当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 6、Classic implementation and finite element implementation based on trial function method > 6.1 Classic method and finite element method based on trial function > Video 6.1
返回《Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications》慕课在线视频课程列表
返回《Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications》慕课在线视频列表
同学们好
首先回顾一下上一讲的主要内容
上一讲我们学习了
变形体力学方程求解的试函数方法
平面纯弯梁求解的试函数方法
也就是残值处理法
平面纯弯梁求解的能量原理及变分基础
以及一般弹性问题的能量原理
本讲我们将学习
基于试函数的经典方法和有限元方法
有限元方法中的自然离散和逼近离散
有限元方法的基本步骤
最后我们要进行试函数经典方法和有限元方法的比较
基于试函数求解变形体的力学问题
前面提到了，我们就是用能量原理来进行分析
具有很多很好的特点
能量原理里面主要就是最小势能原理和虚功原理
最小势能原理实际上主要就是找许可位移场
真实的解使得势能泛函取极值
虚功原理同样也是基于许可位移场
真实的解，使得虚应变能等于虚外力功
同样来找这个许可位移场
那么这两个原理实际上是等价的，本质是一样的
特点呢也是，首先要找全域的试函数
也就是说满足位移边界条件BC(u)的全域试函数
这是第一
第二个特点就是对试函数的导数的要求比较低
比加权残值法的要低一半
关键是全域试函数
满足BC(u)的试函数对于1D问题相对来说好一些
对于2D问题、3D问题特别是复杂的几何形状
那不光是Ω复杂、几何形状复杂
而且它的边界条件也复杂
那么在满足复杂几何域上的试函数
这是一个难点
也就是说这个Ω上面要取ui要满足BC(u)的条件
往往是比较复杂的
那么我们比较一下，就是选取全域试函数这个经典方法
以及有限元方法，这中间究竟有多大区别
我们比较一下
我们看看1D问题
基于全域来进行构造
我们前面在第1讲的时候就给大家举了个例
就是全域函数的逼近
我们基于傅里叶级数作为基底函数来进行逼近
比如这么一个一维的函数
同样我们取sinπx,sin2πx等等
我们取从低阶到高阶的基底，进行线性组合
那么我们可以对原来的复杂函数作一个很好的逼近
1D问题没有什么问题
同样我们在第1讲也提到了
我们采用分段的方法对全域进行离散
分成一个一个的小区间
每一个小区间我们可以用线性函数来进行逼近
那么把它拼成一个函数来逼近原来的函数
这两个进行比较，我们看看
经典的方法，它的基底函数应该说构造是比较复杂的
它的逼近效果也是不错的
总体适应性有一些问题，但连续性很好
可以看出来
那基于分段的这个拼接函数的逼近呢
基底函数很简单，当然也比较标准和规范
因为它们都是线性函数，然后一段段拼出来的
那逼近的效果是总体适应性很好
整个形状对于原始函数的逼近不错
但函数的连续性
就是说段与段连接的地方的连续性稍微差一些
这是1D问题
对于2D问题，我们经典的方法
就是基于全域来进行构造的方法，我们来看看
2D问题如果是规则形状
用全域函数来进行逼近
比如这是一个矩形，假定我们有sinπx,sinπy
也就是两个方向，x和y方向
分别也用傅里叶级数的方法来组合出基底函数
可以看出来这个基底函数是比较复杂的
那么对于复杂的形状
这个时候要构造全域的试函数往往就很难了
甚至是几乎不能构造的
所以说经典的方法来构造全域试函数往往是
规则形状可以构造，复杂形状是不能构造的
那么我们看看分段分片的方法
我们在二维里面叫分片
那么我们对于规则形状
我们把它分成片，一片一片的
比如我们这里就分成四个节点的片
像小的矩形一样
那么我们在小的矩形里
可以构造常数项、一次项，还有一个交叉项
这么一个函数，来作为基底函数
然后我们来拼出一个全场函数
那么这个基底函数我们看看
它比较简单，同时也规范，也是比较标准的
那对于复杂几何形状一样
我们同样也可以把它分成比如三角形的片
当然也可以分成矩形的片
我们分成这种标准的几种形状的片
我们来拼出全域
那同样我们可以在每一片里面构造出它的函数的逼近
那么我们看看整体效果
对于复杂形状，我们用分片的方法来做
它可以做复杂形状，没有问题
总体的适应性是不错的
但片和片之间连接的地方
它的连续性还是比较差一些
这是2D的情况
3D情况
那么经典的方法，对于规则形状
那么我们构造全域函数
同样，我们在每个方向比如都用解析函数
那么我们在x,y,z三个方向分别构造基底函数
进行相乘的组合
那么规则形状我们可以做
但是这样的基底函数也是比较复杂的
对于不规则的复杂形状
往往是不能够构造出
相应的满足几何边界条件的试函数
所以我们简单说一下就是
规则形状可以构造，复杂形状基本上是不能构造的
采用分块的方式
那么我们简单形状同样通过常数项、一次项来组合
这样的话来构造每一个块里面的
因为它是标准的块
每一个块里面的函数
同样对于不规则的复杂形状
每一块可以是六面体，也可以是四面体
在这个标准的块里面
同样也用这种拼接的函数来进行构造
每一块里面都构造好，然后把它们拼接起来
那可以看出来，我们不管是对规则形状还是复杂形状
我们都可以做
那么基底函数是比较简单也比较规范
同时也是标准的
当然从逼近的效果来看
总体的适应性还是不错的
但是块和块之间函数的衔接的地方连续性相对较差
那么通过上面的比较我们就可以看
经典的试函数方法和有限元的试函数方法
我们的原理都是用能量原理，这一点完全一样
但是在构造试函数这一块还是有相当大的不同
最大的不同就是
一个是全域的试函数
还有一个是分段、分片、分块试函数的构造
所以说有限元最主要的思想就是离散
就是基于分块拼接函数的逼近
那么我们看看1D，比如梁、杆
2D，比如一个域
3D，同样也是这样的
那么我们来做几何离散
也就是说把Ω
不管它是简单的还是复杂的
我们都把它分成Ωe
这个Ωe就是我们标准的段或者片或者块
然后把每一片、每一段、每一块把它拼出来
然后对每一个单元，也就是对Ωe，我们叫单元
这些单元应该说有一些特征
至少在几何上是比较规范和标准的
比如对一维的，就是两节点的杆
比如对二维的，我们有三节点的平面的三角形单元
对于三维问题，我们有八节点的六面体的块体单元
我们作了一些标准的几何划分
这些标准的划分就叫单元
我们在单元上构建试函数并建立相应的力学方程
当然建立这些方程是根据前面所提到的能量原理
也就是说最小势能原理或者虚功原理来构建相应的方程
那么这就是单元的研究
单元研究清楚后再把每一个单元拼接起来
又拼成一个整体
也就是说把Ωe所有的
从1到n把它加起来形成一个大的Ω
这个Ω就是我们原来问题的对象
那这个从Ω分解成Ωe
又从Ωe把它加起来形成一个总的Ω
你看，从整体到离散
又从离散要集成到整体
这是一个标准化的过程
那么这个过程中间
我们在局部的单元研究已经给出数学描述的基础上
再把它集成起来
这个时候的整体是已经得到数学描述的整体
这样我们求解以后就能得到问题的最后的结果
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
