Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

以前呢我们已经学过了微积分1

现在我们要开始微积分2的课程了

那么这节课我们就开始新的一章广义积分

前面我们学习过黎曼积分它在定义中呢

要求积分区间是有限的闭区间

被积函数呢也必须是有界的

在这一章中啊

我们要突破这两个条件

我们将黎曼积分呢推广到

无穷区间和无界函数的情形

这就是我们下面要学习的广义积分

好的下面我们先从无界区间上的广义积分谈起

Chapter 1 Improper Integrals

第一章广义积分

Unit 1 Definition of Improper Integrals

广义积分的定义

1 Improper Integrals over Infinite Regions

无穷限积分的定义

好同学们我们先看一下广义积分的基本定义

Definition 1.1

Let f(x) be a function defined

on the interval a to infinity

注意我们这里假设f是一个在无穷限上有定义的函数

If 对任意的b大于a

f(x) is Riemannian integrable on [a,b]什么意思呢

对任何的b比a大 f(x)都在闭区间[a,b]上

是黎曼可积的

而且呢这个极限

同学们一定要注意看这个极限

这个极限是什么样的呢

极限里面的变量是b

而这个量本身呢是

从a到b f的积分

当b在趋近于正无穷的时候

如果这个极限存在

if such a limit exists

then we call the quantity

也就是刚才那个极限的结果

Limit as b goes to positive infinity

integration from a to b f(x)dx

也就是这个极限的值

把它记作现在我们看到的这个等式的左边

就是从a到正无穷f(x)的积分

we call this quantity

the improper Riemann integral of f

over a to positive infinity

就把这样一个极限的值呢叫做

f在从a 到正无穷区间上的

广义黎曼积分的结果

这就是f在无穷限上的

广义积分的定义

我们看到这个定义啊实际上是

普通的黎曼积分

然后呢再取极限的结果

In this situation, we say that

f is improperly Riemannian integrable

on a to positive infinity

以上这种情况如果发生的话

就称f在从a到正无穷的

这样一个无界区间上是广义黎曼可积的

同学们以前我们说的黎曼可积呢

都是指在有界的区间上比如说a到b

因此呢我们说这个地方之所以称为广义的

就是因为我们把区间呢

拓展到了一个无界的区间

在这种情况下呢我们也称

The improper integral

a to positive infinity f(x)dx

converges这是另一种说法就是说

a到正无穷f的黎曼积分

这个广义积分呢收敛

收敛这个词儿呢我们以前已经见过很多次了

Converge也就是说只要前面

我们说的那个极限存在

我们就叫做这样一个广义积分呢

是收敛的广义积分

如若不然 Otherwise

If the limit of

b going to positive infinity

integration from a to b f(x)dx

does not exist

反过来说如果前面

说的这个极限的结果呢

是不存在的 Then we say

the improper integration

a to positive infinity

f(x)dx diverges

我们就称这样一个广义积分

从a到正无穷fdx的广义积分呢

是发散的

发散的情况下这个广义积分的值呢就不存在

注意在上面这种形式的广义积分中呢

我们有一个正无穷

这样一个特殊的符号

我们把正无穷呢看成一个特殊的点

The point positive infinity

is also known as a singular point

在以上这种广义积分形式中啊

我们就把正无穷

这样一个特殊的点呢

叫做这个广义积分的奇点

或者叫瑕点 Singular point

因此呢在有的教科书上呢

也把广义积分叫做瑕积分

好的我们来看一个例子吧

Example

Consider such an improper integration

注意看这样一个广义积分

它的积分限呢是从1到正无穷

积分函数呢是x的α次方分之1

好我们研究一下这样一个广义积分

我们说这样一个广义积分呢

是怎样的一个极限的结果呢

是先要做从1到一个有限的值b

的有限区间上的积分

然后再取极限

我们看看它的结果是什么

As the integration from 1 to b

x的α次方分之1 dx

等于多少呢

这个我想同学们应该非常熟悉了

我们现在在屏幕上已经看到了它的结果

如果同学们对这里

有一点疑问的话

一定要查一下以前我们讲过的

积分的一些基本的公式

就能够明白

这里为什么要分两种情况

一种情况是α不等于1

一种情况是α等于1

这个积分结果是不一样的

我们先在屏幕上把它列出来了

注意

这里呢是依赖于b的选择的结果

好对这两种情况

我们来分别取极限

就是让b趋近于无穷

我们看到在b趋近于无穷的时候

会有不同的结果

如果当b趋近于无穷的时候

也就是说这样一个从1到正无穷

x的α次方分之1

的函数的广义积分

如果是收敛的话必须怎样呢

我们很容易看出来

If and only if α大于1

也就是说在前边

这两个结果所给出的公式中啊

如果α等于1 或者α小于1

这两个公式的极限呢都是不存在的

只有α在大于1的情况下

我们可以根据这个公式

求出一个具体的极限值

因此我们说

If and only if α is bigger than one

The limit as b goes to

positive infinity converges

而且这个极限值呢是(α-1)分之1

One over α minus one

for those α which are bigger than 1

这就是刚才这个广义积分的值

同学们前边我们已经定义了

在从a到正无穷这样一个无界区间上

函数的广义积分的定义

我们看到这个定义啊

实际上是取极限来的

也就是让b趋近于无穷

然后呢依赖于b的这个量啊

是从a到b的积分f(x)dx

如果这个极限存在的话

就把它记成我们现在看到的

屏幕中的右侧的这个符号

从a到正无穷f(x)dx

只要是取极限

就有极限的存在性问题

关于极限的存在性问题啊

同学们以前呢学过一个判定法则

就是柯西准则

我们可以回头看一下柯西准则

这里呢因为时间关系

我们就不把原来的柯西准则呢

再重复一遍

只是在现在这种情况呢

我们要把它具体的应用一下

Recall the original Cauchy criterion

for the existence of a limit

我们一定要

回头看一下这个柯西准则

好如果我们把原来的那个柯西准则

应用到刚才的这个

极限的过程的话

我们立刻就可以发现下面的这个事实

We have the following basic fact

这就是我们现在看到的这个定理

Assume that from a to c f(x)dx

exists for all c bigger than a

假设呢对任意的c比a大

只要这个黎曼积分本身是存在的

那么我们现在来看一下

当c趋于无穷的时候

这个极限是否存在

应用柯西准则怎么说呢

f(x) is improperly integrable

on a to positive infinity

也就是当c趋近于无穷的时候

这个极限值存在的充分必要条件是什么呢

If and only if

For all ε positive

there exists some B bigger than a

such that the integration

from b to b prime f(x)dx

这个绝对值啊

The absolute value of such a quantity

is always less than ε

for any b prime bigger than b

and they are both bigger than big B

对于这里的逻辑关系啊

我再重复一遍

就是对任意的ε大于零

存在着某一个B

这个B呢是依赖于ε的

只要这个B取定

那么对任意的b一撇和b

只要它们两个都比B大的话

那么从b到b一撇这个片段的积分

当然是对f的积分的绝对值就要小于ε

这就是原来的这个柯西准则

应用到刚才这个极限的时候

我们看到这个极限存在的充分必要条件

好的下面呢我们再看一个典型的例子

Example 1.4 在这个例子中呢

We consider the improper integral

谁呢

The integration from zero

to positive infinity sin x dx

也就是对sin x

这样一个基本的初等函数呢

我们对它来进行广义积分

看看这个极限是否存在

我们说它diverges

这是一个发散的广义积分

也就是说这个广义积分呢

其实是不存在的

这是为什么呢 In fact we have

这里呢我们要用

前面刚刚讲过的这个定理

就是用柯西准则来判定

这个极限是否存在

我们有这样一个事实

也就是说任何小n

只要它是一个自然数

从nπ到(n+1)π之间做积分

对sin x做积分这个值啊

同学们自己算一下的话

它要么是2 要么是-2

因此呢它的绝对值永远是2

好了我们根据这个事实啊

我们就可以断定

在本页中看到的

上面这个sin x的广义积分呢

就一定是发散的

This implies that

the integral from zero to infinity

sin x dx is divergent

注意啊这里实际上我们用了

刚才这个定理的逆否命题

也就是一个广义积分不存在的

充分必要条件是什么

同学们一定要自己把它写出来

然后比照我们刚才列出来的这个

从nπ到(n+1)π sin x dx积分

的绝对值永远是2这件事情呢

把它比照一下

就明白为什么这里

这个广义积分呢是发散的

同学们刚才我们讲的呢

是从a到正无穷

这样一个无界区间上的

广义积分的定义

那么还有其它类似的定义

我们来看一下

There are similar definitions

of the improper integral

of other forms

请看这里呢我们现在写的是

从负无穷到某一个特定的数b

f(x)的广义积分

它的定义呢和我们刚才讲的

从a到正无穷的广义积分的定义差不多

请看我们现在已经写出来了

就是也是要先做积分

注意这个积分呢是从a到b

当然a是变的

从a到b先对f(x)做积分

得到一个值然后呢再让a趋近于负无穷

如果这个极限存在的话

我们就把它记成刚才我们写的

负无穷到b 小f(x)的广义积分

注意啊我们这里f呢

当然事先要求就是

从负无穷到b上有定义的

也是在无界区间上有定义

这个时候呢我们才考虑

作为广义积分的存在与否的问题

好的刚才这个从负无穷到b

这样一个无界区间上的

函数的广义积分的存在性呢

也是要求极限本身存在

Again if such a limit

as a goes to minus infinity

the integration from a to b f(x)dx

This limit if it exists

Then we say that the above

improper integral converges

我们就称上面写的

这样一个广义积分呢是收敛的

Otherwise we say it diverges

如果刚才这个极限

的结果是不存在极限

那么我们就说这样一个广义积分

是发散的

因此我们看到在负无穷

到某一个b

这样一个无界区间上的

广义积分的术语呢

和我们刚才讲的a到正无穷

这样一个无界区间上广义积分的术语呢

是完全相仿的

注意啊这里呢我们还有一个特殊点

就是

minus infinity

This point minus infinity

is also known as a singular point

我们还是把这种类型的

广义积分中的这个负无穷这个点

叫做一个奇点或者瑕点

好的我们快速地看一个例子

Example 1.5 The improper integral

from minus infinity to zero

e to the x

这样一个函数

e的x次方这个函数做广义积分

我们说它converges

也就是说这个广义积分是存在的

为什么呢

In fact 事实上

我们可以按定义来检验

前述的广义积分是否存在

或者收敛

请看这个广义积分呢

按定义它应该是取极限谁呢

先固定小a

我们做从小a到0的积分

然后再令小a趋近于负无穷

那么很容易计算出来啊

从小a到0

e的x次方做积分的结果呢

就是e的x次方

这个函数呢取差值

在0点和a点取差值

这个我们已经非常熟悉了

就是普通的黎曼积分的计算

好的这个结果是多少呢

就是1减去e的a次方

注意a呢暂时还是固定的

然后我们注意

每次呢我们都要记着

最后是要取极限的

a趋近于负无穷好了现在我们看到

1减去e的a次方

如果其中a趋近于负无穷的话

结果是什么呢当然是1了

因为e的一个负数的指数

随着这个指数越来越小越来越小

趋近于负无穷呢当然是趋近于0的

因此呢这里保留了1所以这个极限是存在的

因此呢我们就断定负无穷到零 e的x次方 dx

这个广义积分呢的确是存在的

好的我们再看一个例子吧

Example 1.6 The integral

Integration from minus infinity to 1

one over the absolute value of x

to the pth power

也就是先取x绝对值

然后呢取p次方再取倒数

这样一个函数

把它限制在从负无穷到1

这么一个无限区间上

去考虑它的广义积分

我们说什么呢它会收敛

如果p大于1

而且它收敛值呢是

One over p minus one

如果p小于等于1的话

它就会发散

It diverges if p is less than

or equal to one

这个原因啊同学们一定要

和刚才我们刚刚讲过的这个

x α次方分之1 函数

在从1到正无穷这样一个区间上

去做广义积分的结果呢

互相对比一下自然就明白

所以这里我们就不做过于细致的解释了

因此我们说这个广义积分值啊

它是依赖于这里头

参数p的选择的

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)在线视频