当前课程知识点：Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 13、Introduction to the application field of finite element analysis (2) > 13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle > Video 13.1
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同学们好
首先回顾一下上一讲的主要内容
上一讲我们讲解了
结构振动有限元分析的基本原理
结构振动的有限元分析实例
弹塑性问题有限元分析的基本原理
弹塑性问题有限元分析的非线性方程求解
这一讲我们将讲解
传热问题的有限元分析的基本原理
传热问题的有限元分析实例
热应力问题的有限元分析基本原理
最后我们将介绍热应力问题的有限元分析实例
传热是日常生活和工程实际中广泛存在的自然现象
它包含这几个方面
首先是热量的输入和输出
它会引起热量的传递
进而引进温度的变化
从而产生热应力
因此进行热问题的分析一般包含两个部分
第一是通过传热分析来确定温度场
第二是在获得温度场的基础上
计算所产生的热应力
这是涡轮发动机在热工作环境下的传热分析
这是涡轮盘
这是进行传热分析得到的温度场
进行根据温度场来计算它的热应力
通过傅里叶传热定律和能量守恒定律
我们可以得到传热问题的控制方程
它的基本变量是温度场T
它是坐标点x,y,z的函数
同时也是时间的函数
在这个控制方程中间
我们可以看见
ρ是材料的密度
cT是材料的比热
分别沿x,y,z方向的热传导系数
Q是物体内部的热源强度
传热问题有三类边界条件
第一类，我们叫S1边界条件
也叫Dirichlet条件
它是给定温度的分布T上面一横
第二类边界条件我们叫S2
它是给定热流密度的Neumann条件
它是分别沿着偏T偏x
在x方向的热传导
然后在边界法线的方向余弦
三个方向加起来等于在S2边界上
给定的热流密度qf
第三类边界条件是S3
也叫对流换热的Neumann条件
它的基本方程的表达跟第二类边界条件类似
只是右端是与环境温度有一个热交换
其中，对热的换热系数是hc
整个物体的表面应该是包含S1+S2+S3
传热问题的初始条件
也就是说Initial Condition
它是在T0时刻整个物体的温度场分布
传热问题的变分提法就是在
满足三类边界条件及初始条件的许可温度场中
真实的温度场使得以下的泛函取极小值
这就是我们的泛函
这里的кx,кy,кz是热传导系数
Q是内部热源
cT是比热
它是关于温度的二阶导数
还有关于时间的一阶导数
对整个的物体求一个积分
在实际问题的处理过程中
第二类和第三类边界条件
由于比较难以事先满足
所以将这两个条件耦合进泛函里面去
所以我们要定义一个新的泛函
这个新的泛函除了刚才那几项以外
再加上给定热流密度qf
以及对流换热方面的一个表达
这么两项
传热问题我们分两类
一类就是稳态情况
就是温度不随时间变化
就是温度对时间的偏导为0
进行有限元分析首先要进行几何离散化
在离散化的基础上进行单元的温度场的函数表达
它的函数模式就是表达成节点的温度列阵
乘上前面的形状函数
那么节点的温度列阵就是
在前面我们变分表达的基础上
我们来求极值
这样我们就可以得到
当然它们都是关于温度的表达
我们叫作单元的传热矩阵
我们叫等效温度载荷矩阵
单元热传导矩阵的具体表达是这样的
当然前面要乘上一个x方向的热传导系数
同样在y,z方向作相应的表达
对整个单元作积分
由于我们考虑到S3的边界
所以这一项就是S3边界上由对流热交换条件
对传热矩阵所做的贡献
在相应的等效温度载荷矩阵里面
这项是内部热源的等效温度载荷
这部分是给定热流的等效温度载荷
这部分是对流热交换的等效温度载荷
我们可以看出，传热问题实际上是C0问题
温度场是一个标量场
因此所构造的有限元分析列式是比较简单的
对于瞬态的传热问题的分析
它的问题场对于时间是不等于0的
因此我们的节点温度是关于时间的函数
它的插值关系和前面的稳态实际上是相同的
只是节点的温度是
同样我们由传热问题的泛函极值原理
我们可以得到瞬态传热问题的有限元分析的列式
它叫单元的比热矩阵，它等于
它是节点温度与时间的导数，它等于
瞬态传热问题可以转化为一组
以时间t为独立变量的线性常微分方程组
它同样也是，在几何域上要进行离散
在时间域上也要进行离散
也就是说要把时间分成若干个步长
并且进行时间函数的插值
通常有两点插值，还有三点插值的公式
当然要进行一个循环的计算
这里面的关键是怎么取步长
它会影响到整个问题的收敛性
必须根据解的稳定性理论
来给出一个最大收敛步长的条件
这样才能得到稳定的解
并且控制好计算的误差
下面我们构造一个最简单的平面3节点三角形传热单元
3个节点i,j,m
其中在mj边界上有BC(S2)或BC(S3)
这两个热交换的传热条件
那么节点描述，同样我们有节点坐标(xp,yp)
p是分别等于i,j,m这3个节点
节点的温度是Ti,Tj,Tm
单元场的描述分别是
同样这个N是我们的形状函数矩阵
它的插值关系和我们静态问题的3节点三角形单元
的插值关系是一样的
这是Ni的关系的计算和3个节点的几何坐标相关的
我们考虑3种情况
第一个，这个单元没有传热边界
即为完全的内部单元
第二种情况是
如果该单元的jm边界为S2时
我们来推导这个相应的表达
第三种情况
如果这个单元的jm边为第三类传热边界
也就是S3
这个时候，我们来推导相应的单元的表达
第一种情况是完全内部的单元
没有传热边界
那么单元的传热矩阵是这么两项
кx和кy，分别乘上相应的3X3的矩阵
相应的等效温度载荷矩阵
它在Ti,Tj,Tm三个自由度上的等效温度载荷分别是
Q是内部热源的强度
A是单元的面积
ρ是材料的密度
对于jm边为S2的边界的时候
得到的单元传热矩阵前面两项也是一样
得到的等效温度载荷矩阵和前面类似
但是是在Tj,Tm两个自由度上面加上两项
因为它主要是影响到jm这条边的这两个节点
所以要加上这个边界上由热流密度引起的等效载荷
对于jm为传热边界S3的时候
单元的传热矩阵前两项和前面一样
第三项是由对流换热条件引起的3X3的矩阵
相应的等效温度载荷的矩阵
同样，除了内部热源强度引起的等效载荷以外
还由于j和m这两个节点上引起的
由于和环境温度引起的对流热交换的
这么一个等效载荷
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics：particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem
