3.2 位势倾向方程在线视频

同学们

大家好

我是赵靖川老师

欢迎大家来到《天气学》课堂

这次的授课内容是位势倾向方程

上节课结束的时候

请大家思考了这样一个问题

涡度方程预报西风带波动的优点和缺点

以及如何对它进行改进

现在我们就来回答一下这个问题

涡度方程的优点

就是它的形式较为简单

物理过程较为清晰

局地涡度随时间的变化

由辐合辐散以及涡度平流而引起

那么涡度方程具有什么缺点呢

首先

它右端的水平辐散项中的水平辐散

不能直接从天气图上的位势高度来进行判断

甚至用实测风也很难准确判断

因此

在实际的操作中

直接用涡度方程来判断形势的发展

仍有很大的困难

在回答第二个缺点之前

我们首先来回顾一下

《流体力学》中的克罗柯方程

由克罗柯方程我们可以看到

涡度与焓的空间变化

熵的空间变化之间存在联系

也就是说

涡旋运动还与热力过程密切相关

从实际生活中

我们也能够观察到

篝火的火苗存在明显的涡旋运动的特性

因此

涡度方程的第二个缺点

就是仅仅使用了大气运动方程

它只考虑了动力因素

并未考虑热力因素

而热力作用对天气系统的发生发展

也有很重要的作用

比如降水时所伴随着凝结潜热的释放

在涡度方程的基础上

进一步引入热力学方程

考虑热力过程对涡度的影响

就有可能对涡度方程中散度项

进行进一步的改进

因此

本节内容的基础和预备方程

分别是涡度方程和热力学方程

我们首先需要对这两个方程

进行预处理和变换

使得方程中出现相同的变量

才能联立

合并

最终推导出新的方程

下面我们就对涡度方程的形式

进行一下变换

请大家注意几个问题

首先

涡度方程中的相对涡度平流项

和地转涡度平流项

可以写成二维水平平流的形势

其次

由观测数据事实还可以得到

在北半球中高纬大气中

相对涡度和地转涡度的数量级分别为

10的负五次方和10的负四次方

因此绝对涡度可以近似的取大数量级的f来表示

然后

在P系中的连续方程还可以得到

偏u/偏x加偏v/偏y等于负的偏ω比上偏p

最后

把这三个表达式都代入涡度方程中

再代入P坐标系中地转风涡度的表达式

并且认为实测风约等于地转风

实际涡度约等于地转涡度

地转涡度与重力位势的拉普拉斯算子有关

经过一系列变换之后

我们就可以得到

基于涡度方程变换而得来的准备方程（1）

请大家注意

此时的涡度

就转换变成了重力位势的拉普拉斯算子/地转参数f

重力位势与涡度之间就具有密切的联系

因此

利用准备方程（1）

我们求解出重力位势随时间的变化

也就能进一步求出涡度随时间的变化

在准备方程（1）中

方程左端的形式较为复杂

出现了一个新的物理量

偏Ф/偏t

那么这个新的物理量的意义是什么呢

在P坐标系中

Ф表示重力位势

那么偏Ф/偏t的物理意义

就是表征重力位势随时间的变化

天气学中我们称之为位势倾向

也可以写为

g偏H/偏t

表示正负变高

当g偏H/偏t大于0时

有正变高

此时

偏φ/偏t大于0

对应着脊加强或者槽减弱

当g乘以偏H/偏t小于0时

有负变高

此时

偏φ/偏t小于0

对应着脊减弱或者槽加强

再来看热力学方程

对状态方程取对数可以得到

lnp+lnα=lnR+lnT

对这个式子关于t求偏导

注意

由于等压面上P、R为常数

因此

偏p/偏t等于0

偏R/偏t等于0

这个时候我们就可以得到

偏T/偏t等于α分之T

偏α/偏t

把热力学方程代入这个方程

就可以得到关于偏α/偏t的方程

又由静力方程我们可以得到

α等于负的偏Ф/偏p

代入刚才得到的方程

并假设稳定度和加热率这两个参数的表达式

我们就可以使得这个方程的表达更加简洁

最终可以得到

基于热力学方程变换而得到的准备方程（2）

我们来观察一下准备方程（1）和准备方程（2）

首先

准备方程（1）表示了动力过程对位势倾向的影响

进一步来说

也就是动力过程对涡度随时间变化的影响

准备方程（2）中表示了热力过程对位势倾向的影响

进一步说

也就是热力过程对涡度随时间变化的影响

两个方程联合起来

综合考虑了动力过程

和热力过程对位势倾向的影响

进一步说

也就是对涡度随时间变化的影响

然后

可以看到方程组中由两个变量

偏φ/偏t和ω

如果消去ω

得到关于位势倾向偏φ/偏t的方程

对（2）式进行适当的变换

再结合（1）式就可以得到

位势倾向方程式（3）

最后

再次提醒大家注意

涡度与重力位势之间具有紧密的关系

涡度随时间的变化

与位势倾向之间具有紧密的联系

如果我们以位势倾向作为未知量

求解出位势倾向方程

我们就能进一步求解出涡度随时间的变化

下面我们来讨论一下

位势倾向方程中每一项的物理意义

首先

位势倾向方程左端这一项

是位势倾向的三维拉普拉斯项

在这个三维拉普拉斯项中

垂直方向有一个权重系数

和水平方向并不是等权重的

在实际观测中

我们还发现位势高度在纬向上

具有波动分布的空间特性

因此

为了讨论的方便

不失一般性

我们假设位势倾向在三维空间中的分布

同样具有波动的特性

也就是偏φ/偏t等于A倍的sinkx

乘上sinly再乘上sinnp

带入位势倾向方程（3）式的左端

其中A是振幅

大于0

k,l,m分别是x,y,z三个方向的波数

这样就可以得到这一项等于

负的A再乘上k²加上l²

加上σ分之f²乘上m²

再乘以偏φ/偏t

因此

左端的这个三维拉普拉斯项正比于负的偏φ/偏t

这就意味着

当位势倾向方程左端项大于0时

表示

偏φ/偏t小于0

等压面位势高度降低

有负变高

当左端项小于0时

偏φ/偏t大于0

等压面位势高度增加

有正变高

再来看一下位势倾向方程右端项

右端第一项是地转风绝对涡度平流项

如果只考虑这一项的作用

它将正比于负的偏φ/偏t

地转风涡度平流项又由两项所组成

分别是地转风相对涡度平流项

和地转涡度平流项

对于地转风相对涡度平流项

当这一项大于0

表示有正的涡度平流

将会造成偏φ/偏t小于0

使得等压面位势高度降低

反之

有负的涡度平流

将会使得等压面位势高度升高

那么

地转风绝对涡度平流项

是通过怎样的物理过程

来影响位势倾向的呢

之前我们提到过

涡度与重力位势之间具有紧密的关系

那么涡度平流的输送

则必然会引起局地涡度的变化

局地涡度的变化就必然导致重力位势

和位势倾向的变化

这一项在天气图上经常表现为

在槽前脊后有正的相对涡度平流

会使得等压面高度降低

而在槽后脊前有负的相对涡度平流

使得等压面高度升高

槽脊线上涡度平流为零

等压面高度无变化

因此

这一项的作用是使得槽脊东移

对槽脊的发展不起作用

并且相对涡度平流项对短波槽的作用较大

这个结论与我们之前涡度方程中

得到的结论也是完全一致的

请大家再来看一下地转涡度平流这一项

在北半球

f大于0

偏f/偏y大于0

因此

槽前脊后为偏南风

有负地转涡度平流

使得等压面位势高度升高

而槽后脊前为偏北风

有正地转涡度平流

等压面位势高度降低

槽脊线上为西风

地转涡度平流为零

等压面位势高度无变化

因此

地转涡度平流这一项使得槽脊西退

对槽脊的发展不起作用

并且要使得地转参数f

具有显著地空间变化

就要求波动的空间尺度较大

因此

这一项主要对长波槽作用比较大

这个结论与前面涡度方程中

所得到的结论也是完全一致的

位势倾向方程右端第三项

为温度平流随高度变化项

也就是之前的涡度方程中

未考虑到的热力作用项中的一部分

一般来说

越到高空

温压场空间分布越一致

等温线与等压线越平行

这样地转风与温度梯度方向也越垂直

这就导致温度平流也就越小

冷暖平流随着高度一般都是减弱的

也就是随着气压的增大而增大

对于高空等压面而言

如果其下部存在暖平流输送时

也就是负的Vg点乘温度T大于0

这一项对气压求导大于0

则温度平流随高度变化这一项小于0

这就会导致偏φ/偏t大于0

等压面将升高

进而使得脊发展或者槽减弱

反之

如果是冷平流

冷平流一般也是随着气压加强而加强

这就会使得温度平流随高度变化大于0

等压面降低

使得脊减弱或者槽发展

那么

如何直观的理解温度平流随高度变化项

是通过怎样的物理过程来影响位势倾向的呢

我们通过一个暖平流的例子来具体分析一下

我们以一段从900hPa高度到200hPa高度的气柱

做为研究对象

假设对流层中层存在暖平流输送

受到暖平流输送的影响

这段气柱的平均温度升高

体积受热发生膨胀

因此气柱的厚度就会增加

直观的表现就是

在暖输送中心上方的200hPa位势高度增加

在暖输送中心下方的900hPa位势高度降低

冷平流的作用机制也可同理得到

请同学们课后来自行推导分析

因此小结一下

对于高空等压面而言

下部存在暖平流输送时

高空等压面升高

有利于高空脊发展

而下部存在冷平流输送时

高空等压面降低

有利于高空槽发展

这一项的分析结果表明

温度平流对槽脊发展起到了主要作用

再来看最后一项

非绝热加热随高度变化项

也就是之前的涡度方程中

未考虑到的热力作用项中的另一部分

这一项正比于负的偏φ/偏t

当这一项大于0时

表示非绝热加热随高度增加而增加

偏φ/偏t小于0

会造成等压面位势高度降低

反之

非绝热加热随高度增加而减小时

就会造成等压面位势高度升高

与温度平流随高度变化项中的作用项相类似

这里是一个台风的垂直剖面图

在对流层中层的B处

水汽凝结为液态水

释放出大量的凝结潜热

形成强烈的非绝热加热作用

请同学们课后

结合非绝热加热随高度变化的作用机理

自行推导分析一下

为什么台风的顶部气流为辐散运动

而底部的气流则为辐合运动

今天我们推导并分析了位势倾向方程

通过进一步的学习了解到

涡度平流是使得高空波动移动的原因

而温度平流则是使得高空波动发展的原因

相比于前面学习的涡度方程

位势倾向方程更加明确了高空波动发展的原因

这也说明

在涡度方程的基础上

加入热力因素得到的位势倾向方程

对高空波动的移动和发展

描述更为细致

由于位势倾向方程

主要是预报高空西风带波动的移动和发展

因此它也被称为高空形式预报方程

它也是利用天气图

制作中高纬度短期天气预报的重要理论基础

好了

今天的课

就到这儿了

同学们

下节课再见