当前课程知识点：大学物理2 (电磁学、光学和量子物理) > WEEK3 > 导体周围电场 > 有导体时静电场的计算
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同学好
这一节我们讲有导体的时候
静电场怎么计算
当然一般的方法是
你可能想
我用点电荷加叠加原理
我都可以计算
只要导体上面的电荷分布
我要知道了的话
但是就这个导体上面电荷分布
很难知道的
所以一般来说点电荷加叠加原理
不大适用
那么在这里边普通的方法是什么呢
就是利用基本性质
基本性质方程
一个是高斯定理 一个是环路定理
再加上导体里边的电荷要守恒
比如说导体原来不带电
它还是不带电
如果导体原来带电
那带电多少 以后还将带电多少
就是这么个意思带电荷是守恒的
还有一个呢
就是要考虑静电平衡条件
导体里边的电场是等于0的
或者导体是一个等势体
利用这些东西
我们就可以计算有导体的时候的
静电场
下面我们讨论一个例子
假如说有一个无限大的带电平面
然后旁边放了一个 平行的放置
大的金属平板
这个时候问你
金属板两面电荷面密度是什么
当然我们说这里面无限大的意思是说
它边缘效应不考虑
就假设这个电荷都是在板上均匀分布的
而且外边的电场都是垂直于板面
是这个意思
那么假设金属两个板上
面电荷密度分别是σ1和σ2
根据电荷守恒
原来这个金属板不带电
所以它们加在一起要等于0的
那么这两边的面积也是一样的
所以它们这个面电荷密度
应该是反号的
另外我们还要利用这个
导体的静电平衡条件
就是说导体里边电场是等于0的
这个条件
先考虑某一个P点
在这P点
这个平板P点上的电场等于多少呢
当然是2ε0分之σ
是这个方向的
那么这个σ1在P这个位置上的电场等于多少呢
因为这也可以看作是一个平板的
均匀带电
所以这个电场也很容易计算出来
它是2ε0分之σ1
这个板也在P点有个电场
它的方向是这个方向
它是等于2ε0分之σ2
这些的贡献合在一块
要等于0这才是这个导体的静电平衡条件
所以把这个式子和这个式子联立起来
很容易得出来
两个板上的电荷面密度是
等于这个平板上面密度的一半
当然它们是互相带反号的
再讨论下面一个例子
假设有一个金属球
外边同心放置一个金属球壳
它们半径是这样
里边的球半径是R0
这个球壳内壁半径是R1
外壁的半径是R2
原来这个球带电q
这个球壳带电Q
这时候问 电量是怎么分布的
第二 球A和球壳B的电势是什么样的
那么我们怎么做这个问题呢
由于这个是球面 都是球面
所以说这个电荷在球面上
都是均匀分布的
现在我们在这个球壳里边
紧贴着内壁做一个高斯面
这个高斯面上的积分当然是等于0
因为导体里边的电场总是等于0的
根据高斯定理
这个高斯面里边的
总的电荷量要等于0
那么我们已经知道
这个导体带电q
所以这个导体球壳内壁
一定要带电负q
这样才能保证
这高斯面里边的总的电荷量是等于0
根据电荷守恒
这个导体球壳外表面上
就要带电Q加上q
这才能保证
球壳上的总的带电量仍然是Q
这些电势怎么计算呢
我们可以这样
导体上的这些电势
可以等效为三个均匀带电
球面产生的电势
因为所有电荷都是
带在这个球表面上的
所以现在我们分别有三个球面 对吧
一个是这个球面 一个是B球的内表面
一个是外表面
总的电势当然是利用叠加原理
把三个均匀带电球壳产生的电势
加起来就行了
先看这个球A的电势
对球A的电势
因为它是在这个球壳壁里边的
所以球壳壁内表面和外表面
在这个球A上电势的贡献
它就应该等于4πε0
它的半径分之它的电量
所以就是这两项
这是内球表面的贡献
这个是外球表面的贡献
球本身对自己这个电势的贡献
当然是这个
所以这是球的电势
那么球壳的电势呢
因为对于这个外球壳来说
里边的这个球壳和这个球壳的贡献
相当于把它们的电量
集中于球心产生的电势是一样的
可是里边的球面上的电荷
和内球壳面上的电荷
合在一块它是等于0的
所以它对这个球壳的电势没有贡献
只有外球壳表面上的电荷
它对它才有贡献
当然就只有这一项了
所以这就是球壳壁的这个电势
下面你们可以考虑这样一个问题
就是假设内球是接地的情况下
刚才我们讨论的电荷分布
以及这个电势是什么样的
注意在这里边有个提示
就是接地的意思
并不是说这里边的电荷
全没了的意思
而是说它的电势和地是等电位的
等电势的
也就是说
接地以后这个球的电势是等于0
是这个意思
下面再看一个例子
假设我们有一个接地的导体球
附近有一个点电荷
这时候问你
这个导体上感应的电荷的电量
是等于多少呢
那么我们这样考虑
因为这个导体是接地的
所以这个导体的电势当然是等于0
那么假设这个导体上有这感应的电荷
它也一定是分布在这个表面上 对吧
那么假设这个感应电荷量为Q
这个表面到这个球心的距离
都是一样的
球心的电势当然也是等于0
所以你这个表面的
电荷在球心产生的电势
以及这个点电荷
在球心上产生的电势
叠加在一起要等于0
那么这个表面上电荷
在球心的电势等于多少呢
因为距离都是一样的
所以根据叠加原理
表面上电荷在球心的产生电势
就是这个式子
而这个点电荷在球心的电势
当然你也可以简单计算出来
因为它离球心的距离是l
根据这个式子我们很容易计算出来
导体感应出来这个电荷
应该是这个量
如果我们考虑
假如它不是接地的
这个时候这个导体球面上
感应出来电荷应该多少呢
不用问
上面的电荷一定是等于0的
因为这个导体球本身是一个
电中性的一个导体球
好 这节内容就讲到这儿
谢谢
-电荷和库仑定律
--引言
--电荷
--库仑定律
-WEEK1--电荷和库仑定律
-电场及叠加原理，电偶极子
--电场和电场强度
-WEEK1--电场及叠加原理，电偶极子
-高斯定律
--电通量
--立体角*
--高斯定律的证明*
--高斯定律和电场线
--高斯定律的应用
-WEEK1--高斯定律
-WEEK1--本周作业
-静电场环路定理、电势和叠加原理
--环路定理
--电势和叠加原理
--电势梯度
--等势面
-WEEK2--静电场环路定理、电势和叠加原理
-静电能
--电荷系静电能
-WEEK2--静电能
-导体静电平衡
--物质中电场
--导体静电平衡
-WEEK2--导体静电平衡
-WEEK2--本周作业
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-WEEK3--导体周围电场
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--导体壳与静电屏蔽
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-电容及电容器
--电容及电容器
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--介质对电场的影响
-WEEK3--电介质
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--极化强度
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