当前课程知识点:大学物理——电磁学 > 第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组 > 4.4 感生电动势例题 > 4.4.2 感生电动势例题(二)
下面我们再来看一道例题
例7
导体CD
以恒定速度
在一个三角形导体框架
MON上运动
这是个三角形框架
这个CD这个导体杆
在上面运动
它速度
方向垂直于CD
向右
它垂直于CD向右
磁场方向
如图所示
它是朝里的
垂直于框架构成的平面
朝里
磁场的大小表达为
我们可以看到这个磁场
它既随
x而变化
注意这里有个x轴
x轴原点在这
向右方向为x轴正向
它既是x的函数
又是时间t的函数
它不是个均匀磁场
而且随时间而变化
求CD运动到x处时
它在x处的位置时
框架COD内
感应电动势的大小
和方向
设t等于0的时候
x在0
它从0开始往右运动
在t时刻它运动到了x处
x处
回路中
感应电动势的大小
这道题我们首先看到
这个导体杆在运动
运动的杆
当然会产生动生电动势
所以我们自然的会想到
回路中有动生电动势
同样我们又注意到
磁感应强度B
它是时间的函数
因此
磁场在变化
那么磁场变化
即使杆不动
在回路中也会产生
感生电动势
那么这道题就是典型的回路中
既有动生又有感生电动势两种
都同时存在的情况
那么这里计算
当然我们可以利用两个方法
第一个方法
就是法拉第电磁感应定律
它能同时把
动生电动势和感生电动势
都计算出来
第二个方法
也就是分别利用
动生电动势的
定义式计算
这个运动杆上的
产生的动生电动势
同样又利用
感生电动势的定义式计算
磁场变化引起回路中的感生电动势
两项再加起来
就是回路中
总的感应电动势
下面我们就来
分别看看
这两种方法
首先
看利用
法拉第电磁感应定律
利用法拉第电磁感应定律
我们首先需要选取
回路的正向
比如这里我们选取顺时针方向为
回路的正向
选取了回路的正向之后
右手螺旋就决定了
计算磁通量时
这个围成面积的
正法线方向
因此正法线方向
是朝里的
和磁场方向是一致的
那么同样我们注意到
磁场
是x的函数
磁感应强度是x的函数
因此磁感应强度
在线圈围成的三角形面积里
是不均匀的
因此我们在计算磁通量的时候
必须利用积分的方法
那么首先
我们要选取一个面元
选取x处
dx宽度
对应的这么一个面元
那么面元的法线方向是朝里的
那么它
磁场穿过面元的
元磁通量我可以表达成
矢量
由于两个方向一致
就可以写成BdS
那么
那么这个
dS就是这个
面元的面积
它可以近似等于
它的高度h乘上它的宽度dx
因为dx趋近于0
所以直接高度乘宽度就是它的面积
下面
我们把磁感应强度B的表达式带入
同样这个h
带入
这个h和x之间的关系
存在一个夹角
这个直角三角形里面
tanα的关系
所以我们得到
元磁通量的
这个表达式
它是dx上的磁通量
那么
整个
三角形围成面积
上的总的磁通量
就是对这个元磁通量的一个积分
那么积分
实际上就是对x的一个积分
就是从0到x的一个积分
最后积分的结果
得到这个表达式
那么我们来看
这个表达式
它包含了
其实呢
包含了两项的乘积
一项是
包含x的函数
一项是包含t的函数
两个函数的乘积
而我们知道x
是随时间变化的
因为这个杆在运动
而这个
磁场
本身也是随时间变化的
因此我们在利用
法拉第电磁感应定律
计算
磁通量对时间微分的时候
我们一定要注意
微分就分成了两项
我们先把
x看成是不变的
单独对时间t进行微分
就得到了
这一项
它得到了这个
sinωt的形式
另外还有乘出来一个ω
另外我们把
cosωt这一项看成是
不随时间变化
单独
对x
包含x的函数对时间的微分
x的三方对时间微分
就得到3x平方
3x平方这个3就约掉了
另外
3x平方后面还要乘上
x对时间t的微分
而x对时间t的微分
就是运动杆CD
向右运动的速度
所以这里就出现了一项速度项
那么这里我们可以看出
通过法拉第电磁感应定律
我们计算
得到了感应电动势的大小
而感应电动势包含了
两项
其中一项
含有速度v
这就是
与动生电动势相应
另外一项
不含速度v
它就是和变化磁场
产生的
感生电动势
那么通过法拉第电磁感应定律
我们自然的
得到了
感生电动势和动生电动势这两项
这就是总的电动势
当然我们也可以通过
动生电动势和感生电动势的定义
来计算回路中
总的感应电动势的大小
那么由动生电动势的定义
它等于
那么我们可以把矢量化成标量
v是这个方向B是朝里的
所以v叉乘B是向上的
那么
点乘dl
dl的方向是朝下的
所以它化成标量就是vBdl
而v和B
都和积分路径dl无关
所以可以提到积分号外面去
就是对
C到D的dl的积分
而dl的积分
就是路径CD的长度
而CD的长度就可以表达成
我们把B的表达式带入
最后计算得到
动生电动势的表达式
就是这个式子
我们可以看出
这个动生电动势
和
利用法拉第电磁感应定律得到的
表达式中的第二项
是相同的
也就是说这一项就代表了
动生电动势
那么下面呢我们当然还需要
计算感生电动势
就是如果你用这种方法分别计算
一定不要忘记
再去计算感生电动势
那么计算感生电动势
这个感生电动势的表达式把它写出来
因为
磁场随时间变化
算它的面积分
把它看成是
它在x位置不动
然后它的面积是这么大
但是
它这个磁场随时间在变化
那么磁场对时间偏微分
然后再做这个面积分
当然这个积分的结果
最后的结果
是这个式子
积分的结果是这个式子
同样我们也可以看出
这个
感生电场的表达式
和利用法拉第电磁感应定律
计算出来的感应电动势中的
第一项
是完全相同的
也就是说第一项
代表的就是感生电动势
这里我们可以看出
利用法拉第电磁感应定律
可以方便的
同时计算得到
感生电动势和动生电动势
所以
有的时候利用法拉第电磁感应定律
计算
电动势
计算感应电动势是非常方便的
那么我们
首先看是否能利用
法拉第电磁感应定律
如果
不构成闭合回路
我们可以考虑
通过添加辅助线的形式
来构成闭合回路
再看能否方便的利用
法拉第电磁感应定律求解
如果再不能
当然我们也可以用
动生电动势和感生电动势的定义式
来分别计算
动生电动势和感生电动势
这部分的例题就讲到这
-大学物理绪论
--大学物理绪论
-电磁学引言
--电磁学引言
-1.1 库仑定律
-1.1 库仑定律
-1.2 电场 电场强度
--1.2.1 电场
-1.2 电场 电场强度——小测验
-1.3 电场强度的计算(1)
-1.3 电场强度的计算(1)——小测验
-第一章 静电场--WEEK1 作业
-1.3 电场强度的计算(2)
-1.3 电场强度的计算(2)——小测验
-1.4 电场线 电通量
-1.4 电场线 电通量——小测验
-1.5 静电场的高斯定理
-1.5 静电场的高斯定理——小测验
-1.6 利用高斯定理求静电场的分布
-1.6 利用高斯定理求静电场的分布——小测验
-第一章 静电场--WEEK2 作业
-1.7 静电场的环路定理 电势
--1.7.3 电势
-1.7 静电场的环路定理 电势——小测验
-1.8 场强积分法求电势
-1.8 场强积分法求电势——小测验
-1.9 电势叠加原理及电势的计算
-1.9 电势叠加原理及电势的计算——小测验
-1.10 等势面 电势梯度
-1.10 等势面 电势梯度——小测验
-1.11 静电场中的电偶极子
-1.11 静电场中的电偶极子——小测验
-第一章 静电场-- WEEK3 作业
-2.1 导体的静电平衡条件
-2.1 导体的静电平衡条件——小测验
-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布
-2.2 静电平衡时导体上电荷的分布——小测验
-2.3 静电屏蔽
-2.3 静电屏蔽——小测验
-2.4 有导体存在时静电场量的计算
-2.4 有导体存在时静电场量的计算——小测验
-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK4 作业
-2.5 静电场中的电介质
-2.5 静电场中的电介质——小测验
-2.6 有电介质时的高斯定理
-2.6 有电介质时的高斯定理——小测验
-2.7 电容 电容器
-2.7 电容 电容器——小测验
-2.8 静电场的能量
-2.8 静电场的能量——小测验
-第二章 静电场中的导体和电介质--WEEK5 作业
-3.1 稳恒电流
-3.1 稳恒电流——小测验
-3.2 磁场 磁感应强度
--3.2.3磁感线
-3.3 毕奥—萨伐尔定律
-3.3 毕奥—萨伐尔定律——小测验
-第三章 稳恒磁场--WEEK6 作业
-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理
-3.4 磁场的高斯定理和安培环路定理——小测验
-3.5 磁场对载流导线的作用
--3.5.1安培力
--3.5.5电磁炮
--3.5.6磁矩
--3.5.7磁力矩
-3.5 磁场对载流导线的作用——小测验
-3.6 磁场对运动电荷的作用
-3.6 磁场对运动电荷的作用——小测验
-第三章 稳恒磁场--WEEK7 作业
-3.7 磁场中的磁介质
-4.1 法拉第电磁感应定律
-4.1 法拉第电磁感应定律——小测验
-4.2 动生电动势
-4.2 动生电动势——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK8 作业
-4.3 感生电动势及感生电场
-4.3 感生电动势及感生电场——小测验
-4.4 感生电动势例题
-4.4 感生电动势例题——小测验
-4.5 涡电流及电磁阻尼
-4.5 涡电流及电磁阻尼——小测验
-4.6 互感与自感
-4.6 互感与自感——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK9 作业
-4.7 磁场的能量和能量密度
-4.7 磁场的能量和能量密度——小测验
-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波
-4.8 麦克斯韦方程组 电磁波——小测验
-第四章 电磁感应 麦克斯韦方程组--WEEK10 作业




