Triple Integrals (三重积分) (section 1)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

前面第一单元

我们学习了二元函数的二重积分

现在这堂课呢我们要学习三个变量的函数

也就是三元函数的三重积分

它的定义方式和计算方法技巧

和二元函数呢都非常的像

所以下面我们学习起来呢应该非常地顺利

好的下面我们就从三重积分的定义讲起

Chapter 5 Multiple Integrals

第五章重积分

Unit 2 Triple integrals

三重积分

Section 1 Triple Integration

三重积分

同学们三重积分

和我们前边学的二重积分啊非常的类似

因此呢我们下面定义三重积分的时候

有很多细节呢需要同学们

和二重积分的定义方式进行对比

A triple integration

is an integration on a region in E^3

首先要明确

三重积分呢是在三维欧氏空间的某一个区域上去做

因此我们考虑的空间是E^3

To understand such integrals

we consider a specific problem

那么现在呢要考虑一个具体的问题

来理解三重积分

因为三重积分啊

不能把它解释成一个几何体的体积

这样的简单的方式

而要用别的方式来解释三重积分

Suppose that a bulk Ω in E^3

has a density function ρ(x,y,z)

A bulk 意思是空间中的某一个体

它是个三维的对象

我们用Ω来表示

It has a density function

就是某一个密度函数来描述这个体

这个密度呢它是依赖于x y z的

它是依赖于三个变量的

好的

how could we calculate its mass

也就是这个体所对应的质量是多少

那么这个问题

一定要转化成一个三重积分来理解

好

we divide it into small cubes

把这样一个体呢分解成

也就是分割成很多很多小的cubes

each with the dimension (Δx_i,Δy_j,Δz_k)

这是什么意思呢

就是把这个体啊分解成很多很多小的cube

Cube就表示立方体的意思

每一个立方体啊它的维度

也就是三个方向的宽度分别是

Δx Δy Δz

当然我们加了指标

这个指标呢统一用i来表示

严格讲应该是Δx_i Δy_j Δz_k

但是呢

我们就简单地用i一个指标来表达就足够了

因为它总体而言是一个有限个

好的现在 each take ρ(x_i,y_i,z_i)

as the approximately density for this cube

对每一个这样的体呢

就取它其中的一个点

就是(x_i,y_i,z_i)这个点在这个cube中

把它作为这个体所代表的那个体密度

尽管这个体密度它是变化的

但是我们就取这样一个点

近似值来代表整个小的体的密度

于是呢

the entire mass is approximately the sum

也就是所谓的黎曼和

现在我们看到的这样一个黎曼和呢

就是

以刚才所取的样本点

(x_i,y_i,z_i)这个点所对应的密度

乘以相应的体积就是Δx_i Δy_i Δz_i

好然后对所有的i求和

那么

这个是得到的近似的体积所对应的那个质量

因为我们前面乘过一个质量的密度这个函数

就是ρ(x_i,y_i,z_i)

好

when the dimensions of such cubes

are approaching zero

we will then get a triple integration

这很容易理解

当我们让这些体的dimension

也就是它们的半径

或者说它们的经度接近于零的时候

我们就会得到无穷多个这种分解

也就是要取极限了

那么最终的结果就是一个

triple integration 三重积分

它代表的就是这个体的质量

M is such a integration

三重积分我们就写三个积分号

它对应的区域就是Ω

被积函数是这个密度函数ρ(x,y,z)

积分过程呢是x y z三个变量

因此是写上dxdydz

这样看来呢

这个三重积分我们用质量这个概念来解释呢

是最恰当不过的

So we can see that

the triple integral is not so different

from double integral

它和二重积分啊基本上没有什么实质上的区别

Except that we have one more variant

也就是我们有一个z这个变量

它是比二重积分多出来的

So we avoid the repetition

of definition and basic properties

of triple Riemann integrals

因此呢同学们只要理解这个过程

就不必再重复定义三重积分

这样一个严格的定义过程

那么关于三重积分

具体计算的时候还是和二重积分一样

不要用原始定义

而要用Fubini定理这种方式

也就是把它转化成一元积分

多个一元积分的叠和

这个定理是这样说的

Let D be in xy-plane

假设现在这个区域D啊是xy平面上的一块面

也就是某一个区域D

A three dimensional region V is given by

下面我们要讨论的这个区域V啊

它是个三维的区域

它呢是这样的

V等于这样的(x,y,z)

x,y始终在我们刚才所提到的D中跑

z介于两个函数之间

也就是φ_1和φ_2之间

φ_1 φ_2呢是二元函数依赖于x y

也就是说

现在我们描述的V啊

实际上是空间中的一段柱状的区域

这个柱的上表面和下表面呢

实际上是两个曲面就是φ_1和φ_2

对这样一个区域D

The Riemann integration of f(x,y,z) on V

在区域V上

对某一个函数f(x,y,z)做三重积分的话

可以转化成一个二重积分

这个实质就是我们前边学过

二重积分里的那个Fubini定理

在三维情况的推广

好我们看一下

这个公式告诉我们

在V上做三重积分f(x,y,z)dxdydz

等于一个二重积分

现在我们写的时候呢

写二重积分把dxdy写在前面

强调这个过程是对x y作为变量

二重积分的变量来做的

而被积的这个函数啊

它是一个一元积分的结果

在这里边请看

x y是固定的

也就是x y看成参数

z是被积函数

也就是z从φ_1(x,y)跑到φ_2(x,y)

也就是恰好从柱的底边跑到上边去

然后对z做积分

这个结果最后当然依赖于x y

所以啊这个过程呢很容易理解

就是沿着柱的垂直方向去做积分

遍历整个柱体

还有一个类似地定理

我们来看一下

Theorem 1.2

Let V be a region in E^3

when each z is fixed

we get a plane vertical to z-axis

and its intersection with V

is denoted by P_z

现在这个空间区域V啊

它不再是一个柱状体

但是呢我们可以对每一个固定的z

我们用xy平面

也就是通过z点的这个xy平面啊

去和这个V呢相交一下割一下

会得到一个平面区域

这个区域呢把它记成P_z

因为它依赖于z

好

if as z varies from a to b

the union of all such P_z consists V

也就是说假设当z从a跑到b的时候

刚才所割的这些平面

全体的并集恰好把V遍历

也就是V就是这些平面的并集

那么这个时候呢

我们可以具体的求一个黎曼积分

用下面这种方式

For any function f

which is Riemann integrable on V

对任何区域

注意是三维区域V上的可积函数f

它的三重积分

在V上的关于f(x,y,z)的三重积分

那么可以怎么做呢

这个遍历过程呢现在变了一下

先做一个二重积分然后再做一重积分

先做二重积分呢在哪做

在P_z上做

也就是对每一个固定的z而言

我们都刚才切出来一个平面

P_z是个平面上的区域

好在这个平面区域P_z上

把x y看成变量把z看成参量

也就是z固定做dxdy这样的二重积分

做完之后呢当然变成一个函数

这个函数依赖于z

再对z积分从a到b

那么这个过程最后得到的结果

就是刚才我们所讨论的三重积分f(x,y,z)

刚才这两个定理中所讲的公式

和我们在二重积分里边讲的Fubini定理呢

是完全类似的思想和方法

因此呢很容易理解和应用

下面呢我们就看一些例子

Example 1.3

这个例子中

我们讨论的空间区域是如图所示的一个区域

我们要求这样一个三重积分

我们这个区域呢把它记成E

而E呢是这样的(x,y,z)

x平方加z平方要小于等于y小于等于4

同时要求x平方加z平方小于等于4

被积函数呢是根号下x平方加z平方dxdydz

这里边这个区域E啊我们已经把它画出来了

但是要理解这样一个区域呢

还是需要我们认真想一想

注意这里边

我们首先约定了x平方加z平方要小于等于4

这实际上是x和z所构成的那个平面上

对应的一块儿圆域

它的半径是2

然后呢令y介于x平方加z平方与4之间呢

就是y在这个圆域所对应的上面一个抛物面

与平面之间夹的部分

因此这个空间区域的描述呢还是挺复杂的

同学们一定要

仔细想一想这个区域为什么是这个样子

好下面呢我们就试一下求这个区域

为了求这个区域上的积分呢

我们把它转化成一个

求二重积分然后叠和一个求一元积分的过程

这个原因很简单

因为对每一个固定的y y介于0到4之间

我们去截刚才这个平面的话

都会得到一个平面上的区域

这个区域恰好是x平方加z平方小于等于y

然后在这个平面上去做关于xz的二重积分

被积函数不变

还是根号下x平方加z平方

当然这个结果会依赖于y

最后再对y从0到4积分就可以了

这个就是我们刚才这个定理的思想

好我们来算一下

For the inner double integral

也就是刚才这个公式中

第一步做的那个二重积分呢

我们直接做是做不出来的

需要用什么呢

变量替换

changing the variables

把x写成r乘以cosθ

z写成r乘以sinθ

注意r的范围是从0到根号y

其中y是固定的

θ的范围是0到2π

这个时候我们就可以求其中的这个二重积分了

这个求的过程呢很简单

注意我们要

要先算出这个变换的Jacobian行列式

然后再做积分

当然这是比较典型的二重积分

我们现在呢

把刚才我们所使用的这个变量替换过程呢代入

y的范围不变因为y根本不影响

还是0到4

而x z呢转化成了θ和r

θ范围0到2π

而r的范围呢是0到根号y

里边被积函数呢转化成了r乘以r

也就是r平方

多出来这个r啊就是那个Jacobian行列式

现在我们看到

这就是非常简单的几个连续的一元积分了

很简单

那么同学们自己把它算一下

最后结果是128倍的π除以15

可见这个不使用

我们的Fubini定理和变量替换

这个积分呢是几乎无法做的

用了以后呢很简单

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Triple Integrals (三重积分) (section 1)在线视频