8.3 湍流高阶统计平均量在线视频

下面我们讲湍流的高阶统计平均量

那么第一个呢就是方差与湍流度

如果我们把湍流中的速度

作为一个连续得随机变量

它的概率密度函数是f（u）

那么我们可以计算这个随机变量的方差

也就是它的瞬时量

也就是它的瞬时量

偏离它的样本均值的平方的统计平均值

也称为呢二阶中心距

那么如果我们把这个方差开根号

就是称为标准差或均方差

它描述了这个随机变量的样本取值

偏离平均值的平均程度

如果这个随机变量就是我们湍流的瞬时速度

这个瞬时速度偏离平均速度呢

就是湍流的脉动速度

这个脉动速度的平方的统计平均值

就是它的方差

如果我们把这个方差再除以当地的平均速度

这个相对值我们称为相对的湍流强度

简称湍流度

这个图呢就是我们

用实验测量的方法测量得到的

平板湍流边界层它的湍流强度

随着B面距离的变化

上面呢是流向的脉动速度的湍流度

随着B面法向量的坐标的变化

下面是法相的脉动速度的湍流强度

随着B面法向坐标的变化

这个也是我们用热线风速仪

测量得到的无量纲化以后的

流向脉动速度的方差

我们看到呢随着湍流边界层雷诺数的增大

它在外区表现出一个平台的特征

雷诺数越大呢这个湍流强度的剖面

这个平台的区域呢就越宽

第三介绍协方差与湍流雷诺应力

如果对于湍流两个随机变量

比如两个脉动速度分量u和v

那么它们脉动速度乘积的数学期望

我们称为协方差

在湍流里呢两个脉动速度的协方差呢

我们称为雷诺应力分量

也就是脉动速度的二阶关联量

在湍流中我们如果对ns方程取平均

就会得到这个脉动速度的二阶关联量

它呢使这个湍流雷诺平均方程不封闭

那么在湍流雷诺平均方程里

就会出现9个雷诺应力分量

但是由于二阶张量的对称性呢

这里边独立的分量只有6个

你比如说u′和v′的这个雷诺应力分量

和v ′u′这个雷诺应力分量呢是相同的

u′和w′这个雷诺应力分量

与w′ u′这个雷诺应力分量也是相同

第三介绍的这个高阶统计平均量称为偏斜因子

它是湍流脉动量的三次方的数学期望

除以它的标准差的三次方的这个无量纲的量

我们称为偏斜因子

因为这个三次方呢它有正负之分

因此呢它就表示这个湍流的瞬时量

偏离它的平均量是向正偏还是向负偏

如果这个偏斜因子大于零

就表示这个随机变量它的样本值呢

大于它的均值的这种情况比较多

它的可能性比较大

就导致呢它的脉动量的均值的三次方呢是正的

所以它的偏斜因子就大于零

如果它的随机变量的值呢

小于它的均值的这种情况比较多

那么它的三次方统计平均以后呢就会是小于零

也就是表示这个随机变量它的样本值

小于它的均值的这种情况比较普遍

所以呢这个偏斜因子就衡量了这个随机变量

偏离它的均值的正负的这么一种程度

我们知道如果是对于一个正态分布

那么它的偏斜因子是等于零的

这是我们如果用样本值来统计它的偏斜因子

就是这么一个计算公式

对于湍流呢我们还要统计它的

脉动量的三阶统计关联量

这是我们湍流中常见的这种三阶统计关联量

你比如说流相脉动速度的二次方

与法相脉动速度的关联量

流相脉动速度的平方

与展相脉动速度的关联量

法相脉动速度的二次方

与流相脉动速度的关联量

以及法相脉动速度的平方

与展相脉动速度的关联量

展相脉动速度的平方

与法相脉动速度的关联量等等

这些个呢都是湍流中的三阶统计关联量

第四个统计平均量就是平坦因子

英文就是flatness factor

它是脉动量的四次方的均值

除以标准差的平方

这个无量纲的量它称为一个平坦因子

因为是脉动量的四次方的均值

所以它肯定不会小于零一定是大于等于零的

那它有什么作用呢

我们看到如果把一个脉动量进行四次方

那么它的变化的细节就看的非常清楚

比如说如果我的一个统计平均量

它的变化的赋值是0.1的量级

那么经过4次方以后

那么它就会变成10的-4次方

而对于一个变化量为10的量级的这个脉动量呢

它4次方变化以后就变成10的4次方

原来我们这个脉动量的变化范围

如果是从0.1变化到10这个范围

那么经过4次方以后呢

它的平坦因子的变化呢

就会变化成从10的-4次方到10的正4次方

那么就会变化8个量级

这样的话就把这个脉动量的它的变化的程度呢

细节就表示出来了

对于正态分布那么我们知道

它的平坦因子应该等于3

那么如果它的平坦因子大于3

就说明在这个随机变量里头呢

存在着这种逆序的成分

也就是里面存在着这种确定性的成分

这个图呢是我们测量的平板湍流边界层

脉动速度的概率密度函数分布图

黑色打叉的是我们实验测量得到的

平板湍流边界层里的

流向脉动速度的它的概率密度函数

我们看到呢它的左右是不对称的

而红色的线呢是标准的正态分布

它的概率密度函数

那么红色的线的平坦因子等于3

我们看到在实验测量值的右方有很大一部分呢

它的概率密度函数要远远的大于正态分布

那为什么会出现这种现象呢

这就说明它的出现呢不是完全随机的

而里边存在着这种准周期的

或者是确定性的这种成分

使得右边的这个概率密度函数呢

远远的大于正态分布

那么这种准周期的或者是确定性的成分呢

我们也称为是逆序的成分

实际上它就是平板湍流边界层中的逆序结构

它的这种准周期的运动造成的

如果我们以它的平坦因子是否大于3来检测

把这些逆周期的成分给它去掉

那么剩下的成分呢

我们认为是完全随机的正态分布的成分

就是这个蓝的这个符号

我们看到这个蓝的符号的这部分呢

就和正态分布非常接近了

而去掉的那些成分呢

都是这些准周期的确定性的成分

周期平均是什么意思呢

我们知道在流动中常常有存在着这种时间上

或空间上这种周期性的运动

比如说我们看到的风力发电机它的风扇的运动

叶片的旋转它是一个周期性的往复的运动

直升飞机的螺旋桨的旋转

也是一个周期性的往复的运动

包括汽轮机叶轮机以及船上的螺旋桨这种旋转

它引起的流动也是这种周期性的成分很强

那么这时候

如果我们要获得它们这些旋转机械的

周围的流场的这种规律性的运动呢

就必须得用周期平均的方法

这个周期平均的方法呢

可以分为时间周期平均

也可以分为空间周期平均

如果我们测量一个点上的速度它的时间序列

我们看到呢这个运动呢

它是以一定的周期成分来运动的

那么就可以把它按照这个周期进行分段

然后呢每一段给它对齐以后进行平均

这就得到了一个周期平均的规律的这种成分

同样的对于空间流场如果是周期分布的呢

我们也可以截取相同尺度的空间流场

按照周期对齐的方法呢进行平均

得到这个空间的周期平均

还有一种呢我们称为是周期相位平均

我们看到这个卡门涡街的流动

它的空间尺度沿着流向是逐渐增大的

也就是它的空间尺度沿着流向并不是恒定的

那么对于这种空间尺度变化的这种流动

我们怎么进行周期平均呢

就是我们进行周期相位平均

我们要把它在一个周期内的运动呢

给它转换到相空间

也就是转换到0到2π这个相位的相空间

那么每一个周期它都有一个起始的相位0

有一个结束的相位2π

那么在这期间呢

我们可以把它划分成若干个相位

划分的相位越多呢

你得到的这个平均结果就越精细

那么把每一个周期尺度不同

都给它转换成相同的0到2π的相位

我们按照相位相同对齐的方法进行的平均

最后呢我们得到在一个周期内

它的相位的典型变化规律

这就是所谓的周期相位平均

因此呢周期相位平均主要应用于它的空间尺度

或时间尺度不同的这种周期运动

比如说圆柱绕流它随着流向的演化

它的流向尺度越来越大

那么我们这时候就可以用

空间周期相位平均的方法

来获得它一个周期内的典型的流动过程

第三个平均叫做条件相位平均

那么在湍流中呢并不是总是存在着这种

很规律的周期性的运动

那么它里面存在着这种间歇的准周期的运动

就是不太规律的这种周期的运动怎么办

或者说我们要提取湍流中

具有某些共同特征的这些部分

那怎么进行统计平均呢

我们就要用条件平均

就是说你先制定一个检测准则

把这些符合你的检测准则的

这些湍流现象把它提取出来

比如我们上面这个图

这个红线下方画黑色方框的这些部分

都是我们检测到的

湍流中具有某些共同特征的部分

也就是它的脉动速度为负值的这些部分

这个红的这个图里我们检测的是它的

瞬时速度小于平均速度

也就是它的脉动速度为负值的这些部分

我们看到检测了这些特征

这些特征呢你看它的持续时间有的长有的短

那么怎样提取出这些特征的共同点呢

同样的我们也是要把它们

检测到的这种时间上有点长有的短的部分呢

给它划分成0到2π的相位

也就是左下角这个图

把它划分成在相位上呢

长度是相同的这些个事件

然后我们按照相位对齐的方法

把这些事件呢进行叠加平均

我们就得到了这个湍流脉动速度

急剧下降直到负值这个事件典型的过程

就是我们右下角这个图

我们看到这个典型的过程呢

它还是规律性非常强的

但是在这个湍流的瞬时速度这个图像里头

你看不到这个特征

它是隐藏起来的不典型的

这就是条件相对平均可以提取湍流中

典型的一些个事件的这种过程