
2D问题的基本变量和基本方程
我们完全可以把2D问题拓展到3D问题
这样也比较简单
那么我们看一看，来比较一下1D问题、2D问题和3D问题
这样的话我们就可以进行一个拓展
那么一维问题，关于位移分量，它就是u(x)一个
关于应变分量，也就是ε(x)，应力分量是σ(x)
2D问题呢是两个方向的位移u和v
应变呢有εxx，εyy，γxy
还有一个剪应力互等的γyx
那应力也是这样的，σxx，σyy，τxy
那么我们把2D问题拓展到三维问题
首先，位移分量增加一个w
当然它的自变函数是x,y,z
应变分量我们首先一个正应变要拓展到zz
我们有εzz
那同样关于z方向
还有yz和xz的剪切角，夹角的变化
所以我们就可以拓展这三个
另外在应力，也是一样的
那我们在z方向拓展一个正应力，我们叫σzz
那同样在z方向
我们分别拓展两个剪应力τyz，τxz
这样的话就是有6个应力分量
那实际上从来指标来说的话
位移分量，3D问题有3个
应力分量有9个，因为它有2个下标么，33得9
应变分量也是9个
但是由于有3组剪应力互等
还有3组剪应变的互等
所以说独立的三大类变量就变成
位移分量是3个，应力分量是6个，应变分量是6个
那关于平衡方程，我们看看
1D问题就是x方向受拉，那么它的平衡方程非常简单
就是一阶导数为0
在2D问题，那么同样
我们已经构建了两个方向的梯度变化的平衡
那么同样我们把2D问题拓展到三维问题
那么在x方向，在合力平衡的这个地方
就会增加一个由于τxz
在z方向的梯度变化引起的增量产生的平衡
同样在y方向呢也一样
由于z方向τyz在z方向引起的梯度变化
那么这一项要加进来
在z方向还有一个正应力的平衡
一样，那么关于σzz偏z，这是它的正应力
同样，x和y方向的剪应力在这个方向也有一个平衡
在几何方程方面
一维问题就是关于位移的一阶导数εxx
那么二维问题也是u关于x方向的一阶导数
v关于y方向的一阶导数
另外还有就是交叉的偏导得到的一个剪切
那3D问题同样在z方向作一个拓展
它是关于z方向的位移w关于z的偏导数
这是z方向的正应变
那同样呢，在z方向的剪应变有两个
叫γyz，还有γxz
同样也有相应的夹角变化的
这么一个交叉的偏导这么一个表达
在物理方程方面，一样，1D问题物理方程非常简单
就是这么一个
2D问题呢就是考虑广义虎克定理里面的泊松效应
这样的话就是二维问题里面有泊松效应的影响
在三维问题里面，一样，那么在εx方面
同样由于z方向对它也有泊松效应
所以增加一项z方向的泊松效应
那么在z的εzz方面，也就是正应变方面
那同样也可以得到一项和前面对应的关系
剪切也是，在z方向的剪切也有这么一个对应的剪切关系
在边界条件方面，几何边界条件
1D问题就是我们在指定的位置我们要等于给定的位移
在1D问题的应力边界上也是这样的
我们可以也是它的内力在边界上要和外力的分布要平衡
那么2D问题的几何边界条件也是一样
2D问题的外力边界条件也一样
那么我们看看三维问题
三维问题很容易拓展
我们只要给定一个z方向的位移
等于一个z方向的位移的指定值
这是一个BC(u)的表达
在3D的外力边界条件，也一样
既要考虑剪切对x方向和y方向的影响
还有在z方向的同样在z方向的一个平衡
也就是得到3个平衡的关系
那么在上面的边界条件里面我们可以看出来
这个x0、y0、z0都是边界的几何坐标
那么这几个n呢，都是边界的外法线的方向余弦
还有u、v、w给一杠
这个就是给定的方向上的位移值
那么Px、Py、Pz上面带一杠呢
也是给定的对应方向上的分布力
那么物理方程我们经常要用它的逆形式
所以我们再把物理方程写出它的一个逆形式
这个经常我们也要使用的
那么我们再用指标形式写出3D问题
实际上在2D问题写的时候
当时基本是i和j分别变x和y
也就是变平面问题的x轴和y轴
那只要在3D问题里面
把i和j的变化分别对着1、2、3
分别对着x轴、y轴、z轴就可以了
实际上它的写法和2D问题的写法完全一样
只是下标分别变1、2、3
那么我们下面看一下三大类变量的
指标形式和分量形式的对应关系
那么对于位移来说，指标形式是ui
它的3个量是u1、u2、u3
对应着的分量就是u、v、w
对于应力来说，指标形式σij
那么这个ij分别要变1、2、3
我们用Voigt规则来写，先写对角的
就是σ11、σ22、σ33
然后再写3个剪切，因为它是对称的
所以另外3个就不用写了
σ12、σ23、σ31
它对应着的分量形式就是
σxx，σyy，σzz，τxy，τyz，τzx
那3个正应力由于它的下标相同
我们往往为了简单，就把它写成一个
所以σxx就写成σx，σyy就写成σy
σzz就写成σz
那应变也是这样的
应变呢εij，那用指标写出来
ij分别变1、2、3应该是9个
那同样我们用Voigt写出它的对称部分
也就是写成它的3个，分别写出来就是这样的
对应的分量形式，我们看一看
3个正应变完全一样εxx，εyy，εzz
3个剪应变
我们用的是γxy来进行表达，γyz和γzx
那它和ε12之间有一个二分之一的变化关系
那同样呢对于正应变为了简单
我们把两个相同的下标就写成一个
比如写成εx，εy，εz
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
