当前课程知识点:大学物理-电磁学(英文授课) > Chapter II Conductors and Dielectrics > Lecture 16 Capacitor & Capacitance > Lecture 16 Capacitor & Capacitance
今天我们介绍一种器件——电容器。电容器是一种储存电荷的元件。如图所示的两个导体,这种结构的器件就是电容器。
这两个导体称为极板。如果一个极板带正电Q,另一个极板带负电Q,那么两个极板之间存在电势差ΔV。
电容器广泛引用与于电子器件中。例如,应用于储能、调谐,滤波、与电容器构成谐振电路等。
电容器有不同的形状和尺寸。首先,我们来看最常见的一种——平行板电容器。请看这幅图。
平行板电容器由两个面积为A的导体板构成。两个板的间距为d. 现在我们来看这个实验:电容器是如何充电的?
最初,极板不带电,每一板所带净电荷为零。
如图所示,我们将电源正负两极分别接至两个极板。于是在导线中建立了电场。
我们先关注与电源负极相接的极板。在电场力作用下,电子从电源负极移至极板。
当极板、导线及电源负极的电势相等,电子停止移动。此时,极板带电为-Q。
对另一极板,也是类似的过程。电子由极板移至电源正极,导致极板带上+Q的电荷。
达到平衡时,电容两极板间的电势差等于电源正负极间的电势差.
现在我们有一个问题。电源正负极间的电压是一定的,那么极板所带电量的多少由什么决定呢?
实验结果表明,电容器极板所带的电量Q与两极板间的电势差ΔV成正比。
比例系数取决于导体的形状和导体之间的距离。这个比例关系可用此式表示:Q=CΔV
C是比例常数,我们称为电容器的电容。电容定义为其中一极板所带的电量Q与极板间电势差ΔV大小的比值。
对于给定电压,电容是储存电荷能力的量度。国际单位为法拉。根据定义,电容总是正值。
并且,Q和ΔV我们都取正值。法拉是一个非常大的单位。实际应用中,典型器件的电容范围通常从微法到皮法。
现在我们举例说明如何计算电容器的电容。
下面是三种简单几何结构的电容器——平行板电容器,圆柱形电容器和球形电容器。
在这些例子中,我们假设带电极板之间的区域为真空。 假设两个极板带电量分别为+Q和-Q,计算出两个极板间的电势差ΔV。
应用电容的定义C等于Q除以ΔV,得到电容C。
请看这幅图。两个平行金属极板,面积都为A, 间距为d.
设一个极板带电为Q, 另一极板带电为-Q.面电荷密度σ等于Q除以极板面积A。
如果两个极板靠得很近,相比于极板的尺寸,间距d非常小,则两极板间的电场可以近似为匀强电场,而其余部分电场为零。
因此,带电系统具有平面对称性,我们可以应用高斯定理来求解两极板间的电场。如图,我们选择一个闭合圆柱面作为高斯面。
两个底面平行于极板,面积为A’,包围正极板的电荷。一个底面处于极板内,另一底面在极板间的区域。
在这种情形下,穿过整个高斯面的通量就等于穿过位于极板间的底面的通量,等于EA′。考虑到整个高斯面所包围的净电荷等于 σA’,我们求解得到电场E.
两极板间的电势差等于Ed. 根据电容的定义,我们将计算得到的电势差ΔV代入此式,得到电容 C等于ε0A除以d。
从这个结果来看,电容C仅仅与电容器的几何因素A 和d相关。
电容随着极板面积线性增大。对于给定的电势差ΔV,极板越大,储存的电荷越多。
另一方面,电容与极板间距d成反比。对于给定电量Q, 间距越小,电势差ΔV越小。
下面来考虑圆柱形电容器。如图,半径为a的圆柱形导体,外面套有一个同轴圆柱壳导体,半径为b, 厚度不计。
b大于a. 两个导体的长度均为L。相比于长度L,两个导体的间距b-a非常小,因此,两个圆柱之间的电场可近似为对称电场。
电容充电后,内部圆柱体带电+Q,外层圆柱壳带电–Q。计算电容。
为了计算电容,我们首先计算电场。由于系统具有轴对称性,我们选择同轴圆柱面作为高斯面,如图中虚线所示。
高斯面的长度为小l,小于电容器的长度大L. 半径为r. 高斯面位于两个导体之间,因此高斯面的半径 r 大于a小于b.
应用高斯定理,穿过高斯面的通量等于穿过侧面的通量,E 乘以 2πrl , 高斯面内的净电荷等于λl, 于是计算得到两极板间的电场。
接着我们通过计算电场的线积分,从a积分至b得到两极板间的电势差。这里我们选择的积分路径与电场线平行。
根据电容定义,将计算得到的电势差代入此式,得到电容C的表达式。我们再次看到,电容仅与极板的几何因素L, a 和 b相关。
再来看第三个例子,如图所示,球形电容器由两个同心球形导体构成,外部为同心导体球壳,半径为b,带为-Q。内部为半径a的球形导体,带电+Q。这个器件的电容是多少?
由于电场为球对称性,我们可以应用高斯定理求解电场。我们选择一个半径为r的同心球面作为高斯面。
这里r大于a 小于b. 应用高斯定理,我们求出两个极板间的电场,如此式所表示。
然后通过电场的线积分,得到两极板间的电势差。最后通过这个公式计算得到电容。
我们再一次看到电容仅与极板的几何因素a和b有关。
如果外部球壳的半径b趋于无限大,换句话说,当一个导体位于无穷远处,另一个导体变为一个孤立导体球,电容是多少呢?
让b趋于无穷大,我们得到这个表达式。即,半径为R的孤立导体球的电容等于4πε0R.
上述几个例子说明了如何计算电容,我们注意到计算电容的关键步骤是计算两个极板间电场和电势。
如果大家已经忘了计算电场和电势的方法,请大家花时间复习一下。
大家已经注意到,我们讨论的电容器,两极板间的介质是真空。或严格地说,两极板之间是空气。
假如,我们在两极板间插入电介质,情况会怎样呢?下一讲我们将探究这个问题。
-Lecture 1 Electric Charges
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-Lecture 2 Coulomb’s Law
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