无限大地层定产条件弹性不稳定渗流基本解在线视频

我们这节课讲述无限大地层定产条件下

弹性不稳定渗流基本解

通过本节我们重点讲述

第1个是渗流过程的数学描述

第2个是

渗流方程的求解方法和过程

第3个是基本解的理解和应用

首先我们来看渗流过程的数学描述

对于渗流过程

我们进行如下假设

水平 均质 等厚无限大地层

存在一口生产井

这口井是一个完善井

这口井从某一时刻t=0开始

以定产量Q进行生产

整个渗流过程是一个弹性不稳定渗流

假设地层的初始的地层压力

假设是p0

地层的渗透率为K

有效的厚度是h

导压系数是 η

以井底为原点建立起这种的坐标系

然后我们来看一下它的一个数学模型

首先我们来看一下状态方程

第1个就是流体的压缩系数

我们用CL来表示

这个我们在前述课程中已经进行了讲述

第2就是岩石的压缩系数

我们用Cf来进行表述

在这种条件下

综合的压缩系数Ct

就等于一个φ*CL+Cf

φ*CL+Cf

导压系数η

就等于K/μCt

对于弹性不稳定渗流

它的综合控制方程

符合抛物线方程

也就是这个形式

这是一个三维的形式

我们来看一下渗流数学模型

如果把上述的综合控制方程三维的转化成

柱坐标

是这样的一个形式

这个是它的综合控制方程

综合控制方程是

其中 η是前述的导压系数

这个是综合的控制方程或者综合方程

这个是非常重要的一个方程

希望大家要认真的记住

第2就是我们来看一下边界

边界条件分成三个

一个就是初始条件

初始条件就是t=0时刻的时候

压力整个p等于p0

第二是外边界条件

就是压力波

没有传播到的地方

也就是r趋近于无穷的时候

压力也是等于一个p0

第三个看一下井底的一个内边界条件

内边界条件

我们前述讲过

假设是一个是定产的条件

所以根据达西公式我们可以推导出来

井底附近等于Qμ/2πkh

Q就是在这地方一个产量

我们看一下数学模型的求解

对于数学模型

我们来看一下

它是一个二阶的

可以看到这是一个二阶偏微分

所以压力p是时间t

和距离r的一个函数

所以

这种条件下二阶的偏微分方程

不能进行直接求解

所以基本的解法有这么几种

第1个是用解析法

通过分离变量法

积分变换法

还有一个是半解析解

一般试井分析所用的比较多的方法

还有一个

通过数值模拟的数值解

在这节课

我们重点是要用分离变量法

对于解法

我们基本的思想就是把偏微分转化为常微分

把这种的高阶的转化为低阶的

对于这个模型的求解的过程

在课本上有详细的叙述

在这儿就不进行一一叙述了

直接看一下求解的结果

求解的结果就是p(r,t)

压力p是时间和位移的一个函数

这里边是个积分项

这个积分项是一个幂积分函数

这是解的一个基本的形式

所以我们如果是幂积分函数

它是这样的一个形式

等于一个负的Ex

分母是u

分子是e的-u次方 du是这样的一个形式

我们可以看到幂积分函数是这样的

这也对于幂积分函数

大家可以通过查相应的这个图版

还有通过查相应的幂积分表

可以查出不同的x所对应的幂积分函数的一个值

所以我们可以得到

如果是用幂积分的函数来表示

压力的分布规律

它等于p(r,t)等于p0-Qμ/4πkh

然后-Ei(-r^2/4ηt)

这个是压力

分布的表达式

这个表达式是非常重要

希望大家能够记住

通过压力表达式

我们可以求得任意时刻任意位置处

的一个压力值

只要我们知道一个r,知道一个t后

我们可以求出r^2/4ηt

这个值的大小

通过值的大小

我们就可以查幂积分函数表

查出幂积分函数值

然后再带到这个公式里边

就可以求得压力的分布

在这儿我们重点来看一下井底处的压力

井底处的压力

我们可以看到也就是

对于井底处

就是r=Rw处

所以在这条件下就是在

井底处r=Rw的时候

at any time t

压力应该就等于

把r换成Rw就行了

也就是pw(t)等于一个

p0-Qμ/4πkh[-Ei(-r^2/4ηt)]

p0-Qμ/4πkh[-Ei(-r^2/4ηt)]

这是井底的压力

我们再看一下

如果是整个投产时间不再是t等于0

而是从t等于t0时刻

也就是

如果是横坐标是一个时间t

这个是一个产量

也就是前面这段时间产量是Q=0

而从 t0时刻开始

以这个Q来进行生产

这种条件下

我们来看一下它的压力的分布

对于这个

我们可以看到压力的分布

表达式

可以用这个式子

大家可以看到

这个式子跟前边的式子来进行对比

它的唯一的不同就是时间项

这多了一个t-t0

其他的形式都是一样的

这个问题我们可以这么理解

就是整个如果是我们把

这个如果是Q

如果是时间是从t0开始投产

我们可以认为这个问题就是

把这个时间的坐标轴往右平移了t0

所以往右平移t0以后

也就相当于是在t的时间段减去个t0

可以这么去理解

这样这个公式就比较好记了

第二我们再看一下

如果是井点不在坐标系的原点

而在某一个x1 y1处

投产后压力的一个分布

我们可以看到就是说明什么问题呢

如果这个是x轴

这个是y轴

生产井

我们前面假设都是在原点处

如果是生产井这个地方

在这儿

假设它的坐标是x1

这个坐标是y1

在这种条件下

它的地层任意一点的压力分布

表达式是什么呢

可以看到压力表达式是这样的一个表达式

也就是p(x,y,t)等于

p0-Qμ/4πkh是一样的

里边看一下幂积分函数里边

分母是4η (t-t0)

这个也是跟前面一样的

唯一的不一样就是上面的r

它是变成(x-x1)^2+(y-y1)^2

相当于上面

这个地方是变成一个r^2

所以也就相当于是坐标原点

从x轴是平移到x1这个地方

y轴是平移到y1这个地方

所以分别减去x1

y1

这样的一个形式

井底不在原坐标系原点处

但是我们可以看到任意一点

假设这一点的压力

这一点压力

也就是保证r的平方相同就行了

所以我们求的是r的平方

在这儿代替

就是这个线段的一个距离

对于幂积分函数可以展开成无穷小

我们把幂积分函数-Ei里面

-r方除上4ηt等于

ln 4ηt/r^2-0.5772

加上一个后边

这是一个

展开项

那么对于这展开下

如果当 r^2/4ηt

小于0.01的时候

后边这一块就非常小

所以非常小的时候

我们就可以用前面这两项来进行近似

把幂积分函数表示出来

它就等于一个ln ( r^2/4ηt)-0.5772

等一个

如果是我们把0.5772拿到函数里边去

就是ln(2.25ηt/r^2)

如果是在满足这个条件下

它的误差是非常小的

基本上是小于0.25%

那么在实际运算的时候

我们把它带到压力分布公式里边

如果我们把这个公式利用到咱们计算井底的

一个压力

井底压力

我们都知道

井底的处就是取r等于Rw

我们都知道

由于在井底处

一般井底的Rw都是比较小

所以对于这一项比较小

一般都比较容易满足

r方比上4ηt小于0.01的

适用条件

所以井底压力

计算的过程中

我们可以用这样的一个近似式

这是计算

井底的一个压力

对于不完善井

我们可以把Rw转化成折算半径

Rwr来进行代替

如果对于注水井

这个Q可以取-Q也就是

来进行求解注水井的井底的一个压力

好

通过这节课

我们是重点是讲述了

弹性不稳定渗流无限大地层条件下的

数学模型

在这

包括4个公式

第1个是综合控制方程

第2个是包括三个边界条件

一个是初始条件

一个是外边界条件

还有一个是内边界条件

它的一个通解的形式

大家务必要能够记住

还有一个它的一个近似式

另外通过它的应用

我们来可以求解井底的压力

还有任意点处的压力

以及是时间

投产时间

t不等于0条件下以及

井点不在坐标系原点处的一个

压力的分布

这节课我们就到这儿