矢量的基本运算在线视频

同学们好 电磁场课程是从场的角度来研究电磁现象的基本规律

它采用的物理量是电场和磁场 而电场和磁场都是矢量

因此 我们这一堂课先和大家一起来回忆一下矢量的基本运算

在看它的基本运算之前

我们首先跟大家来回忆一下标量和矢量 以及它们的表示方法

我们都知道标量是指只有大小没有方向的物理量

例如，长度、时间等等

而矢量是既有大小又有方向的物理量

如位移、电场强度等等

标量的表示特别得简单

直接用字母就能表示

例如 l表示长度 m代表着质量

矢量的表示有两种方法

第一种 几何方法

我们采用这样一条有向线段来代表矢量A

那么这一条线段的长度就代表着A的大小

称之为A的模

这一个箭头就代表着矢量的方向

第二种表示

采用字母来表示

当然和刚才的标量不同的是

我们在印刷体的时候把这个字母给加黑 标量也可以用字母来表示

矢量和标量表示的区别是 矢量的表示用黑体这个是在印刷体的时候表示的

我们在手写的时候采用字母上加一个箭头来表示

这个箭头可以是单边箭头

也可以是双边箭头

因此

从今天开始

请大家注意在手写的时候

记得矢量上面必须有个箭头

如果某一个矢量的模为1

我们就称这一个矢量为单位矢量

我们用e来代表单位矢量

例如 ex，ey,和ez代表着直角坐标系中x，y和z方向的单位矢量

所以在直角坐标系中

A矢量就可以表示成这样一个表达式

它代表着A在x方向的分量是Ax y方向的分量为Ay

z方向的分量为Az

它也可以表示成这样一个表达式

注意 这个表达式的左边的A是黑体 代表的是矢量

而右边的这一个A没有写成黑体 代表的是标量

也就是说

A的模或许说A的大小 eA 代表着A方向的一个单位矢量

所以A（非黑体）称为矢量的模代表着A的大小

如果A表示成这样一个表达式的话

那么A的模应该等于这样一个表达式

矢量的第三种表示 方向余弦表示

假设建立这样的一个坐标系

A矢量如图中红颜色的线所示的话

那么假设A矢量与三个坐标轴正方向之间的夹角分别为 α，β和γ

也就是说

A矢量与x轴的正方向之间的夹角为 α

A矢量与y轴之间的夹角为β 与z（轴）的正方向之间的夹角为γ的话

那么这三个角我们称之为方向角

很显然

此时A矢量在x方向上的分量应该是A乘以cosα

也就是这一条红颜色所示的线

同理A矢量在y方向和z方向上的投影可以用这个表达式表示

也就是图中这两条红颜色的线

A矢量可以表示成这样一个表达式

这里的cosα，cosβ和cosγ代表着这三个方向角的余弦

所以称之为方向余弦

因此一个表达式就是A矢量

用它的方向余弦来表示的表达式

下面我们来看矢量的基本运算

矢量的基本运算

我们分成加、减、乘

首先来看加减法

矢量的加法特别得简单

用平行四边形法则或三角形法则来运算

例如

A矢量和B矢量的和等于C矢量的话

我们先画出A矢量

然后 以A矢量的终点作为B矢量的起点画出B矢量

以A、B作为邻边画一个平行四边形

那么四边形的对角线就是C矢量

这里的平行四边形法则可以简化成这样一个三角形法则

下面我们来看矢量的减法

设A矢量减B矢量等于C矢量的话

我们可以把A减B画成A加上负B来运算

因此我们先把B矢量反向

然后与A矢量用三角形法则来运算就可以了

如果有多个矢量相加减

我们可以变成一个多边形法则

下面我们以

三个矢量A、B、C矢量之和为例来做说明

首先画出A矢量

然后依次画出B矢量和C矢量

这里的依次指的是

画B矢量的时候必须以A矢量的终点作为起点来画

也就是说

我们以A矢量的终点作为B矢量的起点

画出B矢量 同理以B矢量的终点

作为C矢量的起点

画出C矢量

那么此时A矢量的起点和C矢量的终点之间构成一个矢量

这一个矢量代表的就是

A、B、C三个矢量之和

这就是多边形法则的一个简单的例子

矢量的加减法满足交换律和结合律

也就是说

A与B之和

等于B与A之和

A减B当然等于A加上-B

A、B、C三个矢量之和

满足这一个结合律

矢量的第二种运算 数乘 数也就是标量的意思

假设这里的k是一个数

也就是说代表着一个标量

比如说k等于3

那么k与A矢量的乘积就叫数乘

假设k与A的乘积等于C的话

C依然是一个矢量 C的大小等于

k的绝对值与A的大小的乘积

C的方向取决于k是正数还是负数

如果K为正数

C的方向就是A的方向

如果C是一个负数

那么C的方向与A的方向是相反的

举一个例子 设A矢量已知 设k = 2

因此 2与A的数乘就等于

A的每一个分量都分别数乘同一个标量

数乘也满足交换律和结合律

也就是说

设 k 和 p 都代表的是一个标量的话

那么k与pA的乘积会等于pK的乘积再数乘A矢量

第二 p 与 k 依然是两个数

它们两个和与A矢量的乘积等于

pA 加上 kA

第三 假设有

A、B两个矢量的和再数乘以 k 的话等于

kA 加上 kB

矢量的第三种运算 矢量的标积

矢量的标积表示成A•B

它等于AB乘以cosθ

其中的AB代表着AB矢量的模

也就是AB矢量的大小

这里的θ代表着

A、B矢量的夹角

因此假设这个是A矢量

B矢量是这条红颜色的线所示的话

A、B矢量之间的夹角为θ

因此B矢量在A矢量方向上的投影就是Bcosθ

所以Bcosθ是B在A方向上的投影

因此A与B的标积就等于B在A方向上的投影

与A的大小的乘积

很显然 A与B的标积的结果是一个标量

所以它才叫做标积

同时大家注意到A与B的标积中间的运算符号是用一个点来表示的

因此也叫点积或点乘

在直角坐标系中

假设A、B矢量的各分量分别为

Ax，Ay和Az

以及Bx，By，Bz的话

那么A、B的点积会等于这样一个表达式

举一个例子 设A矢量是这样一个矢量 B矢量是这个矢量

因此A、B矢量的点积就等于32

矢量的标积也满足交换律和结合律

第一 A、B的点积等于B与A的点积

三（二）如果 k 和 P 是一个数那么

k 和A数乘再 • p与B的数乘 等于 k 与 p 的乘积再数乘以A点B

第三个 如果有B、C两个矢量的和

与A点积的话

满足这一个表达式

假设A、B矢量都是非零矢量

如果A与B的点积等于零 证明cosθ就等于零

也就是θ等于90° 换一句话说

A一定垂直于B矢量

因此

A、B矢量的点积等于零

可以作为判断两个矢量是不是垂直的一个判据

矢量的第四种运算

矢量的叉积

这里的叉表示的是A与B矢量之间的运算符号是一把叉

所以它也叫叉积或许说叉乘

假设A与B的叉积等于C矢量的话

C的大小等于AB乘以sinθ

A与B依然代表着

A、B矢量的模

θ依然是A、B矢量之间的夹角

很显然

C矢量的大小就是

以A、B为邻边的平行四边形的面积

也就是说

如果我们以A、B为邻边作了这样一个平行四边形的话

继续请大家看了（着）上面这个式子

C的方向是 en 的方向 en的方向代表的是平行四边形的法向方向 也就是这样一个方向叫做法向

法向 我们等一会跟大家一块来判

先回到我们刚才C的大小

如果说

A、B两个矢量在直角坐标系中间的每一个分量都已知了

分别为Ax，Ay，Az和Bx，By，Bz的话

那么C矢量会

等于这样一个行列式

下面回到刚才的en方向

en的方向 我们可以单独来判 有就是用右手螺旋来判断

请大家伸出右手食指和大拇指垂直

并且在同一个平面内然后四指开始环绕

环绕的方向是从A矢量旋向B矢量

那么大拇指的方向就是C矢量的方向

刚才我们上面画的这个例子

A矢量和B矢量的方向如图所示的话

那么我们的四指就这样的旋

所以此时大拇指的方向就是C矢量的方向

也就是如图所示的方向

假设A矢量和B矢量都已知

因此我们带到刚才的这个行列式里面

经过运算以后

A与B的叉积是这样一个矢量

矢量的叉积满足的交换律与结合律是特别要注意的

A与B的叉积不等于B与A的叉积

事实上

A与B的叉积会等于B与A叉积的相反数

因为根据刚才我们的右手螺旋 A与B的叉积和B与A的叉积正好方向是相反的

所以这里相差一个负号

但是它的结合率依然满足 也就是这两个表达式依然成立

所以请大家特别注意这一个表达式 也就是叉积的交换律的时候

前面有一个负号

假设A、B两个矢量都不为零的话

如果A、B矢量的叉积等于零

证明θ一定等于零

也就是说A一定会平行于B

所以

A与B的叉积等于零

可以作为判断两个矢量平行的判据