当前课程知识点：线性代数(1) > 第五讲 矩阵的逆 > 5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆 > 5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
我们讲了可逆矩阵的性质
我们如何来求一个矩阵的逆矩阵呢
我们用高斯若当消元法来求A逆
我们还是从简单的例子出发
A是一个2乘2的矩阵 1 3 2 7
我们想要看它的逆矩阵
我们很容易知道
根据刚才的判断的法则
这个主对角线上的乘积
减掉斜对角线上的乘积
7减掉6等于1
是不等于0的
这个A是可逆的
所以我们其实可以一下子
写出这个2乘2矩阵的逆矩阵
那么这里呢
为了说明我们求逆矩阵的方法
我们用待定系数法
来设它的逆矩阵是acbd
这样的一个矩阵
那么如果它是逆矩阵的话
我们就有A去乘以它之后
等于单位阵
那么这件事情换一种语言来写
我们可以写成两个方程组
它可以写成是这个矩阵A
去乘以第一列
乘以ab这一列等于1 0
然后A去乘以cd这个第二列
它等于0 1
变成这样的两个方程组呢
这两个方程组呢都有相同的系数矩阵A
那我要求解这两个方程组
也就是我要求A逆的话
求解这两个方程组
我可以一起来做消元
也就是说我可以把这个增广矩阵
合在一起来看
这是我的共同的系数矩阵
这是我第一个方程组的常数向量
第二个方程组的常数向量
合在一起来做消元
那么这个右手边的这个矩阵
就是单位矩阵I
我们把A和I放在一起
来做初等行变换
用初等矩阵来记录消元的过程
这就是所谓的高斯消元法
我们来看一下
A和I放在一起
然后我对它来做消元
那么第二行减掉第一行的2倍
那第二行变成0 1
右手边变成-2 1
到了这一步呢
高斯消元法原来就可以终止
就成功结束了
那么我们可以通过回代来求解
但是若当的贡献就是说
我们不要停下来
我们接着来求
他说继续消元
干什么呢? 是把主元
主元上方的这个元素给消成0
那么为了达到这个目的呢
我们第一行减掉第二行的3倍
从而使得主元上方这个元素变成0
那么左手边这个矩阵
现在变成单位阵
右手边这个矩阵我们说是什么呢
我们来看 当变成这个矩阵之后
我们知道方程组就可以直接解出来
我由第一个列向量我知道
这时候你通过回代
你知道这个b是等于-2, a是等于7
也就是a b等于7 -2这个向量
那么通过它的第二列我们可以看出来
c等于-3 d等于1
也就是说我的逆矩阵呢
应该是等于7 -2 -3 1的
也就是说我右手边这个矩阵
恰好就是我的A逆
总结一下
我A如果是可逆矩阵的话
我A和I构成的这样一个矩阵
经过只做这个初等行变换
就变成单位阵
当A变成单位阵的时候
I变成了A逆
只做行变换
这是高斯若当消元法
那若当呢, 是德国一个大地测量学家
他的贡献在数学上的贡献
是改进了高斯消元法
我们再通过下面一个3乘3的一个矩阵
看一下用高斯若当消元法求逆的过程
这是一个-1 2 -1矩阵
我们现在举的是一个3乘3的例子
你还通过这样的规律
去做更高阶的这种-1 2 -1矩阵
那么它的特点是主对角线
和主对角线上下两侧的
两条斜对角线上有非0元素
其他位置上都是0
我们把它叫做三对角矩阵
是一类带状矩阵
好 我们看看
我们这个矩阵是否可逆
它的逆矩阵是什么
我们把这个矩阵和单位阵放在一起
构成一个大的矩阵
那么我们对这个矩阵来进行消元
目标是说
把我K的这个位置
给经过初等行变换化成单位阵
那么当你携带这一大堆
初等行变换的过程中
当K变成单位阵I
那I就变成了K的逆矩阵
我们来看一下
我们为了使这个K变成单位阵呢
我们对K进行消元
第二行减掉第一行的-1/2倍
那么也就是说第二行加上1/2
乘以第一行
我们变成这个矩阵
那我再用第二行来消第三行-1这个元素
那我第三行再加上第二行的2/3倍
从而把这个-1给消掉
好 那么这个时候呢
我们对K这个矩阵呢
现在它已经出现了三个主元
2 3/2 4/3
如果从纯粹解线性方程组的角度上
高斯消元法的角度上来说
我们现在就可以结束掉了
我们就可以通过回代的过程
把这个方程组的解给求出来
如果我们把第一列当成常数向量
我们就可以求出来第三个未知变量是等于1/4
那么一步步的回代求出来
那我们说了高斯消元法这个可以完成
但是为了求矩阵的逆矩阵
若当的贡献说我们继续消元
去把主元上方的这些元素给消成0
从而使得K这个位置上变成单位阵
那么要做的是第二行加上第三行的3/4倍
从而把这个位置消成0
那接着呢 我们要把这个位置上消成0
我们就需要是第一行加上第二行乘以2/3
从而使得在K的这个位置
变成一个对角矩阵
那我们目标是说要把它给换成单位阵
因此我们每行去乘以非0的数
第一行乘以1/2
第二行乘以2/3
第三行乘以3/4
从而使得这个位置上变成了单位阵
那么相应的所有的初等变换
在右手边把这个单位阵化成了K的逆矩阵
好 因此我们得到K的逆矩阵呢
是这样的一个矩阵
那这是用高斯若当消元法
求出了-1 2 -1
3乘3的-1 2 -1矩阵的逆矩阵
我们从这个例子里头我们看出来
K这个矩阵本身是一个带状矩阵
当然3乘3它表现的这个性质不够明显
你如果再高阶一点,你会看的更明显一些
那非0元它是集中在主对角线两侧
但是呢K逆这个矩阵
它没有0元素
这是一个普遍的现象
说我们一开始的矩阵
尽管比较简单 有若干个0元
但是逆矩阵可能是完全没有0元的
好 这是一点观察
那我们可以看到高斯若当消元法
求逆矩阵的过程里头我们可以知道
如果A是一个可逆矩阵
A可以经过一系列的初等行变换化成单位矩阵
那么用矩阵语言来描述这件事情
就是说我有一系列的初等矩阵
我们把它叫成E1,...,E2和Ek
它能使得我先对A去做E1代表的初等行变换
再做对E2所代表的初等行变换 等等
一直做到Ek所代表的初等行变换
也就是说我有矩阵Ek,...,E2,E1去乘以A
那最后变成了单位阵
那么我们Ek乘以E2 乘以E1
这个乘积矩阵
它可以叫做, 它是方阵A的左逆
我们再用前面的性质
我们说A是一个方阵
它有左逆或者是说有右逆
只要是单侧逆, 它就一定是逆
也就是说我A逆是等于
Ek,...,E2到E1的乘积
那么我的A呢
是等于乘积矩阵的逆矩阵呢
是交换一下次序以后
对每一个因子去求逆
等于E1逆, E2逆,...,Ek逆
因为初等矩阵的逆
仍然是同形的初等矩阵
所以我们有下面这个说法
我们说A可以表示成
一系列初等矩阵的乘积
从高斯若当消元过程里头我们知道
一个可逆矩阵可以表示成
一系列初等矩阵的乘积
那自然来说 这个翻过来也是对的
因为如果一个矩阵可以写成
一堆初等矩阵的乘积
我们又知道初等矩阵都是可逆的
那么它的乘积也是可逆的
所以翻过来的方向也是对的
也就是说一个矩阵如果可逆的话
它总可以表示成一系列初等矩阵的乘积
反之 如果它表示成
一系列初等矩阵的乘积
它就一定是一个可逆矩阵
那我们这时候呢
由这一系列初等矩阵的乘积
也就是我们的A逆
它去乘以分块矩阵A|I之后变成了I|A逆
我们可以用这种矩阵的语言
来描述高斯若当消元法的过程
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
