当前课程知识点：线性代数(1) > 第六讲 LU分解 > 6.4 LU分解的存在性和唯一性 > LU分解的存在性和唯一性
如果有了LU分解之后
我们想看看它的存在性和唯一性
我们说并不是每个矩阵
都有LU分解
即便是这个A是一个可逆矩阵
我们可以举简单的例子
A是这样的一个
2乘2的一个矩阵
0 1 2 0这样的矩阵
我们假设它有LU分解
那么这是L矩阵
这是U矩阵
我们用待定系数法来看一下
那么这个L和U去相乘呢
如果等于A
那么你容易得到
我的这个u11要等于0
u12要等于1
l21去乘以u11
也就是l21去乘以0
要等于这边的这个2
这个是不对的
所以呢 这样的一个矩阵
0 1 2 0这个矩阵
它是一个可逆矩阵
但是它没有LU分解
那我们就想问
限制在可逆矩阵上来讨论
问一个可逆矩阵
什么时候有LU分解
A应该满足什么样的条件
我们给定的这个A
是一个n阶的方阵
我们来称它在左上角的
这个一阶的矩阵
左上角这个二阶矩阵
左上角这个k阶矩阵
我们把它呢
叫做是A的k阶顺序主子阵
我们用这个k阶顺序主子阵的
性质来给出这个可逆矩阵
可以做LU分解的一个条件
我们说可逆矩阵A
它的顺序主子阵Ak
k从1到n如果都是可逆矩阵的话
我们知道这个k等于A的话
就是我们原来这个矩阵A
我们说在这种情况下A有LU分解
我们来看看这是为什么
我们对A的这个阶数n
来用数学归纳法
那n等于1的时候
这个矩阵A就是一个数
我们所谓的做LU分解
我们把L去写成数1
U就是A这个数字几我们叫做A1
因为是可逆的
所以它是不等于0的
那这个定理显然是成立的
那我们就假设n等于k的时候
这个定理成立
然后来看看n等于k+1的时候
n等于k+1的时候
我们把k+1阶的矩阵给分成
做分块
那么左上角是Ak
然后贝塔是一个A维的列向量
阿尔法的转置呢
它是一个k维的行向量
那由归纳假设我们知道
这时候Ak它是这个k阶的
可以有LU分解的
那么由于Ak是一个可逆的
所以我们对A可以去做消元
我们把A这个分块矩阵
可以利用Ak可逆来做消元
也就是左边我们乘以这样的一个
初等的分块矩阵
那么使它变成分块上三角阵
我们的这个形式上
第二行减掉第一行去乘以
负的阿尔法转置Ak的逆矩阵
换一种写法呢
也就是说A我可以写成
这样的一个下三角矩阵
和一个分块的上三角矩阵的乘积
我们注意到这个Ak呢
是有LU分解的
我们把这件事情代到里头去
我这个矩阵
就可以写成这样两个矩阵乘积
我们把Ak写成Lk和Uk
然后把它分成两个矩阵的乘积
这个地方是一个分块的消去矩阵
那么在主对角线上都是1
所以这两个消去矩阵
乘在一起之后
它仍然是一个消去矩阵
它是一个下三角矩阵
主对角线上都是1
因此我们可以把它
就叫做我们的L矩阵
那这个呢
是一个上三角矩阵
这是我们的U矩阵
于是在这种情况下
我们就有这个归纳假设是正确的
我们定理就得证
那我们注意到
这是给出来一个可逆矩阵
可以去有LU分解的一个充分条件
当然还有其他充要条件等等
好 我们说如果
我们满足这样条件的可逆矩阵
它有LU分解了
那这个LU分解是否是唯一的
说n阶的可逆矩阵A
如果有LU分解
那L是一个下三角矩阵
对角线上都是1
U是一个上三角矩阵
那因为这个A是可逆矩阵
我们U的对角元
都是相应的这个A的主元
它的主元是非0的
uii是不等于0的
在这种情况下
我们说这个LU分解是唯一的
简单的来看一下
可逆矩阵A
我们假设它有两个LU分解
也就是说A等于L1U1
等于L2U2
L1和L2分别是下三角矩阵
主对角元都是1
这个U1 U2是上三角矩阵
主对角元都是非0的数
那么我们把上面这个等式
换一种写法来写
因为作为下三角矩阵
L1和L2而言
因为对角线上的元素都是1
是非0的数字
所以它们是可逆的
L2和L1分别可逆
我们把L1乘到这边来
我们就得到L1逆乘以L2
那么U1和U2呢
它们是上三角矩阵
它的对角元都都是非0的
因此U1和U2也都是可逆阵
然后我们把U2给搬到这边来
变成U2逆
于是我们就有这个关系式
那么注意这个关系式
L1是一个下三角矩阵
它的逆矩阵还是一个下三角矩阵L2是一个下三角矩阵
下三角矩阵的乘积是下三角阵
同理呢
这个U2是上三角矩阵
它的逆仍然是上三角矩阵
然后两个上三角矩阵的乘积
仍然是上三角矩阵
因此这个矩阵既是下三角矩阵
又是上三角矩阵
那么它只能是对角阵
因为L1和L2它的对角元是1
L1逆的那个对角元也全都是1
这两个矩阵乘起来对角元
仍然还是1
于是这个对角阵
就只能是单位阵L1等于L2
同理这个U1等于U2
我们就证明了说
我如果可逆矩阵有LU分解
那么我这个分解一定是唯一的
同样地
对于可逆矩阵的LDU分解
也可以同理证明
这个分解是唯一的
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
