当前课程知识点：线性代数(1) > 第十二讲 四个基本子空间的正交关系 > 12.4 Ax=b在行空间中的唯一性 > 12.4
好 我们现在呢
把我们上面讲的
关于CA转置和NA这个正交补
这样的一个定理关系呢
现在应用到解Ax=b
我们有下面这个定理
若Ax=b有解
则Ax=b在CA转置中有唯一解
注意这块是唯一解
那么我们刚才只是看到了
就是这里面如果有解的话
任意一个解α
那么我们通过这种方式呢
把这个α分解成两部分
一部分在行空间里面
一部分在列空间里面
那么我们知道Aαr也是等于b的
也就是说实际上
把任何一个解α最后都对应到αr
那么这里面有两个问题
一个是αr的存在性
一个是αr是唯一的
虽然α可能是有很多
但是它在行空间里面的投影
是唯一的
我们先来看一个例子
A等于1 2 5 2 4 10
那么它的行空间呢
就是这样一条直线
这条直线中
每个向量跟1 2 5平行
它的零空间是一个平面
那么从直观上看呢
这是一个NA这个平面
然后有一条跟它垂直的直线
就我们的CA转置
这个就是我们的原点
那么R3就是我们的CA转置加NA
也就是说
R3中任何一个向量都可以写成
两个空间中的两个分向量的和
那么CA等于c（1 2）
也是R平方中的一条直线
NA转置呢
等于直线x+2y
好 那么Ax等于b有解呢
我们就推出来了b属于C（A）
那么这是个当且仅当关系
这个关系我们以前就知道
我们现在随便取一个b
比如说取1 2
我们来求一个下这个解
在行空间里面的分量xr
那么xr
首先它肯定满足Axr等于b
另一方面xr又属于A的行空间
所以可以存在着一个y
使得xr等于A转置乘y
那么我们把这个式子代到
上面这个式子我们可以看到
A乘A转置 y等于（1 2）
那我们来看一下
A乘A转置呢
实际上是等于1 2 5
2 4 10乘上1 2 5
2 4 10
那么这是一个2乘2的矩阵
这是30 60 60 120
那么从这儿我们看到
这个方程组很容易算
我们解出来y它不唯一
就是满足这个等式的所有y
这里面的y是y1 y2
满足这个等式的所有y都可以
那这样有无穷个解
虽然y有无穷个
但是我们说xr
也就是A转置y它是唯一的
就是无论你满足这个等式的
随便取一个y1 y2
最后得到的这个结果呢
都是唯一的
这是我们的定理
告诉我们的这个事实
那么从这个例子中
我们也验证了这一点
好 我们现在来证明这个定理
这个证明过程呢
就是来自于这个例子
首先我们来看一下存在性
也就是说Ax等于b有解
我们想说明一下Ax等于b
在A的行空间里面也有解
那么这个刚才我们已经分析过了
那么现在用另一个方法来看一下
我们想说在行空间里面有解
那么先看事实
CA等于CAA转置
这个我们刚才解释过
那么由这一点呢
我们可以看出
b肯定属于CAA转置
因为b属于CA
好由此我们可以看到存在着y
A乘A转置y就等于b
那么在这里面我们只要令
要的xr等于这个就行了
那么我们就有Axr等于b
而这个xr呢
因为它是A转置y这种形式
所以明显地它应该属于A的行空间
好 我们再来看唯一性
那么假设行空间里面
可以取到两个向量
它们都满足Ax等于b的解
则那我们可以把这两个减一下
这个我们在说向量空间
跟线性方程组解的时候呢
关系的时候用同样的技巧
这样一减以后
我们就得到了xr减xr一撇
左乘A等于0
所以xr减xr一撇是NA的一个向量
但是我们另一方面看到
xr和xr一撇均属于A的行空间
那么由此呢
我们就可以看出
它实际上属于行空间和NA的交
这个我们刚才就知道
这两个交呢
只有一个向量 零向量
所以xr等于xr一撇
好 我们再来看一个例子
A是等于1 -3 -4
这样只有一行
那么对这样一个例子呢
我们很容易写出
它的四个基本子空间
R1等于NA转置加CA
R3等于CA转置加NA
那么CA转置呢
它只有一行
所以是1 -3 -4的倍数
也就是说是一条直线
NA呢是跟1 -3 -4
垂直的所有点或者向量
那也就是个平面
CA是A的列空间
A的列向量的维数都是一维的
所以CA就是全体实数
NA转置是0
因为左乘一个数等于0
那么这个向量呢
只能取0向量
好 我们现在
随便从CA中取一个b
我们想来算一下Ax=b
就是任意取一个b属于CA
我们来算一下Ax=b
在行空间里面的解
那么这个解呢
我们可以马上写出来是这个数
求这个解等于解这个方程
A乘A转置y=b
那么A乘A转置呢
实际上是这个向量的内积
那么我们可以算出
它是26倍的y=b
所以y就等于26分之b
xr呢是A转置乘上y
所以我们最后
得到了这样一个结果
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
