矢量场的环量和旋度在线视频

同学们好

前面我们已经学习了矢量场的通量和散度

今天我们来学习矢量场的环量和旋度

从前面的课程知道

通量代表的是有向曲面上的面积积分

表示的是

这一个闭合曲面所包围的体积内的总的通量源

而通量源是一种管型源

它的场线有始有终的

在矢量场中还有那么一种源

这一种源的场线是闭合的

这种源叫涡流源或许叫旋转源

涡流源在日常生活中非常得常见

例如这是一个水池

图中红颜色代表的是出水口

当出水口没有打开的时候

水池里面的水是不流动的

但是一旦打开出水口水就会下漏

下漏的水会激发出一个流速场

这一个流速场就是涡旋的

如图中蓝颜色的虚线所示的就是流速场

假设此时水流的流向如图中的箭头所示的话

设这个流速场为A

我们可以作一条闭合曲线L包围这一个A

如图中的红颜色的箭头所示的闭合曲线

那么这一个闭合积分就叫环量

它的场线是闭合的和它对应的积分是一个线积分

这一个线积分就叫环量

这个式子中间的L代表着有向曲线

dL叫有向线元

那么什么是有向线元呢

对一条曲线来讲

如果指明了正方向

这一条曲线就叫有方向的曲线

简称为有向曲线

如这一条曲线的方向是从M1到M2

那么这一条曲线就是有向曲线

在这一条曲线上

我们可以取一个微小的单元

这一个微小单元的长度

如果趋向于零的时候

它就称之为线元

线元的方向和曲线的正方向是一致的

因此这个线元也有了方向

称之为有方向的线元

简称为有向线元

所以环量代表着是

矢量A沿一条有向曲线L的线积分

假设这是一条曲线L

它的正方向是如图所示

在这上面取一个微元dL

dL的方向和L的正方向是一致的

如果这一个空间存在的一个场A

那么A的环量就是这样一个表达式

环量实际上我们早就见过

例如这是一条导线

当这条导线上没有电流流过的时候

在它周围是不存在磁场的

但是对于同一条导线

如果有一个电流I流过它的话

在它的周围就会激发出一个磁场

这一个磁场是一个涡旋场

而引发这一个磁场的源就是电流

所以这里的电流I称为涡流源

如果取一个闭合曲线L

如图中红颜色所示的L

设L的正方向也如图所示的话

那么这个磁场沿这一条闭合曲线的积分就称之为

磁场B的环量

很显然 环量只能反映闭合曲线内部

涡流元的整体的特性

例如刚才的这一个例子中

B的环量只能反映

闭合曲线L里面所包围的总的电流的特点

当我们需要考虑这一条曲线内的

任意一个点的涡流源的分布情况的时候

就需要引入一个新的概念

这个概念就叫旋度

那么如何从环量到旋度呢

大家注意到这里的积分曲线L包围了一定的面积

请大家看

我手上拿着的就是一条闭合的曲线L

很显然

沿这一条曲线L的环量反映的是

这一条曲线内所包围的总的涡流源的特性

假设我的这一个内部取一个点

要求这一个点的涡流源的特性

我们需要把这一个闭合面S所包围的面积进行缩小

请大家看

我开始缩啊

缩继续缩把它缩小

再继续缩小

当它缩小成一个点的时候

那么此时的面积就趋向于零

也就是说整个面积就会退化成一个点

那么这一个点的分布的强度就叫旋度

所以旋度实际上经过这么两步得到

第一步把环量所包围的整个面积进行缩小

缩小到面积为零的时候

那么面积就退化成一个点

所以此时相当于求每一个点的

环量的强度称之为环量密度

第二步我们来求环量密度的最大值

那么环量密度的最大值就对应着旋度

也就是说

第一步求闭合曲线所包围的面积趋向于零时的环量

当面积缩小到一个点的时候

环量与面积的比就是环量的面密度

第二步求该环量密度的最大取值

下面我们先来看第一步

假设这个空中间（空间中）存在的一个矢量A

在它的周围有一个点

比如说这一个P点

如果存在着一条闭合曲线L

所包围的面积为ΔS的话

它实际上就等效为

过P点作一个微小的曲面ΔS

它的边界就是L当面积趋向于零的时候

如果这一个环量与面积的极限存在

那么这个表达式就是环量密度

第二步

我们来求环量密度的最大值

首先来分析环量密度的取值是不是和方向有关

假设空中间有任意一点P

这一个P点的矢量A的方向如图所示

很显然过P点可以作多条有向的曲线

例如我们可以作这样的一条曲线L1

曲线L1和A在同一个平面内

还可以作另外一条有向曲线L2

L2和矢量A之间有一定的夹角的

还可以作第三条有双曲线L3

L3所在的平面和矢量A是垂直的

下面我们就来比较这三条典型的路径

它所对应的环量密度是不是相等的

很显然

这三条曲线所对应的环量密度是不相等的

因为L3和A是垂直的

所以它的环量为零 环量密度当然就等于零

而L1和L2与A不垂直

所以它的环量密度不等于零

而L1因为与A在同一个平面内

所以它的环量密度是最大的

从这里我们得到一个结论

在同一空间位置点的不同的路径

对应的环量密度是不一样的

换一句话 环量密度与方向有关

那么我们自然会问

沿哪一个方向环量密度是最大的

不难看出来L1所对应的环量密度是最大的

那么L1有什么样的特点呢

L1有下面的特点

第一

它是使该点的环量以及它的环量密度取得最大值的一条路径

第二

其他的路径所对应的环量

都可以根据它间接的来求得

第三

因为它和A在同一个平面内

所以它的法线正好是引发矢量场A的轴线

所以旋度代表着环量密度的最大值

旋度用哈密顿算子和矢量A的叉积来表示

A的旋度是一个矢量

它既有大小又有方向

它的大小为这一个点的环量密度的最大值

它的方向代表着

环量密度取最大值的时候

这一个面积元的法向

也就是说

旋度描述了场中间任意一个点处的

涡流源的密度矢量

A的旋度是rotA

rot是旋转英文单词的前三个字母

它等于哈密顿算子和A矢量的叉积

在直角坐标系中

旋度等于这样一个行列式

根据我们刚才的分析不难得到

旋度的物理含义指的是

第一 矢量的旋度是一个矢量

它的大小代表着该点环量密度的最大值

它的方向

是使这一个点取环量密度最大的面元的法向矢量

在矢量场中

如果某一个点的旋度不等于零

设它等于J的话

我们就称这一个场是一个有旋度的场

简称为有旋场

或许说叫旋度场也叫涡旋场

或涡流场

而这里的J称之为产生旋度的源

所以叫旋度源

或许说涡流源

如果在某一个场的每一个点

它的旋度都等于零

那么这一个场就称为无旋场

下面我们看一个具体的例子

来判断这一个场的旋度的性质

这一个图是这样的含义

黑色的框代表着一个空间区域

图中蓝颜色的线代表着矢量线

中间的黄颜色代表着我们要讨论的这一个空间

从这一个图来看

很显然

它的矢量线是直线是有始有终的

所以中间黄颜色的区域内不存在涡流源

因此这一个区域内的旋度就是等于零

换一句话说

是一个无旋场

再看这一个场

这一个场的场线依然是直线

中间黄颜色所示的区域没有旋转的场线

所以它的旋度依然等于零

也是一个无旋场

再看第三种情况

这一种情况下这里的场线是有旋转的

我们考虑黄颜色所示的区域

里面的场线也是旋转的

因此有产生这一个场的源

因此

这一个区域的旋度不等于零

所以它是一个有旋场

第六斯托克斯定理

刚才我们已经得到A的旋度是这样一个表达式

代表的是环量的面密度的最大值

把这个式子稍微变形就变成了这样一个式子

这就是斯托克斯定理

它表示了A的环量等于A的旋度的一个面积积分

它表示的实际上是场内的A和这个边界上的场之间的一个关系

它同时也表示

矢量函数的线积分和面积积分可以相互转换

下面我们来总结一下今天所学到的东西

这个代表着A的环量

它表示的是这一场积分曲线L

所包围的整个面积内的涡流源的情况

A的旋度代表的是每一个点的环量密度的最大值

而斯托克斯定理表示的是

环量等于这一条曲线所包围的整个面积内的A的旋度之和

所以它是从面的角度来描述的

因此环量、旋度以及斯托克斯定理

完美地实现了从线到点到面的一个转化