当前课程知识点：基于R语言的社会统计分析 > 第六章：统计推断 - 区间估计 > 6.4 总体均值的区间估计 > Video
好下面讲完了总体比例的置信区间我们来看看
总体均值的置信区间
首先
它和比例的置信区间采取非常类似的形式
什么形式呢
这置信区间一定也是围绕点估计
团结在点估计左右的
加上减去一个数这个
加减的数又是边际误差
它的基本形式就是点估计
加减边际误差
那同样
这个边际误差仍然是标准误的某种倍数
之前呢
比例的时候也是一样
它是标准误的某种倍数是1.96啊还是2.58
这个倍数是根据置信水平的大小而决定的
那总体均值μ的点估计是
X（bar）
也就是样本均值
那对于一个
样本量足够大的随机样本
根据中心极限定理
我们知道样本均值X（bar）的抽样分布
是接近于正态分布的
所以对于大样本来说我们可以很自然的通过
标准正态分布的某个
标准计分
也就是z-score乘以
标准误差来求得这个边际误差这个很直接
那在抽样分布的学习中呢
其实我们
对样本均值已经特别了解了我们知道
样本均值的均值是
总体均值
然后我们还知道样本均值的标准差等于σ除以根号n
时间长了你们都会背了
σx（bar）等于σ除以根号n
那这里面的σ是谁
它就是总体的标准差
那和总体的比例类似
又有一个问题了对吧
这个σ是我们所不知道的
于是乎我们就需要用样本的标准差s
来代替总体的标准差σ
那于是呢
构建这个置信区间所用到的标准误
实际上是抽样分布标准误的一个
估计值
我们叫做estimated standard error
就是理想中
我们想知道的那个抽样分布的标准误
我们因为并不知道总体的那个σ
所以没法直接求得
那退而求其次
我们要用样本的这个标准差s来代替σ
那它就变成standard error简称se
se就等于
s除以根号n
好下面让我们来看一个例子
又是来自美国综合社会调查GSS的一个
很有意思的问题
调查人员呢他询问访谈对象
一个比较敏感的问题
他问他们自从年满了18岁以后
有过多少个性伴侣
那在2006年的那次调查中呢
他们询问了
231名年龄在20到29岁之间的女性
然后这些女性就回答了她们
年满了18岁之后到底有过多少个性伴侣
这个数量的均值是4.96
你们现在看到的
是我们通过统计软件呢对这个
变量做的特别基本的一个描述分析
一般情况下你
用任何一个统计软件对一个变量做一个简单的summary
你让它做描述统计它会给你
这个变量的样本量
均值标准差还有
标准误以及95%的置信度
置信区间你会看到
用到了231个样本
均值是4.96
然后实际上标准差还挺大的说明人和人之间区别还比较大
标准差是6.81
然后下面
这个叫做SE Mean的
代表的是
样本均值的
标准误standard error
等于0.45我们可以看看这个0.45
是怎么算出来的实际上
刚才我们那个公式SE就等于
样本的标准差除以根号N
那SE就等于S除以根号n
等于6.81除以根号下231
很直观的啊就是
直接带公式我们就可以算出来等于0.45了
也就是说
我们
231这一个样本只是众多可能中的一个
如果我们想知道全美国人的情况
显然我用231个人去回答这个问题显然还不够
所以231呢
是许多个
样本为231的随机样本中一个
然后我们通过不同的样本
会得到略有不同的
对性伴侣数量平均数的估计
然后每一个平均数都不一样
那我对这些个平均数
再求它们的标准差
平均数的标准差
等于0.45它代表的是
样本和样本之间
不同的程度
那下面95%CI
CI是confidence interval 的简称
很多软件都直接写CI了
但这个置信区间
和我们前面讲的一样它的意思是说
我们以95%的信心相信
4.1到5.8这样的一个区间
会包含
全美国人的
性伴侣的平均数这么一个真实情况
或者说呢我们直接说总体的真实值
落入4.1
到5.8这个区间的概率
为95%
然后下面的问题就来了
那计算机是怎么算出来这个置信区间的
我们试一试我们刚才说说
总体
均值的
置信区间采取和
总体比例置信区间一致的形式是点估计
加减一个
边际误差
然后我们又说边际误差
某一个特定的倍数乘以标准误
现在等于我们知道点估计的值了
是谁啊是样本均值4.96
我们又知道了
样本的标准误
虽然它是估计的标准误估计标准误
等于0.45那我们算一算
这个倍数是多少
然后我们
用4.96减去4.1
除以0.45
等于1.91
我们之前讲过
用到Z-score用到正态分布的时候这个倍数
常用的倍数是
尤其是95%的倍数是1.96
那1.91好像和1.96不太一样啊
那这个数是怎么算出来的
那其实在这种情况下
我们要求助另一种
连续型变量的分布啦
这个分布的名字叫做T分布
T分布
很重要啊它也是一个很特别的分布
它帮助我们去构建一个
没有样本量要求的置信区间
那我们现在来看一看T分布怎么回事
在学习总体比例的置信区间的时候呢
我们刚才
经常要说说是在样本量足够大的情况下
总体比例的置信区间等于刚才我们所说的那个区间啊
那我们现在呢需要学习一种对于
任何的样本量
都适用的置信区间
我们不想被样本量大小禁锢啊
即使样本量特别小我也希望能
比较安稳的推出一个置信区间
那当然呢万事都要有取舍
那要做到对任何样本量都适用
你显然要降低一些灵活性
你就需要有所牺牲
那这个牺牲是什么呢
你要对总体有所假设了
我们之前为什么要样本量大是因为我们想用中心极限定理
中心极限定理的好处在于它对总体没有任何的要求
你可以是特别偏的
可以是卡方分布可以是
可以使我们之前说的均匀分布啊
那现在呢我们回来既然你要把这个样本量的要求
给去掉给抹去
那我就希望你的总体是一个
正态分布了
有得总要有舍
那我们需要一个假设那就是总体服从正态分布
这个时候呢
我们可以从
这张你们正看到的这张图可以看出来啊
当总体是正态的情况下
不同样本量情况下
抽样分布的形状呢
是有变化的
它们都是正态分布
我们可以看到当样本量是2 5 30 甚至更多的时候它的变化情况啊
即使当样本量是2的时候
它的抽样分布也服从正态分布
唯一的不同在于就是随着样本量的增加你会看到
数据的离散程度逐渐降低
那图形显得越来越瘦数据显得越来越集中
样本和样本的取值会越接近
那么假设
我们特别精确的
知道总体的标准差σ是多少
我们就可以特别精确的计算出
抽样分布的标准误用
我们老用的那个公式
说σx（bar）应该等于σ除以根号n
然后
配合着前面我们说的总体的正态假设你就可以说
不管样本量n是多少我们都可以
安全的推算出
总体均值的置信区间这个置信区间呢应该等于
x（bar）
也就是点估计
加减z乘以σx
这个z得分就是我们所说的那个倍数
恩
也就是x（bar）加减z
乘以σ除以根号n
那
常用的当置信度为95％的情况下
我们的z得分等于1.96
然后如果说现实这么美好的话
我们就不用再多学一个连续型变量的分布
我不用学T分布了
好我们又要说呢现实中我们
并不知道总体的标准差σ是多少
如果知道的话我就用刚才的x（bar）加减z乘以σx（bar）
就可以直接
构建出一个很完美的置信区间了
但是现实上我们不知道σ是多少
那又要做同样的操作
我要用
样本的标准差s
去代替总体的标准差σ
那因为这样一个动作
因为样本的标准差毕竟不是总体的标准差σ
我实际上
引入了一些不可避免的额外的误差
那尤其是当你的样本量比较小的情况下
你的样本标准差
实际上很可能距离总体的那个标准差还
差了老远呢
那于是乎这个
小小的额外的误差
可能就不可避免了
那所以我们要想一个办法
因为额外误差的引入
我们的置信区间可能就要比以前要宽了
那
要用一个稍微大一些的数字
代替z-score
那这个数字呢就是T-score
T-score呢
来自于T分布
这个分布呢
和正态分布实际上长得特别特别像
因为只是一个小小的替代的过程
那
唯一的不同
就是它的离散程度稍大
那下面呢我们就来具体看看T分布的几个
漂亮的性质
T分布也是一个很不错的分布我们后面老要使用到它
它其中
首先第一条最漂亮的性质
它也是钟形的而且它是绝对对称的
绝对对称说明它的均值也等于中位数
也等于众数
钟形对称
第二条
它的标准差稍微大于1
你们现在可以看到一张图
经常我拿到这张图去考大家
我在什么都不写的情况下我问你
哪一个是标准正态分布
哪一个是T分布
你可能说我哪知道啊
长得都是对称的钟形分布
然后前面我们说
说T分布的标准差稍大于1
标准正态分布的标准差是1
那T分布呢稍大于1
说明它的离散程度
会比标准正态分布稍稍大一点
那如果说一个分布的离散程度稍微大一点
会体现在哪呢
也就是它
我经常用特别土的话说我说它有胖尾巴
也就是它
我经常用特别土的话说我说它有胖尾巴
它两边胖
我们管它叫fat tail胖尾巴
那
你看很清楚这两张图上谁
是有一个更胖的尾巴就是
两边尾巴更高的那个是T分布
然后第三条重要的性质
T分布在某种程度上
可以说比正态分布还美好
我们说正态分布呢有两个参数决定它的形状
给一个均值给一个标准差我就可以
完美的
精确的确定一个正态分布长什么样子了
那T分布需要的信息更少
我只要一个参数
叫做自由度
degree of freedom
我就可以完全的确定一个T分布长成什么样子
那
degree of freedom呢简称我们一般都用df来
标识它
df就等于样本的样本量n减去1
我们可以看下面这张图
当自由度不同的时候实际上
T分布的形状略有改变
随着自由度增高
实际上自由度
等于n减1的话
自由度升高就说明我的样本量变大了
样本量越大
T分布实际上慢慢的
渐近于一个标准正态分布
它的尾巴就从一个特别胖的两边很高的尾巴
变得越来越瘦越来越瘦直到
和正态分布重叠
这是我们要说的
很重要实际上也说出来了第四条性质
就是随着df
自由度的增加
T分布越来越趋近于
标准正态分布
当自由度大于30的时候
每次我们经常用30来
来代表一个大样本
其实它并不算很大但是
只是30这么一个数
很多漂亮的性质一些渐进理论就可以实现了
那当自由度大于30的时候
两种分布形状基本一致
近乎可以重叠了
然后最后一条性质
也就是说
总体均值的置信区间中的边际误差
这其实不是T分布的性质
是我们要说用T分布
构建置信区间了
我们实际上
在构建总体均值置信区间的时候
只是用T得分
把z-score代替了
它就可以构建出一个很棒的
很科学的置信区间了
-1.1 什么是统计学?
--视频1.1
-1.2 数据
--视频 1.2
-1.3 随机化原则
--视频 1.3
-1.4 数据收集方法
--视频 1.4
-第一章：绪论--1.5 习题
-2.1 描述统计概述 - 社会学概念的量化问题
--Video
-2.2 变量的分类
--Video
-2.3 描述统计方法 I: 制表法 Tabular Method
--Video
-2.4 描述统计方法 II: 绘图法 Graphical Method
--Video
-2.5 描述统计方法 III: 数值法 Numerical Method
--Video
-第二章：描述统计--2.6 习题
-3.1 探索性数据分析
--视频3.1
-3.2 EDA的制图原则
--Video
-3.3 R语言初体验
--R 语言初体验
-3.4 CRAN 和学习资源
-3.5 R 基础知识
--Video
-3.6 图形和数值
--Video
-4.1 概率的基本概念
--Video
-4.2 离散型与连续型变量的概率分布
--Video
-4.3 正态分布
--Video
-4.4 抽样分布
--Video
-第四章：概率分布--4.5 习题
-5.1 用抽样分布来代表抽样的变异性
--Video
-5.2 样本均值的抽样分布
--Video
-5.3 中心极限定理
--Video
-5.4 点估计和区间估计
--Video
-第五章：统计推断 - 估计--5.5 习题
-6.1 区间估计
--Video
-6.2 总体比例的区间估计
--Video
-6.3 置信水平
--Video
-6.4 总体均值的区间估计
--Video
-第六章：统计推断 - 区间估计--6.5 习题
-7.1 绪论
--Video
-7.2 一个显著性检验的五个部分
--Video
-7.3 均值的显著性检验
--Video
-7.4 比例的显著性检验
--Video
-7.5 检验中错误的类型
--Video
-第七章： 统计推断 - 显著性检验--7.6 习题
-8.1 预备知识
--Video
-8.2 比较两组比例
--Video
-8.3 比较两个独立样本的均值
--Video
-8.4 比较两个相依样本的均值
--Video
-8.5 方差分析（选学）
--Video
-第八章：两组比较和多组比较--8.6 习题
-9.1 变量间的关联分析
--Video
-9.2 列联分析
--Video
-9.3 定序变量间的关联关系
--Video
-第九章：变量间的关联分析--9.4 习题
-10.1 简单线性回归模型概述
--Video
-10.2 模型系数估计
--Video
-10.3 评价系数估计的准确性
--Video
-10.4 评价模型的准确性
--Video
-10.5 R Lab: 用R构建简单线性模型
--Video
-第十章：简单线性回归--10.6 习题
-11.1 多元线性回归概述
--Video
-11.2 多元线性回归
--Video
-11.3 潜在问题及解决方案
--Video
-11.4 用R语言进行多元线性回归
--Video
-第十一章：多元回归--11.5 习题
-12.1 社会科学中的分类问题
--Video
-12.2 Logistic回归概述
--Video
-12.3 Logistic回归系数估计
--Video
-12.4 Logistic回归模型评价
--Video
-12.5 其他多元统计方法
--Video
-12.6 R语言实践
--Video
-12.7 结束语
--Video
