当前课程知识点：线性代数(1) > 第十三讲 正交投影 > 13.1 引言 > 13.1 引言
大家好
上一讲我们学习了
线性代数的基本定理的第二部分
也就是说A的行空间和A的零空间
之间是有正交补关系
A的左零空间和A的列空间
也是一个正交补的关系
我们由此推出Ax等于b
在A的行空间中的一个唯一解
那么从几何直观上看
Ax等于b
在A的行空间中的唯一解
实际上就是所有解
在行空间里面的投影
我们这节课呢
细致地解释投影这个概念
我们从点在直线上
点在平面上的投影
再推广到一般的情形
那么最后会转化成一个
A转置Ax等于A转置b
这样一个方程组
所以我们现在开始
这一节的主要内容
大家好
我们在上一讲中呢
已经讨论了向量空间
四个子空间的一些关系
我们来具体地复习一下
A是m乘n阶的阵
b是Rm中一个向量
那么我们有下面这个关系
Rn是CA转置加NA
它们互为正交补
Rm呢是CA加NA转置
它们呢
CA和NA转置互为正交补
如果Ax等于b有解呢
则Ax等于b在CA转置中有唯一解
那么这个结果呢
我们可以用图形
来确切的形象解释
如果α属于Rn
是Ax等于b的解
则α可以写成两部分
一部分是属于A的行空间
一部分属于A的零空间
那么直观上看呢
这个向量
就是α在CA转置上的投影
我们看个例子
A等于1 2 2 4
b等于1 2
那么我们希望求一下
Ax等于b的解
我们很容易
先找出一个解α等于1 0
那么我们想求一下
1 0在A的行空间里面的分量
那么通过简单计算
我们可以看到
1 0就等于1/5乘上1 2
加上1/5乘上4 -2
那么这个就是
它在行空间中的分量
这个是它在零空间中的分量
如果从直观上看呢
1 0这个向量
在行空间中的这个分的向量呢
实际上是1 0
在这条直线上的投影
我们看另外一个问题呢
也相关到这个投影
比如说如果Ax等于b无解
那么这时候呢
我们为了回答这个问题呢
我们把这个问题转化成
求x hat属于Rn
使得Ax hat-b它的长度最小
或者极小
如果从直观上看呢
就是Ax等于b无解
b就不在CA这个空间里面
那么求这个极小的
这个条件的x hat
就意味着求CA上
距离b最近的点Ax hat
那么这个Ax hat
实际上是b在CA上的投影点
这个我们在接下来的内容
会更细致地解释
我们先来看一个例子
A等于1 0 1
0 1 1
b是0 0 1
那么我们可以看到Ax等于b无解
因为b确实不属于A的列空间
我们看A的列空间是什么
A的列空间是1 0 1
和0 1 1生成的子空间
那么它实际上呢
是平面x+y-z等于0
我们怎么得到
这个CA就是这个平面呢
我们来看一下
CA是跟NA转置
是正交补关系
所以我们现在
先来看一下NA转置
NA转置
就是求所有的a b c
跟这个1 0 1
0 1 1等于0的a b c
那我们可以推一下
看出a等于b等于-c
也就是说NA转置呢
实际上是所有的跟1 1 -1
平行的向量的全体
也就是NA转置是一条直线
那么CA转置呢
它跟NA转置是个正交补关系
那所以CA转置呢
就是跟这条直线垂直的平面
那么这个平面的系数呢
就对应着这个1 1 -1
好 b在这个平面上的投影点
我们现在来算一下
b在这个平面上的投影点
我们设为px py pz这个投影点
那么首先这个投影点它属于CA
所以我们可以满足
px+py等于pz
这是因为P属于CA
而CA是这个平面
满足x+y等于z的
所以满足这个性质
另一方面呢
我们从直观上看
如果这个是b的话
这个是我们要的CA
那个空间 平面
那么b的投影点这个叫p
那么这个向量呢
我们给它起个名字叫做e
那么我们可以看到
因为p是b在这个CA的投影点
所以b-p肯定跟CA应该是垂直的
那么这个向量就是我们的p-b
我们来看这个是0 0 1
减去px py pz
正好是这个向量的负值
所以这个呢
这个向量是跟CA垂直的
而CA的法向量
是跟1 1 -1是平行的
所以呢 我们有这个结果
把这两个等式合在一起
我们就可以算出
p等于1/3 1/3和2/3
那么这个p呢
它是投影点
所以这个p它满足Ax hat等于1/3
所以最终我们可以解
x hat等于1/3 1 1
我们求出来最后这个解
在这一讲呢
我们将讨论
一般的讨论点
或向量在空间投影上的问题
-课前引言
--课前引言
-1.1 引言
--1.1 引言
-1.2 n维向量空间中的点
-1.3 向量
--1.3 向量
-1.4 向量空间的定义
-1.5 向量空间的线性组合
-1.6 向量的点积、长度
-1.7 向量的夹角
-1.8 两个不等式
-第一讲 向量及其运算--1.9 课后作业
-2.1 矩阵与向量的乘积
-2.2 可逆矩阵
--2.2 可逆矩阵
-2.3 线性方程组的行图和列图
-第二讲 矩阵与线性方程组--2.4 课后作业
-3.1 Gauss消元法（上）
-3.1 Gauss消元法（下）
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
-3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
-第三讲 高斯消元法--3.3 课后作业
-4.1 矩阵
--4.1 矩阵
-4.2 矩阵的加法和数乘
-4.3 矩阵的乘法
-4.4 矩阵的乘法的性质
-4.5 矩阵的方幂
-4.6 关于矩阵乘法的引入
-4.7 分块矩阵
--4.7 分块矩阵
-4.8 矩阵的转置
-第四讲 矩阵的运算--4.9 课后作业
-5.1 可逆矩阵的定义
-5.2 矩阵可逆的性质
-5.3 初等矩阵的逆
-5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
-5.5 矩阵可逆与主元个数
-5.6 下三角矩阵的逆
-5.7 分块矩阵的消元和逆
-第五讲 矩阵的逆--5.8 课后作业
-6.1 LU分解
--LU分解
-6.2 用LU分解解线性方程组
-6.3 消元法的计算量
--消元法的计算量
-6.4 LU分解的存在性和唯一性
-6.5 对称矩阵的LDL^T分解
-6.6 置换矩阵
--置换矩阵
-6.7 PA=LU分解
--PA=LU分解
-第六讲 LU分解--6.8 课后作业
-7.1 引言
--7.1 引言
-7.2 向量空间和子空间
-7.3 列空间和零空间
-7.4 阶梯形
--7.4 阶梯形
-第七讲 向量空间--7.5 课后作业
-8.1 引言
--8.1 引言
-8.2 基础解系
--8.2 基础解系
-8.3 简化行阶梯形的列变换
-第八讲 求解齐次线性方程组--8.4 课后作业
-9.1 复习
-9.2 求特解
-9.3 解的一般性讨论
-第九讲 求解非齐次线性方程组--9.4 课后作业
-10.1 引言
--引言
-10.2 n维空间的坐标系
-10.3 无关性、基与维数
-10.4 无关性、基与维数的性质
-10.5 关于秩的不等式
-第十讲 线性无关、基与维数--10.6 课后作业
-11.1 四个基本子空间的基
--11.1
-11.2 维数公式
--11.2
-11.3 例题
--11.3
-第十一讲 四个基本子空间的基和维数--11.4 课后作业
-12.1 引言
--12.1
-12.2 四个子空间的正交性
--12.2
-12.3 正交补
--12.3
-12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
--12.4
-第十二讲 四个基本子空间的正交关系--12.5 课后作业
-13.1 引言
--13.1 引言
-13.2 点在直线和平面上的投影
-13.3 一般情形
-第十三讲 正交投影--13.4 课后作业
-14.1 复习
--14.1 复习
-14.2 最小二乘法
-14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
-第十四讲 最小二乘法--14.4 课后作业
-15.1 引言
--15.1 引言
-15.2 正交向量组和正交矩阵
-15.3 Gram-Schmidt正交化过程
-15.4 QR分解
-第十五讲 Gram-Schmidt正交化--15.5 课后作业
-16.1 引言
--16.1 引言
-16.2 二阶行列式的几何含义
-16.3 一般行列式的定义
-16.4 行列式和初等变换
-第十六讲 行列式的基本性质--16.5 课后作业
-17.1 行列式计算公式与展开定理
-17.2 典型例题
-第十七讲 行列式的计算--17.3 课后作业
-18.1 引言
--18.1 引言
-18.2.1 求逆矩阵公式
-18.2.2 线性方程组的公式解
-18.3 计算有向长度、面积和体积
-18.4 和QR分解的联系
-第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义--18.5 课后作业
-19.1 引言和定义
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-19.2 例
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-19.3 特征值的性质
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-第十九讲 特征值与特征向量--19.4 课后作业
-20.1 矩阵可对角化的条件
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-20.2 特征值的代数重数和几何重数
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-20.3 矩阵可对角化的应用
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-20.4 同时对角化
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-20.5 小结
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-第二十讲 矩阵的对角化--20.6 课后作业
-21.1 引言
--21.1 引言
-21.2 A可对角化的情形
-21.3 矩阵的指数函数
-21.4 二阶常系数线性微分方程
-21.5 微分方程的稳定性
-第二十一讲 特征值在微分方程中的应用--21.6 课后作业
-22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
-22.2 实对称阵正交相似于对角阵
-22.3 实对称阵特征值与主元的关系
-22.4 小结
--22.4 小结
-第二十二讲 实对称矩阵--22.5 课后作业
-总结和预告
