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1、如果关系 $R$ 和 $S$ 都是自反的，关系$R \oplus S$是反自反的吗？请给出证明。

解：

$\because$ $R$和$S$都是$A$上的自反关系

$\therefore I_A \subseteq R, I_A \subseteq S$

$\therefore I_A \subseteq R \cup S, I_A \subseteq R \cap S$

$\because R \oplus S = R \cup S- R\cap S$

$\therefore I_A$ 不包含于 $R\oplus S$

$\therefore R \oplus S$是反自反的

2、设$R_1$,$R_2$和$R_3$是集合$X$ 中的二元关系。证明如果有$R_1 \subseteq R_2$，那么：

(1) $R_{1}\circ R_{3} \subseteq R_{2} \circ R_{3}$

证明：

$\because R_{1} \subseteq R_{2}$，则对任意$<x,y>$,若 $<x,y>\in R_1$ ，则$<x,y> \in R_2$

$\begin{aligned} \therefore 对任意y,z , <z,y>\in  R_1\circ R_3 &\Leftrightarrow \exists x\left(<z,x>\in R_{3} \wedge<x, y>\in R_{1}\right) \\ &\Rightarrow \exists x\left(<z,x>\in R_{3} \wedge<x, y>\in R_{2}\right) \\ &\Leftrightarrow <z,y>\in R_2 \circ R_3 \end{aligned}$

$\therefore R_1 \circ R_3 \subseteq R_2 \circ R_1$

(2) $R_{3} \circ R_{1} \subseteq R_{3}\circ R_{2}$

证明：

$\because R_1\subseteq R_2，则对任意<x,y>, 若<x,y>\in R_1，则<x,y>\in R_2$

$\begin{aligned} \therefore 对任意x,z , <x,z>\in  R_3\circ R_1 &\Leftrightarrow \exists y\left(<x, y>\in R_{1} \wedge<y, z>\in R_{3}\right) \\ &\Rightarrow \exists y\left(<x, y>\in R_{2} \wedge<y, z>\in R_{3}\right) \\ &\Leftrightarrow <x,z> \in R_3 \circ R_2 \end{aligned}$

$\therefore R_3 \circ R_1 \subseteq R_3 \circ R_2$